1.1.4: Ceros e Intercepciones

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Ceros e Intercepciones de Funciones

Una intercepción en matemáticas es donde una función cruza el eje x o y. ¿Cuáles son las intercepciones de esta función?

Intercepciones X e Y

El primer tipo de intercepción que puede haber aprendido es la intersección y cuando aprendió la forma de intercepción de pendiente de una línea: y=mx+b. Una intercepción y es el punto único donde una función cruza el eje y. Se puede encontrar algebraicamente estableciendo x=0 y resolviendo para y.

Las intercepciones x son donde las funciones cruzan el eje x y donde la altura de la función es cero. También se les llama raíces, soluciones y ceros de una función. Se encuentran algebraicamente estableciendo y=0 y resolviendo para x. Vea los videos a continuación para practicar:

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó cuáles son las intercepciones de la gráfica a continuación.

Solución

Gráficamente la función tiene ceros en -2 y 3 con una intersección y en aproximadamente -1.1.

Nota: Para que una función pase la prueba de línea vertical, solo debe tener una intercepción y, pero puede tener múltiples intercepciones x.

Ejemplo 2

¿Cuáles son los ceros y las intercepciones y de la parábola y=x ² −2x−3?

Usando una gráfica:

Solución

Los ceros están en (-1, 0) y (3, 0). La intercepción y está en (0, -3).

Usando Álgebra:

Sustituye 0 por y para encontrar ceros.

0=x ² −2x−3 =( x−3) (x+1)

y=0, x=3, −1

Sustituye 0 por x para encontrar la intersección y.

y= (0) ² −2 (0) −3=−3

x=0, y=−3

Ejemplo 3

Identificar los ceros e intercepciones y para la función sinusoidal.

Solución

La intercepción y es (0, 0). Hay cuatro ceros visibles en esta parte de la gráfica. Una cosa que sabes de la gráfica sinusoidal es que es periódica y se repite para siempre en ambas direcciones. Para capturar cada intercepción x, debes identificar un patrón en lugar de intentar escribir cada una de ellas.

Las intercepciones x visibles son 0, π,2π,3π. El patrón es que hay una intercepción x cada múltiplo de π incluyendo múltiplos negativos. Para describir todos estos valores debes escribir:

Las intercepciones x son ±nπ donde n es un entero {0, ±1, ±2,...}.

Ejemplo 4

Identificar las intercepciones y ceros de la función:\(\ f(x)=\frac{1}{100}(x-3)^{3}(x+2)^{2}\)

Solución

Para encontrar la intersección y, sustituya 0 por x:

\(\ y=\frac{1}{100}(0-3)^{3}(0+2)^{2}=\frac{1}{100}(-27)(4)=-\frac{108}{100}=-1.08\)

Para encontrar las intercepciones x, sustituya 0 por y:

\(\ 0=\frac{1}{100}(x-3)^{3}(x+2)^{2}\)

x=3, −2

Así, la intersección y es (0, -1.08) y las intercepciones x son (3, 0) y (-2, 0).

Ejemplo 5

Determinar gráficamente las intercepciones de la siguiente función.

Solución

La intersección y es aproximadamente (0, -1). Las intercepciones x son aproximadamente (-2.3, 0), (-0.4, 0) y (0.7, 0). Al encontrar valores gráficamente, las respuestas son siempre aproximadas. Las respuestas exactas deben encontrarse analíticamente.

Revisar

1. Determine los ceros y la intersección y de la siguiente función usando álgebra:

f (x) = (x+1) ³ (x−4)

2. Determine las raíces y la intersección y de la siguiente función usando álgebra o una gráfica:

g (x) =x ⁴ −2x ³ −7x ² +20x−12

3. Determine gráficamente las intercepciones de la siguiente función:

Encuentra las intercepciones para cada una de las siguientes funciones.

4. y=x ²

5. y=x ³

6. y=ln (x)

7. y=\(\ \frac{1}{x}\)

8. y=e ^x

9. y=\(\ \sqrt{x}\)

10. ¿Hay alguna función sin una intercepción en Y? Explique.

11. ¿Hay alguna función sin una intercepción x? Explique.

12. Explique por qué tiene sentido que una intercepción x de una función también se llame “cero” de la función.

Determinar las intercepciones de las siguientes funciones utilizando álgebra o una gráfica.

13. h (x) =x ³ −6x ² +3x+10

14. j (x) =x ² −6x−7

15. k (x) =4x ⁴ −20x ³ −3x ² +14x+5

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 1.8.

El vocabulario

Término	Definición
Interceptar	Las intercepciones de una curva son las ubicaciones donde la curva interseca los ejes x e y. Una intersección x es un punto en el que la curva cruza el eje x. Una intersección y es un punto en el que la curva cruza el eje y.
Intercepta	Las intercepciones de una curva son las ubicaciones donde la curva interseca los ejes x e y. Una intersección x es un punto en el que la curva cruza el eje x. Una intersección y es un punto en el que la curva cruza el eje y.
Raíces	Las raíces de una función son los valores de x que hacen y igual a cero.
Prueba de línea vertical	La prueba de línea vertical dice que si una línea vertical dibujada en cualquier parte a través de la gráfica de una relación interseca la relación en más de una ubicación, entonces la relación no es una función.
Ceros	Los ceros de una función f (x) son los valores de x que hacen que f (x) sea igual a cero.

Atribuciones de imagen

[Figura 1]
Crédito: Fundación CK-12
Licencia: CC BY-SA
[Figura 2]
Crédito: Fundación CK-12
Licencia: CC BY-SA
[Figura 3]
Crédito: Fundación CK-12
Licencia: CC BY-SA
[Figura 4]
Crédito: Fundación CK-12
Licencia: CC BY-SA
[Figura 5]
Crédito: Fundación CK-12
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[Figura 6]
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