3.4.2: Identidades de Doble Ángulo
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Simplificando las funciones trigonométricas con el doble de un ángulo dado.
Estas identidades son significativamente más involucradas y menos intuitivas que las identidades anteriores. Al practicar y trabajar con estas identidades avanzadas, su caja de herramientas y la fluidez sustituyendo y demostrando por su cuenta aumentarán. Cada identidad en este concepto se nombra acertadamente. Los ángulos dobles trabajan en encontrar\(\sin 80^{\circ} \) si ya lo sabes\(\sin 40^{\circ} \). Los medios ángulos te permiten encontrar\(\sin 15^{\circ} \) si ya sabes\(\sin 30^{\circ} \). Las identidades reductoras de energía te permiten encontrar\(\sin ^2 15^{\circ} \) si conoces el seno y el coseno de\(30^{\circ} \).
¿Qué es\(\sin ^2 15^{\circ} \)?
Identidades de ángulo doble, medio ángulo y reducción de potencia
Identidades de doble ángulo
Las identidades de doble ángulo se prueban aplicando las identidades de suma y diferencia. Se dejan como problemas de revisión. Estas son las identidades de doble ángulo.
- \(\sin 2x=2\sin x\cos x\)
- \(\cos 2x=\cos ^2x−\sin ^2x\)
- \(\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1−\tan ^2x}\)
Identidades de medio ángulo
Las identidades de medio ángulo son una versión reescrita de las identidades reductoras de potencia. Las pruebas se dejan como problemas de revisión.
- \(\sin \dfrac{x}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1−\cos x}{2}}\)
- \(\cos \dfrac{x}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos x}{2}}\)
- \(\tan \dfrac{x}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1−\cos x}{1+\cos x}}\)
Identidades reductoras de energía
Las identidades reductoras de potencia permiten escribir una función trigonométrica que se cuadra en términos de potencias más pequeñas. Las pruebas se dejan como ejemplos y problemas de revisión.
- \(\sin ^2x=\dfrac{1−\cos 2x}{2}\)
- \(\cos ^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}\)
- \(\tan ^2x=\dfrac{1−\cos 2x}{1+\cos 2x}\)
Las identidades reductoras de energía son más útiles cuando se le pide que reescriba expresiones como\ sin 4x como una expresión sin poderes mayores que uno. Si bien\(\sin x\cdot \sin x\cdot \sin x\cdot \sin x\) técnicamente simplifica esta expresión según sea necesario, se debe tratar de conseguir que los términos sumen juntos no se multipliquen juntos.
\(\begin{aligned} \sin ^4x=(\sin ^2x)^2 &=\left(\dfrac{1−\cos 2x}{2} \right)^2 \\&=\dfrac{1−2\cos 2x+\cos ^2 2x}{4} \\&= \dfrac{1}{4}\left(1−2\cos 2x+\dfrac{1+\cos 4x}{2}\right)\end{aligned}\)
Antes, se le pidió que encontrara\(\sin ^2 15^{\circ} \). Para poder identificar completamente\(\sin ^2 15^{\circ} \) es necesario utilizar la fórmula reductora de potencia.
Solución
\(\begin{aligned} \sin ^2x&=\dfrac{1−\cos 2x}{2}=\dfrac{1}{2}−\dfrac{\sqrt{3}}{4} \\ \sin ^2 15^{\circ} &=\dfrac{1−\cos 30^{\circ}}{2} \\ &=\dfrac{2−\sqrt{3}}{4} \end{aligned}\)
Escribe la siguiente expresión con solo\(\sin x\) y\(\cos x \):\(\sin 2x+\cos 3x\).
Solución
\(\begin{aligned} \sin 2x+\cos 3x &=2\sin x\cos x+\cos (2x+x) \\&=2\sin x\cos x+\cos 2x\cos x−\sin 2x\sin x \\&=2\sin x\cos x+(\cos ^2x−\sin ^2x)\cos x−(2\sin x\cos x)\sin x \\ &=2\sin x\cos x+\cos ^3x−\sin ^2x\cos x−2\sin ^2x\cos x \\ &=2\sin x\cos x+\cos ^3x−3\sin ^2x\cos x \end{aligned}\)
Usa los medios ángulos para encontrar un valor exacto de\ tan 22.5^ {\ circ} sin usar una calculadora.
Solución
\(\tan \dfrac{x}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1−\cos x}{1+\cos x}}\)
\ (\ begin {alineado}
\ tan 22.5^ {\ circ} &=\ tan\ dfrac {45^ {\ circ}} {2} =\ pm\ sqrt {\ dfrac {1-\ cos 45^ {\ circ}} {1+\ cos 45^ {\ circ}}} =\ pm\ sqrt {\ dfrac\ sqrt {2}} {2}} {1+\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}} =\ pm\ sqrt {\ dfrac {\ dfrac {2} {2} -\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}} {\ dfrac {2} {2} +\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}}}} =\ pm\ sqrt {\ dfrac {2-\ sqrt {2}} {2+\ sqrt {2}}}\\
&=\ pm\ sqrt {\ dfrac {(2-\ sqrt {2}) ^ {2}} {2}}
\ end {alineado}\)
Demostrar la identidad reductora de potencia para seno.
\(\sin ^2x=\dfrac{1−\cos 2x}{2}\)
Solución
Usando la identidad de ángulo doble para el coseno:
\(\begin{aligned} \cos 2x&=\cos ^2x−\sin ^2x \\ \cos 2x&=(1−\sin ^2x)−\sin ^2x \\ \cos 2x &=1−2\sin ^2x \end{aligned}\)
Esta expresión es una expresión equivalente a la identidad de doble ángulo y a menudo se considera una forma alternativa.
Simplificar la siguiente identidad:\(\sin ^4x−\cos ^4x\).
Solución
Estos son los pasos:
\(\begin{aligned}\sin ^4x−\cos ^4x&=(\sin ^2x−\cos ^2x)(\sin ^2x+\cos ^2x)\\&=−(\cos ^2x−\sin ^2x)\\&=−\cos ^2x \end{aligned}\)
Revisar
Demostrar las siguientes identidades.
- \(\sin 2x=2\sin x\cos x\)
- \(\cos 2x=\cos^2 x−\sin^2 x\)
- \(\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1−\tan^2 x}\)
- \(\cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}\)
- \(\tan^2 x=\dfrac{1−\cos 2x}{1+\cos 2x}\)
- \(\sin \dfrac{x}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1−\cos x}{2}}\)
- \(\cos \dfrac{x}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos x}{2}}\)
- \(\tan \dfrac{x}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1−\cos x}{1+\cos x}}\)
- \(\csc 2x=\dfrac{1}{2} \csc x\sec x\)
- \(\cot 2x=\dfrac{\cot ^2 x−1}{2\cot x}\)
Encuentra el valor de cada expresión usando identidades de medio ángulo.
- \(\tan 15^{\circ}\)
- \(\tan 22.5^{\circ}\)
- \(\sec 22.5^{\circ}\)
- Demuestre eso\(\tan \dfrac{x}{2}=\dfrac{1−\cos x}{\sin x}\).
- Utilizando tus conocimientos desde la respuesta a la pregunta 14, demuéstralo\(\tan \dfrac{x}{2}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\).
Reseña (Respuestas)
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El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| Identidad de medio ángulo | Una identidad de medio ángulo relaciona una función trigonométrica de la mitad de un argumento con un conjunto de funciones trigonométricas, cada una de las cuales contiene el argumento original. |
| identidad | Una identidad es una oración matemática que involucra el símbolo “=” que siempre es verdadera para las variables dentro de los dominios de las expresiones de ambos lados. |
| identidad de reducción de energía | Una identidad reductora de potencia relaciona la potencia de una función trigonométrica que contiene un argumento dado con un conjunto de funciones trigonométricas, cada una de las cuales contiene el argumento original. |