1.1.2: Intervalos y notación de intervalos

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Notación de intervalos y intervalos

Supongamos que usted y 2 de sus amigos salieron a almorzar y deciden comprar tacos. Juntos tienen $15 para gastar en el almuerzo, y los tacos son $1.25 cada uno. Es claro que el costo total podría ser graficado en función del número de tacos comprados, pero ¿cómo especificarías que la gráfica no debe incluir valores mayores a $15 o menores a $3.75 (un taco cada uno)?

Notación de intervalos y intervalos

Una función se define como una función real si tanto el dominio como el rango son conjuntos de números reales. Muchas de las funciones que probablemente hayas encontrado antes son funciones reales, y muchas de estas funciones tienen Domain=. Consideremos, por ejemplo, la función y=3x. A continuación se muestra una sección de la gráfica de esta función.

Puede que ya estés familiarizado con las gráficas de líneas. En particular, es posible que ya tengas la costumbre de colocar flechas en los extremos. Esto lo hacemos para indicar que la línea continuará para siempre tanto en la dirección positiva como en la negativa, tanto en términos del dominio como del rango. La línea anterior, sin embargo, sólo muestra la función y=3x en el intervalo [-3, 3]. Los corchetes indican que la gráfica incluye los extremos del intervalo, donde x=−3 y x=3. A esto lo llamamos un intervalo cerrado. Un intervalo cerrado contiene sus puntos finales. Por el contrario, un intervalo abierto no contiene sus puntos finales. Indicamos un intervalo abierto con paréntesis. Por ejemplo, (-3, 3) indica el conjunto de números entre -3 y 3, sin incluir -3 y 3. Es posible que hayas notado que la notación de intervalo abierto se parece a la notación para un punto (x, y) en el plano. ¡Es importante leer un ejemplo o un problema de tarea cuidadosamente para evitar confundir un punto con un intervalo! La diferencia es generalmente bastante clara desde el contexto.

La siguiente tabla resume los tipos de intervalos que puede necesitar considerar al estudiar funciones y sus dominios (y rangos):

Notación de intervalos	Notación de desigualdad	Descripción
[a, b]	a≤x≤b	El valor de x está entre a y b, incluyendo a y b, donde a, b son números reales.
(a, b)	a<x<b	El valor de x está entre a y b, sin incluir a y b.
[a, b)	a≤x<b	El valor de x está entre a y b, incluyendo a, pero sin incluir b.
a, b]	a<x≤b	El valor de x está entre a y b, incluyendo b, pero sin incluir a.
(a, ∞)	x>a	El valor de x es estrictamente mayor que a.
[a, ∞)	x≥a	El valor de x es mayor o igual que a.
(−∞, a)	x	El valor de x es estrictamente menor que a.
(−∞, a]	x≤a	El valor de x es menor o igual a a.

Usando la tabla anterior, puede identificar los conjuntos siguientes tres conjuntos:

(−3,9]
[−23,12]
(−∞ ,0)

El conjunto (−3,9] describe el conjunto de números entre -3 y 9, “sin incluir” el valor real de -3, sino “incluyendo” 9.

El conjunto [−23,12] describe el conjunto de números entre -23 y 12, “incluyendo” los valores -23 y 12.

El conjunto (−∞ ,0) describe todos los números menores que 0, sin incluir el 0 mismo.

Cuando se le pida graficar una función en un intervalo dado, tenga cuidado de restringir la gráfica al intervalo. Tome la siguiente función f (x) =$\ 1 \over 2$ x−6 en el intervalo [-4, 12]. La gráfica es:

La parte de la función que se grafica es la línea entre -4 y 12 con -4 y 12 incluidos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, te preguntaron sobre cómo especificar el costo del almuerzo para ti y tus 2 amigos si tienes $15 juntos para gastar y los tacos son $1.25 cada uno. Lo menos que podrías gastar en el almuerzo es de $3.75 que incluye un taco cada uno. Para describir los únicos valores valores entre $3.75 y $15.00, especifique el intervalo del dominio como: [3.75, 15]. Tenga en cuenta que estos son corchetes cerrados porque se incluyen los valores en los corchetes.

Ejemplo 2

Describa el conjunto que se muestra en la imagen usando notación de intervalo:

Solución

El conjunto se abre con “(”, ya que no se puede alcanzar el infinito neg, luego se cierra con “)”, ya que 3 no está incluido. El conjunto se vuelve a abrir con “(” ya que 0 no está incluido, y finalmente se cierra con “)” ya que pos infinity tampoco se puede alcanzar.

Ejemplo 3

Describa los intervalos especificados, use notación de intervalos:

Solución

Todos los números negativos.
1. El cero no es ni positivo ni negativo, por lo que se usa el “)” para especificar que cero “no” está incluido. Al no existir un número máximo negativo, especificamos que infinito es el valor más bajo, y usamos “(” ya que no se puede alcanzar.
Los números entre cinco y doce, incluyendo cinco, pero no doce.
1. El “[” se usa para abrir el conjunto, ya que se incluye 5, pero “)” se usa para cerrar, ya que 12 no lo es.
Números negativos hasta seis negativos, cero y todos los números positivos.
1. El “(” denota que no se puede alcanzar el infinito negativo, y “]” en el otro extremo especifica que 9 está incluido en el conjunto.

Ejemplo 4

Describa el dominio en los conjuntos en las gráficas usando notación de intervalos:

Solución

Para la gráfica 1, el dominio es el conjunto de valores x comenzando con el -6 incluido y terminando en 4, que no se incluye: [-6, 4).

Para la gráfica 2, para el mismo razonamiento anterior, el dominio es [-6, 7).

Ejemplo 5

Describa el rango en los conjuntos en las imágenes en el Ejemplo 4 usando notación de intervalo.

Solución

El rango para la gráfica 1 es el conjunto de valores y de -3 (no incluidos) a 4 (incluidos): (-3, 4]

El rango para la gráfica 2 es: [-1, 6)

Revisar

Para #1 -4, escriba la desigualdad en notación de intervalos.

−3≤x<1
0<x<2
x>−3
x≤2

Para #5 -6, resuelve y pon tu respuesta en notación de intervalos.

−2x+3 <1
7x+4≤2x−6

Para #7 -10, escriba el conjunto de números dado en notación de intervalo.

10.

Para #11 -12, nombre el dominio y el rango para cada relación usando notación de intervalo.

11.

12.

Para #13 -16, exprese en notación de intervalos y luego bosquéelos en una recta numérica.

{x: −1≤x≤3}
{x: −2≤x<1}
A es el conjunto de todos los números mayores que 2 pero menores o iguales a 5.
{x: −3<x<∞}

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 1.3.

El vocabulario

Término	Definición
dominio	El dominio de una función es el conjunto de valores x para los que se define la función.
Notación de intervalos	La notación de intervalo es la notación [a, b), donde se define una función entre a y b. Use (o) para indicar que el valor final no está incluido y [o] para indicar que el valor final está incluido. Nunca use [o] con infinito o infinito negativo.
Rango	El rango de una función es el conjunto de valores y para los que se define la función.
Número Real	Un número real es un número que se puede trazar en una recta numérica. Los números reales incluyen todos los números racionales e irracionales.