5.3.7: Ecuaciones usando el teorema de Demoivre

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Raíces complejas de una ecuación.

Se le da una ecuación en la clase de matemáticas:

\(x^4=16\)

y pidió resolver por “x”. “¡Excelente!” usted dice. “Esto debería ser fácil. La respuesta es 2”.

“No tan rápido”, dice su instructor.

“¡Quiero que también encuentres las raíces complejas!”

Ecuaciones usando el teorema de De Moivre

Ya hemos visto ecuaciones que nos gustaría resolver. Sin embargo, hasta ahora, estas ecuaciones han implicado soluciones que eran números reales. Sin embargo, no hay razón para que las soluciones deban limitarse a la línea numérica real. De hecho, algunas ecuaciones no pueden resolverse completamente sin el uso de números complejos. Aquí exploraremos un poco más sobre los números complejos como soluciones a las ecuaciones.

Las raíces de un número complejo son de naturaleza cíclica. Esto significa que cuando las raíces se trazan en el plano complejo, las enésimas raíces están igualmente espaciadas en la circunferencia de un círculo.

Desde que iniciaste Álgebra, resolver ecuaciones ha sido un tema extenso. Ahora ampliaremos las reglas para incluir números complejos. La forma más fácil de explorar el proceso es resolver realmente una ecuación. La solución se puede obtener utilizando el Teorema de De Moivre.

Usando el teorema de De Moivre

1. Considera la ecuación\(x^5−32=0\). La solución es la misma que la solución de\(x^5=32\). Es decir, debemos determinar las quintas raíces de 32.

\ (\ begin {alineado}
x^ {5} -32 &=0\ text {y} x^ {5} =32. \\
r &=\ sqrt {x^ {2} +y^ {2}}\\
r &=\ sqrt {(32) ^ {2} + (0) ^ {2}}\\
r &=32\\
\ theta &=\ tan ^ {-1}\ izquierda (\ dfrac {0} {32}\ derecha) =0
\ final {alineado}\)

Escribe una expresión para determinar las quintas raíces de 32=32+0i

\ (\ begin {array} {rlr}
32^ {1/5} & =\ left [32 (\ cos (0+2\ pi k) +i\ sin (0+2\ pi k)] ^ {\ dfrac {1} {5}}\ derecha. &\\
& =2\ izquierda (\ cos\ dfrac {2\ pi k} {5} +i\ sin\ dfrac {2\ pi k} {5}\ derecha) k=0,1,2,3,4 &\
x_ {1} & =2\ izquierda (\ cos\ dfrac {0} {5} +i\ sin\ dfrac {0} {5}\ derecha)\ fila derecha 2 (\ cos 0+i\ sin 0) =2 & &\ texto {para} k=0\\
x_ {2} & =2\ izquierda (\ cos\ dfrac {2\ pi } {5} +i\ sin\ dfrac {2\ pi} {5}\ derecha)\ aprox 0.62+1.9 i & &\ text {para} k=1\
x_ {3} & =2\ izquierda (\ cos\ dfrac {4\ pi} {5} +i\ sin\ dfrac {4\ pi} {5}\ derecha)\ aprox-1.62+1.18 i & &\ text {for} k=2\\
x_ {4} & =2\ left (\ cos\ dfrac {6\ pi} {5} +i\ sin\ dfrac {6\ pi} {5}\ derecha)\ aprox-1.62-1.18 i & &\ text {for} k=3\
x_ {5} & =2\ left (\ cos\ dfrac {8\ pi} {5} +i\ sin\ dfrac {8\ pi} {5}\ derecha)\ approx 0.62-1.9 i & &\ text {for} k=4
\ end {array}\)

Esto es lo mismo que la ecuación\(x^3=27\).

\ (\ begin {alineado}
x^ {3} =27 &\\
r &=\ sqrt {x^ {2} +y^ {2}}\\
r &=\ sqrt {(27) ^ {2} + (0) ^ {2}}\\
r &=27\
\ theta &=\ tan ^ {-1}\ izquierda (\ dfrac {0} {27}\ derecha) =0
\ end {alineado}\)

Escribe una expresión para determinar las raíces cubas de\(27=27+0i\)

\ (\ begin {alineado}
27^ {1/3} &=\ izquierda [27 (\ cos (0+2\ pi k) +i\ sin (0+2\ pi k)\ derecha] ^ {1/3} &\\
&=3\ izquierda (\ cos\ dfrac {2\ pi k} {3} +i\ sin\ dfrac {2\ pi k} {3}\ derecha) k=0,1,2 &\\
x_ {1} &=3\ izquierda (\ cos\ dfrac {0} {3} +i\ sin\ dfrac {0} {3}\ derecha)\ fila derecha 3 (\ cos 0+i\ sin 0) =3 &\ texto {para} k=0\
x_ {2} &=3\ izquierda (\ cos\ dfrac {2\ pi} {3} +i\ sin\ dfrac {2\ pi} {3}\ derecha)\ aprox-1.5+2.6 i &\ text {para} k=1\
x_ {3} &=3\ izquierda (\ cos\ dfrac {4\ pi} {3} +i\ sin\ dfrac {4\ pi} {3}\ derecha)\ aprox-1.5-2.6 i &\ text {para} k=2
\ end {alineado}\)

3. Resolver la ecuación\(x^4=1\)

\ (\ begin {array} {l}
x^ {4} =1\\
r=\ sqrt {x^ {2} +y^ {2}}\\
r=\ r=\ sqrt {(1) ^ {2} + (0) ^ {2}}\
r=1\
\\ theta=\ tan ^ {-1}\ izquierda (\ dfrac {0} {1}\ derecha) =0
\ end {array}\)

Escribe una expresión para determinar las raíces cubas de\(1=1+0i\)

\ (\ begin {alineado}
1^ {1/4} &=\ izquierda [1 (\ cos (0+2\ pi k) +i\ sin (0+2\ pi k)\ derecha] ^ {1/4} &\\
&=1\ izquierda (\ cos\ dfrac {2\ pi k} {4} +i\ sin\ dfrac {2\ pi k} {4}\ derecha) k=0,1,2,3 &\\
x_ {1} &=1\ izquierda (\ cos\ dfrac {0} {4} +i\ sin\ dfrac {0} {4}\ derecha)\ fila derecha 3 (\ cos 0+i\ sin 0) =1 &\ texto {para} k=0\
x_ {2} &=1\ izquierda (\ cos\ dfrac {2\ pi} {4} +i\ sin\ dfrac {2\ pi} {4}\ derecha) =0+i=i &\ text {para} k=1\
x_ {3} &=1\ izquierda (\ cos\ dfrac {4\ pi} {4} +i\ sin\ dfrac {4\ pi} {4}\ derecha) =-1-0 i=-1 &\ texto {para} k=2\
x_ {4} &=1\ izquierda (\ cos\ dfrac {6\ pi} {4} +i\ sin\ dfrac {6\ pi} {4}\ derecha) =0-i=-i &\ text {for} k=3
\ end {alineado}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Anteriormente, se le pidió que encontrara la compleja raíz de\(x^4=16\).

Solución

Ya que se quiere encontrar la cuarta raíz de 16, habrá cuatro soluciones en total.

\ (\ begin {alineado}
x^ {4} =16 &\\
r &=\ sqrt {x^ {2} +y^ {2}}\\
r &=\ r &=\ sqrt {(16) ^ {2} + (0) ^ {2}}\\
r &=16
\\ theta &=\ tan ^ {-1}\ izquierda (\ dfrac {0} {16}\ derecha) =0
\ end {alineado}\)

Escribir una expresión para determinar las cuartas raíces de\(16=16+0i\)

\ (\ begin {alineado}
16^ {1/4} &=\ izquierda [16 (\ cos (0+2\ pi k) +i\ sin (0+2\ pi k)\ derecha] ^ {1/4} & &\\
&=2\ izquierda (\ cos\ dfrac {2\ pi k} {4} +i\ sin\ dfrac {2\ pi k} {4}\ derecha) k=0,10,1,2,3,4 & &\\
x_ {1} &=2\ izquierda (\ cos\ dfrac {0} {4} +i\ sin\ dfrac {0} {4}\ derecha)\ fila derecha 2 (\ cos 0+i\ sin 0) =2 & &\ texto {para} k=0\\
x_ {2} &=2\ izquierda (\ cos\ dfrac {2\ pi} {4} +i\ sin\ dfrac {2\ pi} {4}\ derecha) =2 i & &\ texto {para} k=1\
x_ {3} &=2\ izquierda (\ cos\ dfrac {4\ pi} {4} +i\ sin\ dfrac {4\ pi} {4}\ derecha) =-2 & &\ texto {para} k=2\\
x_ {4} &=2\ izquierda (\ cos\ dfrac {6\ pi} {4} +i\ sin\ dfrac {6\ pi} {4}\ derecha) =-2 i &\ text {para} k=3
\ end {alineado}\)

Por lo tanto, las cuatro raíces de 16 son\(2,\; −2,\; 2i,\; −2i\). Observe cómo podría encontrar las dos raíces reales si vio números complejos. La adición de las raíces complejas completa nuestra búsqueda de las raíces de las ecuaciones.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Reescribe lo siguiente en forma rectangular:\([2(\cos 315^{\circ} +i\sin 315^{\circ} )]^3\)

Solución

\ (\ comenzar {alineado}
r &=2\ texto {y}\ theta=315^ {\ circ}\ texto {o}\ dfrac {7\ pi} {4}\\
z^ {n} &= [r (\ cos\ theta+i\ sin\ theta)] ^ {n} =r^ {n} (\ cos n\ theta+i\ sin\ n theta)\\
z^ {3} &=2^ {3}\ izquierda [\ izquierda (\ cos 3\ izquierda (\ dfrac {7\ pi} {4}\ derecha) +i\ sin 3\ izquierda (\ dfrac {7 \ pi} {4}\ derecha)\ derecha]\ derecha. \\
z^ {3} &=8\ izquierda (\ cos\ dfrac {21\ pi} {4} +i\ sin\ dfrac {21\ pi} {4}\ derecha)\\
z^ {3} &=8\ izquierda (-\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} -i\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ derecha)\\
z^ {3} &=-4\ sqrt {2} -4 i\ sqrt {2}
\ end {alineado}\)

\(\dfrac{21\pi }{4}\)está en el tercer cuadrante por lo que ambos son negativos.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Resuelve la ecuación\(x^4+1=0\). ¿Qué forma hacen las raíces?

Solución

\ (\ begin {array} {ll}
x^ {4} +1=0 & r=\ sqrt {x^ {2} +y^ {2}}\\
x^ {4} =-1 & r=\ sqrt {(-1) ^ {2} + (0) ^ {2}}\\
x^ {4} =-1+0 i & r=1\
\ theta= bronceado\ ^ {-1}\ izquierda (\ dfrac {0} {-1}\ derecha) +\ pi=\ pi &
\ end {array}\)

Escribir una expresión para determinar las cuartas raíces de\(x^4=−1+0i\)

\ (\ begin {array} {rlr}
(-1+0 i) ^ {1/4} & = [1 (\ cos (\ pi+2\ pi k) +i\ sin (\ pi+2\ pi k))] ^ {1/4} &\\
(-1+0 i) ^ {1/4} & =1^ {\ dfrac {1} {4}}\ izquierda (\ cos\ dfrac\ pi+2\ pi k} {4} +i\ sin\ dfrac {\ pi+2\ pi k} {4}\ derecha) &\\
x_ {1} & =1\ izquierda (\ cos\ dfrac {\ pi} {4} +i\ sin\ dfrac {\ pi} {4}\ derecha) =\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} +i\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}} {2} &\ text {para} k=0\
x_ {2} & =1\ izquierda (\ cos\ dfrac {3\ pi} {4} +i\ sin\ dfrac {3\ pi} {4}\ derecha) =-\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} +i\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} &\ text {para} k=1\
x_ {3} & =1\ izquierda (\ cos\ dfrac {5\ pi} { 4} +i\ sin\ dfrac {5\ pi} {4}\ derecha) =-\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} -i\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} &\ text {for} k=2\
x_ {4} & =1\ left (\ cos\ dfrac {7\ pi} {4} +i\ sin\ dfrac {7\ pi} {4}\ derecha) =\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} -i\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} &\ text {para} k=3
\ end {array}\)

Si se dibuja un segmento de línea desde cada raíz en el plano polar hasta sus raíces adyacentes, las cuatro raíces formarán las esquinas de un cuadrado.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Resuelve la ecuación\(x^3−64=0\). ¿Qué forma hacen las raíces?

Solución

\(\begin{aligned} x^3−64&=0\rightarrow x^3=64+0i \\ 64+0i&=64(cos(0+2\pi k)+isin(0+2\pi k)) \end{aligned}\)

\ (\ begin {alineado}
x=\ izquierda (x^ {3}\ derecha) ^ {1/3} & =( 64+0 i) ^ {1/3}\\
&=\ sqrt [3] {64}\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ dfrac {0+2\ pi k} {3}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (\ dfrac {0+2\ pi k} {3}}\ derecha)\ derecha)
\ final {alineado}\)

\ (\ begin {alineado}
z_ {1} &=4\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ dfrac {0+2\ pi 0} {3}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (\ dfrac {0+2\ pi 0} {3}\ derecha)\ derecha)\
&=4\ cos 0+4 i\ sin 0\
&=4\ text {for} k=0
\ fin {alineado}\)

\ (\ begin {alineado}
z_ {2} &=4\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ dfrac {0+2\ pi} {3}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (\ dfrac {0+2\ pi} {3}\ derecha)\ derecha)\\
&=4\ cos\ dfrac {2\ pi} {3} +4 i\ sin\ dfrac {2\ pi} {3} =-2+2 i\ sqrt {3}\ texto {para} k=1
\ final {alineado}\)

\ (\ begin {alineado}
z_ {3} &=4\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ dfrac {0+4\ pi} {3}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (\ dfrac {0+4\ pi} {3}\ derecha)\ derecha)\\
&=4\ cos\ dfrac {4\ pi} {3} +4 i\ sin\ dfrac {4\ pi} {3}\\
&=-2-2 i\ sqrt {3}\ texto {para} k=2
\ end {alineado}\)

Si se dibuja un segmento de línea desde cada raíz en el plano polar hasta sus raíces adyacentes, las tres raíces formarán los vértices de un triángulo equilátero.

Revisar

Resuelve cada ecuación.

\(x^3=1\)
\(x^5=1\)
\(x^8=1\)
\(x^5=−32\)
\(x^4+5=86\)
\(x^5=−1\)
\(x^4=−1\)
\(x^3=8\)
\(x^6=−64\)
\(x^3=−64\)
\(x^5=243\)
\(x^3=343\)
\(x^7=−128\)
\(x^{12}=1\)
\(x^6=1\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 6.14.

Recursos adicionales

Video: Teorema de Demoivre: Encuentra todas las raíces, reales e imaginarias

Práctica: Ecuaciones usando el teorema de Demoivre