5.1.5: Ecuaciones Polares Especiales y Gráficas
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Espirales de Arquímedes, cardioides y rosas.
Max está a cargo del sistema de sonido para la recepción de la boda de su hermana mayor. No puede entrar al salón hasta la mañana de la boda, así que va a tener que poner sus micrófonos y altavoces en tiempo récord. Él sí, sin embargo, tiene un plano de planta del salón. ¿Cómo puede asegurarse de que las áreas de recogida de los micrófonos y el área de transmisión de los altavoces no se superpongan y provoquen retroalimentación? Tendrá tiempo para algunos mínimos de prueba y error, pero necesita tener una idea general de dónde estarán todos los micrófonos y altavoces durante la recepción. ¿Puede usar coordenadas polares para ayudarle a colocar su equipo?
Más ecuaciones polares y gráficas
¿Por qué la gente sigue usando coordenadas polares cuando las computadoras modernas son lo suficientemente potentes y rápidas para resolver problemas extremadamente complicados en forma rectangular? Una razón es que muchas gráficas polares son hermosas e intrigantes. Los gráficos polares pueden ayudar a las personas a ver patrones que de otro modo podrían pasar por alto. Los artistas incluso han utilizado gráficos polares como base de sus diseños.
Una de las ecuaciones más simples que forma una curva polar especial es\(r=a\theta \), donde a es cualquier número real y\ theta va de cero a infinito. Las ecuaciones de esta forma crean una forma conocida como espiral de Arquímedes. A medida que\(\theta \) aumenta, la gráfica continúa en espiral como una concha de caracol perfecta. Los siguientes gráficos demuestran cómo cambiar el valor de a altera la espiral. Tenga en cuenta que cada curva continuará en espiral para siempre.
Otra curva polar importante es la cardioide. Las personas que trabajan con acústica saben que el cardioide es un modelo preciso tanto para el rango de recogida de ciertos tipos de micrófonos como para el rango de transmisión para ciertos tipos de altavoces. Los cardioides obtienen su nombre por sus formas similares al corazón. Las ecuaciones de la forma\(r=1+a\cos \theta \) producen curvas cardioides. Se puede cambiar la orientación de un cardioide, o de cualquier otra ecuación polar con coseno en su forma estándar, reemplazando coseno por seno, coseno negativo o seno negativo.
Las curvas de rosa son otro interesante conjunto de curvas polares. Para estas ecuaciones de la forma\(r=a\cos n\theta \), donde\(n\) es un número natural, las parcelas se asemejan a flores. Cuando\(n\) es extraño, las flores tienen\(n\) pétalos, y cuando n es par, las flores tienen\(2n\) pétalos.
Puedes usar tu calculadora gráfica u otra tecnología para ayudarte a graficar todas estas curvas polares.
Con esta información conocida, ¿cuál es la forma de la gráfica de la ecuación polar\(6r=5+5\sin\theta \)?
Primero, aísle\(r\) para conseguir\(r=\dfrac{5}{6}+\dfrac{5}{6}\sin\theta \). Esta gráfica aparece más similar a la curva cardioide, que es\(r=1+a\cos \theta \). Sin embargo, los cambios en la forma significan que el gráfico será girado\(\dfrac{\pi }{2}\) y ligeramente más pequeño que el cardioide estándar. Ahora, grafica la ecuación para probar las predicciones.
Ahora, describamos la gráfica de\(r=−8\sin(32\theta )\), luego graficarla.
Esta gráfica coincide con el formato de una curva rosa:\(r=a\cos n\theta \). Ya que n es par la gráfica final debe tener 64 pétalos. El — seno significa que la gráfica se girará\(−\dfrac{\pi }{2}\) radianes desde su posición inicial.
Anteriormente, te preguntaron cómo Max puede configurar el sistema de sonido para la boda de su hermana para que los altavoces no se superpongan. Max puede usar cardioides para ayudarle a configurar el sistema de sonido sin causar retroalimentación. Investiga sus micrófonos y altavoces en línea y descubre que el patrón de recogida de sus micrófonos se puede graficar usando la ecuación\(r=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos \theta \). Ya que tiene múltiples micrófonos para colocar, puede graficar la curva y usarla con su plano de planta para asegurarse de que los micrófonos no se superpongan y que coloque los altavoces en las zonas muertas detrás de los micrófonos, donde no captarán ningún sonido.
Solución
Dado que los micrófonos captan a lo largo del eje polar entre 0 y 1, querrá colocar altavoces en la zona muerta, dónde\(r<0\), y\(\theta =0\). También puede colocar altavoces en otros lugares de la zona muerta, pero los micrófonos cardioides tienen menos probabilidades de captar sonido cuando son radianes\ pi de sus áreas óptimas de recogida.
Describe cómo\(r=−3\theta \) será la gráfica. Después, cambia la ecuación para rotarla por\(\pi \) radianes. Grafica las gráficas originales y giradas.
Solución
La gráfica hará una espiral de Arquímedes tres veces mayor que la normal. Para rotar la gráfica, cambie el -3 a 3.
Para cada uno de los siguientes ejemplos, identifique la curva polar dada por la ecuación y luego graficarla.
\(6\cos 4\theta −3r=0\)
Solución
Primero, resolver para\(r\). Después, identificar la ecuación.
\(\begin{aligned} 6\cos 4\theta −3r &=0\\ 3r&=6\cos 4\theta \\ r&=2\cos 4\theta \end{aligned}\)
El gráfico será de una curva de rosa con 8 pétalos.
\(5r=3\theta\)
Solución
Primero, resolver para\(r\). Después, identificar la ecuación.
\(\begin{aligned} 5r &=3\theta \\ r&=\dfrac{3}{5} \theta \end{aligned}\)
El gráfico será espiral de Arquímedes.
\(5r−25+45\cos 3\theta =0\)
Solución
Primero, resolver para\(r\). Después, identificar la ecuación.
\(\begin{aligned} 5r−25+45\cos 3\theta &=0 \\ 5r&=25−45\cos 3\theta \\ r&=5−9\cos 3\theta\end{aligned}\)
A primera vista, esta ecuación se parece a un cardioide. Sin embargo, también tiene\(n\theta \) como una curva de rosa. Tendrás que graficarlo para tener una buena idea de lo que hace la combinación: ¡es una curva de rosa dentro de una curva de rosas!
Sin embargo, saca los tres, grafica\(r=5−9\cos \theta \), y obtendrás una curva similar a una curva cardioide. Esta ecuación ilustra cómo pequeños cambios pueden producir gráficas complicadas, hermosas y polares.
Revisar
Para #1 -3, describa la familia de ecuaciones que produce esa curva.
- Curva rosa
- Espiral Arquímedes
- Curva cardioide
Para #4 -15, identifica la curva polar y luego graficarla.
- \(\dfrac{r}{2}=\theta\)
- \(r=1−4\cos \theta\)
- \(3r=4\cos (8\theta )\)
- \(r=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos (\theta )\)
- \(r=−\theta\)
- \(\dfrac{r}{4}=4\cos (4\theta )\)
- \(r=−4\theta\)
- \(r=−2\\sin (8\theta )\)
- \(r=1−\\sin \theta\)
- \(1=\cos \theta +r\)
- \(r=5\)
- \(r=5\theta\)
Reseña (Respuestas)
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vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| Espiral Arquímedes | Una espiral de Arquímedes es un patrón que se asemeja a una concha de caracol. Está formado por ecuaciones de la familia r=a\ theta. |
| cardioide | Una curva cardioide es una gráfica polar formada por variaciones en la ecuación\(r=1+a\cos \theta \), donde a es un número real. Las curvas cardioides tienen forma de corazón. Son especialmente importantes para las personas que trabajan en acústica y diseño de sonido,\ ya que modelan el rendimiento de muchos micrófonos y altavoces. |
| rosa | Una curva rosa es una curva polar que ha cautivado a artistas y diseñadores. Está formado por ecuaciones de la familia r=a\ cos n\ theta. El coeficiente n es un número natural que determina el número de pétalos en la gráfica. Cuando n es impar, la gráfica tiene n pétalos. Cuando n es par, la gráfica tiene 2n pétalos. |
Recursos adicionales
Mundo real: Espirales en el mar