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1.5.2: Transformaciones de estiramiento y reflexión

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    Transformaciones de estiramiento y reflexión

    Comprender cómo los cambios en la ecuación de una función resultan en estirar y/o reflejar la gráfica de la función es una excelente manera de sacar parte del misterio de graficar ecuaciones más complicadas. Al reconocer a la familia a la que pertenece una ecuación más compleja, y luego identificar qué cambios se han hecho al padre de esa familia, la gráfica de funciones incluso bastante detalladas puede hacerse mucho más comprensible.

    Vea si puede identificar qué partes de la ecuación:\(\ y=-\frac{1}{5} x^{2}\) representan ya sea un tramo o un reflejo de la función padre y=x 2 antes de los ejemplos de esta sección.


    Transformaciones de estiramiento y reflexión

    Gráficas de estiramiento y compresión

    Si multiplicamos una función por un coeficiente, la gráfica de la función se estirará o comprimirá.

    Dada una función f (x), podemos formalizar comprimiendo y estirando la gráfica de f (x) de la siguiente manera:

    • Una función g (x) representa un estiramiento vertical de f (x) si g (x) = cf (x) y c > 1.
    • Una función g (x) representa una compresión vertical de f (x) si g (x) = cf (x) y 0 < c < 1.
    • Una función h (x) representa una compresión horizontal de f (x) si h (x) = f (cx) y c > 1.
    • Una función h (x) representa un tramo horizontal de f (x) si h (x) = f (cx) y 0 < c < 1.

    Observe que se produce una compresión vertical o un estiramiento horizontal cuando el coeficiente es un número entre 0 y 1.

    Gráficos reflectantes sobre el eje y y el eje x

    Considere las gráficas de las funciones y = x 2 e y = -x 2, que se muestran a continuación.

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    La gráfica de y = -x 2 representa una reflexión de y = x 2, sobre el eje x. Es decir, cada valor de función de y = -x 2 es el negativo de un valor de función de y = x 2. En general, g (x) = -f (x) tiene una gráfica que es la gráfica de f (x), reflejada sobre el eje x.


    Ejemplo 1

    Solución

    Anteriormente, se le hizo una pregunta sobre la identificación de transformaciones.

    La función\(\ y=-\frac{1}{5} x^{2}\) es el resultado de transformar y=x 2 reflejándolo sobre el eje x, debido al coeficiente negativo en la x, y comprimiéndola verticalmente (haciéndola más ancha), porque el coeficiente en la x es una fracción entre 0 y 1.

    Ejemplo 2

    Identificar la gráfica de la función y = (3x) 2.

    Solución

    Hemos multiplicado x por 3. Esto debería afectar a la gráfica horizontalmente. Sin embargo, si simplificamos la ecuación, obtenemos y = 9x 2. Por lo tanto la gráfica si esta parábola será más alta/más delgada que y = x 2. Multiplicar x por un número mayor que 1 crea una compresión horizontal, que parece un estiramiento vertical.

    Ejemplo 3

    Identificar la transformación descrita por y = ((1/2) x) 2.

    Solución

    Si simplificamos esta ecuación, obtenemos y = (1/4) x 2. Por lo tanto, multiplicar x por un número entre 0 y 1 crea un estiramiento horizontal, que parece una compresión vertical. Es decir, la parábola será más corta/ancha.

    Ejemplo 4

    Dibuje una gráfica de y = x 3 e y = -x 3 en los mismos ejes.

    Solución

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    Al principio las dos funciones podrían parecerse a dos paráguilas. Si graficas a mano, o si estableces tu calculadora en modo secuencial (y no simultáneo), puedes ver que la gráfica de y = -x 3 es de hecho un reflejo de y = x 3 sobre el eje x.

    Sin embargo, si miras la gráfica, puedes ver que también es un reflejo sobre el eje y. Este es el caso porque para obtener una reflexión sobre el eje y, negamos x, es decir, h (x) = f (-x) es una reflexión de f (x) sobre el eje y. Para la función y = x 3, h (x) = (-x) 3 = (-x) (-x) (-x) = -x 3. Esta es la misma función que la que ya hemos graficado.

    Es importante señalar que este es un caso especial. La gráfica de y = x 2 también es un caso especial. Si queremos reflejar y = x 2 sobre el eje y, ¡solo obtendremos la misma gráfica! Esto se puede explicar algebraicamente: y = (-x) 2 = (-x) (-x) = x 2.

    Ejemplo 5

    Grafica las funciones\(\ y=\sqrt{x} \text { and } y=\sqrt{-x}\).

    Solución

    La ecuación\(\ y=\sqrt{-x}\) puede parecer confusa debido a la - x debajo de la raíz cuadrada. Es importante tener en cuenta que - x significa lo contrario de x. Por lo tanto, el dominio de esta función está restringido a valores ≤ 0. Por ejemplo, si\(\ x=-4, y=\sqrt{-(-4)}=\sqrt{4}=2\). Es este dominio, que incluye todos los números reales no en el dominio de\(\ y=\sqrt{x}\) más cero, el que nos da una gráfica que es un reflejo sobre el eje y.

    En suma, una gráfica representa una reflexión sobre el eje x si la función ha sido negada (es decir, la y ha sido negada si pensamos en y = f (x)). La gráfica representa una reflexión sobre el eje y si la variable x ha sido negada.

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    Ejemplo 6

    Identificar la función y esbozar el gráfico de\(\ y=\sqrt{x}\) reflejado sobre ambos ejes.

    Solución

    Para reflejar la gráfica de\(\ y=\sqrt{x}\) sobre ambos ejes, la función debe ser negada tanto fuera como dentro de la raíz:\(\ y=-\sqrt{-x}\). La negación (negativa) fuera de la raíz tiene el efecto de reflejar la gráfica verticalmente, y la negación dentro de la raíz refleja la gráfica horizontalmente. La imagen de abajo muestra tres versiones:

    AZUL:\(\ y=\sqrt{x}\)

    VERDE:\(\ y=-\sqrt{x}\)

    ROJO:\(\ y=\sqrt{-x}\)

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    Revisar

    1. Si una función se multiplica por un coeficiente, ¿qué pasará con la gráfica de la función?
    2. ¿Qué crea multiplicar x por un número mayor que uno?
    3. ¿Qué sucede cuando multiplicamos x por un número entre 0 y 1?
    4. Para obtener una reflexión sobre el eje y ¿qué tenemos que hacer con x?
    5. ¿Cómo obtenemos una reflexión sobre el eje x?
    6. Escribe una función que creará una compresión horizontal de lo siguiente:f (x) =x2+3
    7. Escribe una función que estire horizontalmente lo siguiente: f (x) =x 2 −6
    8. Reescribe la función\(\ f(x)=-\sqrt{x}\) para obtener una reflexión sobre el eje x.
    9. Reescribe la función\(\ f(x)=\sqrt{x}\) para obtener una reflexión sobre el eje y.

    Grafique cada uno de los siguientes usando transformaciones. Identificar las traducciones y reflexiones.

    1. f (x) =|x|−2
    2. \(\ h(x)=\sqrt{x+3}\)
    3. \(\ g(x)=\frac{1}{x+1}\)
    4. f (x) =−4x 3
    5. h (x) = (x+3) 3 +1
    6. \(\ f(x)=\frac{1}{3}(x-3)^{2}+1\)
    7. \(\ f(x)=-4 \sqrt{x+1}-2\)
    8. \(\ f(x)=\frac{2}{3(x-2)}+\frac{1}{4}\)

    Sea y=f (x) la función definida por el segmento de línea que conecta los puntos (-1, 4) y (2, 5). Grafique cada una de las siguientes transformaciones de y=f (x).

    1. y=f (x) +1
    2. y=f (x+2)
    3. y=f (−x)
    4. y=f (x+3) −2

    A continuación se muestra la gráfica de y = x. Dibuje la gráfica de cada una de las siguientes transformaciones de y = x

    1. y=x+3
    2. y=x−2
    3. y=−x

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 1.13.


    El vocabulario

    Término Definición
    compresión Un estiramiento o compresión es una transformación de función que hace que una gráfica sea más estrecha o ancha, sin traducirla horizontal o verticalmente.
    Familia de funciones Las familias de funciones son grupos de funciones con similitudes que hacen que sean más fáciles de graficar cuando se está familiarizado con la función padre, el ejemplo más básico de la forma.
    función padre Una función padre es la forma más simple de un tipo particular de función. Todas las demás funciones de este tipo suelen compararse con la función padre.
    Reflejando Reflejar una gráfica significa transformar la gráfica para producir una “imagen especular” de la gráfica original volteándola a través de una línea.
    Reflexión Las reflexiones son transformaciones que dan como resultado una “imagen especular” de una función padre. Son causadas por signos diferentes entre las funciones padre e hijo.
    estirar Un estiramiento o compresión es una transformación de función que hace que una gráfica sea más estrecha o más ancha.
    estiramiento Estirar una gráfica significa hacer que la gráfica sea más estrecha o más ancha.
    Transformaciones Las transformaciones se utilizan para cambiar la gráfica de una función padre en la gráfica de una función más compleja.

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