1.5.1: Transformaciones verticales y horizontales

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Transformaciones verticales y horizontales

Las transformaciones horizontales y verticales son dos de las muchas formas de convertir las funciones principales básicas de una familia de funciones en sus contrapartes más complejas.

¿Qué desplazamientos verticales y/o horizontales se deben aplicar a la función padre\(\ y=x^{2}\) de para poder graficar\(\ g(x)=(x-3)^{2}+4\)?

Transformaciones verticales y horizontales

¿Alguna vez has intentado dibujar un dibujo de un conejo, un gato o un perro? A menos que seas talentoso, incluso los animales más comunes pueden ser un desafío dibujar con precisión (¡o incluso reconociblemente!). Un truco que puede ayudar incluso a los más “artísticamente desafiados” a crear un boceto básico claramente reconocible se demuestra en casi todos los cursos de “aprender a dibujar”: comenzar con formas básicas. Al comenzar tu boceto con simples círculos, elipses, rectángulos, etc., se llega fácilmente al contorno básico de la figura más compleja, luego se pueden agregar detalles según sea necesario, pero la figura ya es reconocible por lo que es.

El mismo truco funciona a la hora de graficar ecuaciones. Al aprender las formas básicas de diferentes tipos de gráficas de funciones, y luego ajustar las gráficas con diferentes tipos de transformaciones, incluso gráficas complejas se pueden esbozar con bastante facilidad. Esta lección se centrará en dos tipos particulares de transformaciones: los desplazamientos verticales y los horizontales.

Podemos expresar la aplicación de los desplazamientos verticales de esta manera:

Formalmente: Para cualquier función f (x), la función g (x) = f (x) + c tiene una gráfica que es la misma que f (x), desplazada c unidades verticalmente. Si c es positivo, la gráfica se desplaza hacia arriba. Si c es negativo, la gráfica se desplaza hacia abajo.

Informalmente: Agregar un número positivo después de la x fuera de los paréntesis desplaza la gráfica hacia arriba, sumar un negativo (o restar) desplaza la gráfica hacia abajo.

Podemos expresar la aplicación de los turnos horizontales de esta manera:

Formalmente: dada una función f (x), y una constante a > 0, la función g (x) = f (x - a) representa un desplazamiento horizontal a unidades a la derecha de f (x). La función h (x) = f (x + a) representa un desplazamiento horizontal a unidades hacia la izquierda.

Informalmente: Agregar un número positivo después de la x dentro de los paréntesis desplaza la gráfica a la izquierda, al agregar un negativo (o restar) se desplaza la gráfica a la derecha.

Ejemplos

Ejemplo 1

Solución

Anteriormente, se le dio una pregunta sobre la aplicación de desplazamientos verticales y/o horizontales a una función padre para graficar una función diferente en la misma familia de funciones.

¿A qué transformaciones hay que aplicar\(\ y=x^{2}\), para poder graficar\(\ g(x)=(x-3)^{2}+4\)?

La gráfica de\(\ g(x)=(x-3)^{2}+4\) es la gráfica de 3 unidades\(\ y=x^{2}\) desplazadas a la derecha, y 4 unidades hacia arriba.

Ejemplo 2

¿Qué hay que hacer con la gráfica de\(\ y=x^{2}\) para convertirla en las gráficas de\(\ y=x^{2}-3\) y\(\ y=x^{2}+4\)?

Solución

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A primera vista, puede parecer que las gráficas tienen diferentes anchuras. Por ejemplo, podría parecer que y = x ² + 4, la más alta de las tres parábolas, es más delgada que las otras dos parábolas. Sin embargo, este no es el caso. Las parábolas son congruentes.

Si cambiáramos la gráfica de y = x ² hacia arriba cuatro unidades, tendríamos exactamente la misma gráfica que y = x ² + 4. Si desplazamos y = x ² hacia abajo tres unidades, tendríamos la gráfica de y = x ² - 3.

Ejemplo 3

Identificar las transformaciones involucradas en convertir la gráfica de f (x) = | x | en g (x) = | x - 3|.

Solución

A partir de los ejemplos de desplazamientos verticales anteriores, se podría pensar que la gráfica de g (x) es la gráfica de f (x), desplazada 3 unidades hacia la izquierda. Sin embargo, este no es el caso. La gráfica de g (x) es la gráfica de f (x), desplazada 3 unidades a la derecha.

La dirección del cambio tiene sentido si miramos valores de función específicos.

x	g (x) = abs (x - 3)
0	3
1	2
2	1
3	0
4	1
5	2
6	3

De la tabla podemos ver que el vértice de la gráfica es el punto (3, 0). Los valores de función a cada lado de x = 3 son simétricos y mayores que 0.

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Ejemplo 4

¿Qué transformaciones se deben aplicar a y=x ², para poder graficar g (x) =( x+2) ² −2?

Solución

La gráfica de g (x) = (x+2) ² −2 es la gráfica de y=x ² desplazada 2 unidades hacia la izquierda, y 2 unidades hacia abajo.

Ejemplo 5

Utilice la función padre f (x) = x ² para graficar f (x) = x ² + 3.

Solución

La función f (x) = x ² es una parábola con el vértice en (0, 0).

Agregar fuera del paréntesis desplaza la gráfica verticalmente.

Por lo tanto, f (x) = x ² + 3 será una parábola con el vértice 3 unidades arriba.g

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Ejemplo 6

Utilice la función padre f (x) = |x| para graficar f (x) = |x - 4|.

Solución

La gráfica de la función de valor absoluto familia función padre f (x) = |x| es una “V” grande con el vértice en el origen.

Sumar o restar dentro del paréntesis da como resultado un movimiento horizontal.

Recordemos que el desplazamiento horizontal es correcto para los números negativos, y a la izquierda para los números positivos.

Por lo tanto f (x) = |x - 4| es una “V” grande con el vértice 4 unidades a la derecha del origen.

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Revisar

Grafica la función f (x) =2|x−1|−3 sin una calculadora.
¿Cuál es el vértice de la gráfica y cómo lo sabes?
¿Se abre hacia arriba o hacia abajo y cómo lo sabes?
Para la función: f (x) =|x|+c si c es positivo, la gráfica se desplaza en qué dirección?
Para la función: f (x) =|x|+c si c es negativo, la gráfica se desplaza en qué dirección?
La función g (x) =|x−a| representa un desplazamiento hacia la derecha o hacia la izquierda?
La función h (x) =|x+a| representa un desplazamiento hacia la derecha o hacia la izquierda?
Si una gráfica está en la forma af (x). ¿Cuál es el efecto de cambiar la a?

Describir la transformación que ha tenido lugar para la función padre f (x) =|x|.

f (x) =|x|−5
f (x) =5|x+7|

Escribe una ecuación que refleje la transformación que ha tenido lugar para la función padre\(\ g(x)=\frac{1}{x}\), para que ésta se mueva de las siguientes maneras:

Mover dos espacios hacia arriba
Mover cuatro espacios hacia la derecha
Estirarlo por 2 en la dirección y

Escribe una ecuación para cada transformación descrita.

una forma de V desplazada hacia abajo 4 unidades.
una forma de V desplazada a la izquierda 6 unidades
una forma de V desplazada hacia la derecha 2 unidades y hasta 1 unidad.

Las siguientes gráficas son transformaciones de la función padre f (x) =|x| en forma de f (x) =a|x−h|=k. Gráfica o bosqueja cada una para observar el tipo de transformación.

f (x) =|x|+2. ¿Qué sucede con la gráfica cuando agregas un número a la función? (es decir, f (x) + k).
f (x) =|x|−4. ¿Qué sucede con la gráfica cuando restas un número a la función? (es decir, f (x) - k).
f (x) =|x−4|. ¿Qué sucede con la gráfica cuando restas un número en la función? (es decir, f (x - h)).
f (x) =|x+2|. ¿Qué sucede con la gráfica cuando agregas un número en la función? (es decir, f (x + h)).

Práctica: Grafica lo siguiente.

f (x) =2|x|
\(\ f(x)=\frac{5}{2}|x|\)
\(\ f(x)=\frac{1}{2}|x|\)
\(\ f(x)=\frac{2}{5}|x|\)
Dejar f (x) =x ². Sea g (x) la función obtenida desplazando la gráfica de f (x) dos unidades hacia la derecha y luego hacia arriba tres unidades. Encuentra una fórmula para g (x) y luego dibuja su gráfica

Supongamos que H (t) da la altura de la marea alta en Hawaii (H) un martes, (t) del año. Utilice turnos de la función H (t) para encontrar fórmulas de cada una de las siguientes funciones:

F (t), la altura de la marea alta en Fiji el martes (t), dado que la marea alta en Fiji es siempre un pie más alta que la marea alta en Hawai.
S (d), la altura de la marea alta en Santo Tomás el martes (t), dado que la marea alta en Santo Tomás es la misma altura que la altura del día anterior en Hawai.

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 1.12.

El vocabulario

Término	Definición
Función de valor absoluto	Una función de valor absoluto grafica una forma de V, y está en la forma y=\|x\|.
Familias de funciones	Las familias de funciones son grupos de funciones con similitudes que hacen que sean más fáciles de graficar cuando se está familiarizado con la función padre, el ejemplo más básico de la forma.
Familia de funciones	Las familias de funciones son grupos de funciones con similitudes que hacen que sean más fáciles de graficar cuando se está familiarizado con la función padre, el ejemplo más básico de la forma.
Desplazamiento horizontal	Un desplazamiento horizontal es el resultado de agregar un término constante a la función dentro de los paréntesis. Un término positivo da como resultado un desplazamiento hacia la izquierda y un término negativo en un desplazamiento hacia la derecha.
función padre	Una función padre es la forma más simple de un tipo particular de función. Todas las demás funciones de este tipo suelen compararse con la función padre.
turno	Un cambio, también conocido como traducción o diapositiva, es una transformación aplicada a la gráfica de una función que no cambia la forma u orientación de la gráfica, solo la ubicación de la gráfica.
turnos	Un cambio, también conocido como traducción o diapositiva, es una transformación aplicada a la gráfica de una función que no cambia la forma u orientación de la gráfica, solo la ubicación de la gráfica.
Transformaciones	Las transformaciones se utilizan para cambiar la gráfica de una función padre en la gráfica de una función más compleja.
Traducción	Una traslación es una transformación que desliza una figura en el plano de coordenadas sin cambiar su forma, tamaño u orientación.
Desplazamiento vertical	Un desplazamiento vertical es el resultado de agregar un término constante al valor de una función. Un término positivo da como resultado un cambio ascendente, y un término negativo en un cambio descendente.