1.6.1: Composición de las funciones

Composición de Funciones

Si f (x) = x + 2, y g (x) = 2x + 4, ¿qué es f (g (x))?

Una función puede ser conceptualizada como una 'caja negra'. La entrada, o valor x se coloca en la caja, y la caja realiza un conjunto específico de operaciones en ella. Una vez finalizadas las operaciones, se obtiene la salida (el valor "f (x)" o "y"). Una vez recuperada la salida, la caja está lista para trabajar en la siguiente entrada.

Usando esta idea, la composición de funciones puede verse como una caja dentro de una caja. El valor x de entrada entra en la caja interna, y luego la salida de la caja interna se usa como entrada de la caja exterior.

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Composición de Funciones

Las funciones a menudo se describen en términos de “entrada” y “salida”. Por ejemplo, considere la función f (x) = 2x + 3. Cuando ingresamos un valor x, obtenemos un valor y, o un valor de función. Encontramos la salida tomando la entrada x, multiplicando por 2 y sumando 3. Podemos hacer esto para cualquier valor de x Ahora considere una segunda función g (x) = 5x. Para esta función también, podemos tomar un valor x, introducir la x en g (x) y obtener una salida. ¿Qué pasa si tomamos la salida de g y la usamos como entrada de f?

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Ejemplos

Ejemplo 1

Solución

Anteriormente, se le dio un problema para encontrar una función compuesta.

Si f (x) = x + 2, y g (x) = 2x + 4, ¿qué es f (g (x))?

f (g (x)) = f (2x + 4) = (2x + 4) + 2 = 2x + 6

Ejemplo 2

Dada la definición de función anterior, g (x) = 5x. Por lo tanto si x = 4, entonces tenemos g (4) = 5 (4) = 20. ¿Qué pasa si entonces tomamos la salida de 20 y la usamos como entrada de f?

Solución

Sustituyendo 20 in por x en f (x) = 2x + 3 da: f (20) = 2 (20) + 3 = 43.

La siguiente tabla muestra varios ejemplos de este mismo proceso:

x	Salida de g	Salida de f
2	10	23
3	15	33
4	20	43
5	25	53

Examinando los valores en la tabla, podemos ver un patrón: todos los valores de salida finales de f son 3 más de 10 veces la entrada inicial. Hemos creado una nueva función llamada h (x) de f (x) = 2x + 3 en la que g (x) = 5x es la entrada:

h (x) = f (5x) = 2 (5x) + 3 = 10x + 3

Cuando ingresamos una función en otra, llamamos a esto la composición de las dos funciones. Formalmente, escribimos la función compuesta como f (g (x)) = 10x + 3 o la escribimos como (f o g) x = 10x + 3

Ejemplo 3

Encuentra f (g (x)) y g (f (x)):

1. f (x) = 3x + 1 y g (x) = x ²
2. f (x) = 2x + 4 y g (x) = (1/2) x - 2

Solución

1. f (g (x)) = f (x ²) = 3 (x ²) + 1 = 3x ² + 1

   g (f (x)) = g (3x + 1) = (3x + 1) ² = 9x ² + 6x + 1

   En ambos casos, la función resultante es cuadrática.

2. f (g (x)) = 2 ((1/2) x - 2) + 4 = (2/2) x - 4 + 4 = (2/2) x = x

   g (f (x)) = g (2x + 4) = (1/2) (2x + 4) - 2 = x+ 2 - 2 = x.

   En este caso, los compuestos eran iguales entre sí, y ambos equivalían a x, la entrada original a la función. Esto significa que existe una relación especial entre estas dos funciones. Examinaremos esta relación en el Capítulo 3. Es importante señalar, sin embargo, que f (g (x) no es necesariamente igual a g (f (x)).

Ejemplo 4

Descomponer la función f (x) = (3x - 1) ² - 5 en una función cuadrática g (x) y una función lineal h (x).

Solución

Cuando componemos funciones, estamos combinando dos (o más) funciones ingresando la salida de una función en otra. También podemos descomponer una función. Considera la función f (x) = (2x + 1) ². Podemos descomponer esta función en una función “interior” y una “externa”. Por ejemplo, podemos construir f (x) = (2x+ 1) ² con una función lineal y una función cuadrática. Si g (x) = x ² y h (x) = (2x + 1), entonces f (x) = g (h (x)). La función lineal h (x) = (2x + 1) es la función interna, y la función cuadrática g (x) = x ² es la función externa.

Dejar h (x) = 3x - 1 y g (x) = x ² - 5. Entonces f (x) = g (h (x)) porque g (h (x)) = g (3x - 1) = (3x - 1) ² - 5.

La descomposición de una función no es necesariamente única. Por ejemplo, hay muchas maneras en que podríamos expresar una función lineal como la composición de otras funciones lineales.

Ejemplo 5

Dado:

f (x) =5x+3

g (x) =3x ²

Encuentra: f (g (4))

Solución

Para encontrar f (g (4)), necesitamos saber qué es g (4), así sabemos qué sustituir por f (x):

Sustituye 4 por x por la función g (x), dando: 34 ²

Simplificar: 316=48

g (4) =48

Sustituye 48 por la x en la función f (x) dando: 5 (48) +3

Simplificar: 240+3=243

f (g (4)) =243

Ejemplo 6

Dado:

h (n) =7n+1+4 (g (n))

g (t) =−t

f (x) =−2x+g (x)

Buscar: f (h (−5))

Solución

Primero, resolvamos para el valor de la función interna, h (−5). Entonces sabremos qué enchufar a la función externa.

h (−5) = (7) (−5) +1+4 (g (−5))

Para resolver por el valor de h, necesitamos resolver g (−5)

g (−5) =− (−5)

g (−5) =5

Ahora tenemos: h (−5) = (7) (−5) +1+ (4) (5)

Simplifica para obtener: h (−5) =−14

Ahora sabemos que h (−5) =−14. Eso nos dice que f (h (−5)) es f (−14)

Buscar f (−14) = (−2) (−14) +g (−14)

Entonces, para resolver el valor de f (−14), necesitamos resolver para el valor de g (−14)

g (−14) =− (−14)

g (−14) =14

¡Ahora ya podemos terminar!

f (−14) = (−2) (−14) +14

* f (−14) =42

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Revisar

Para problemas 1-4:

f (x) =2x−1 g (x) =3x h (x) =x ² +1

1. Buscar: f (g (−3))
2. Buscar: f (h (7))
3. Buscar: h (g (−4))
4. Encuentra: f (g (h (2)))

Evalúe cada composición a continuación:

5. Dado:\(\ f(x)=-5 x+2 \text { and } g(x)=\frac{1}{2} x+4 . \text { Find } f(g(12))\).
6. Dado:\(\ g(x)=-3 x+6 \text { and } h(x)=9 x+3 . \text { Find } g\left(h\left(\frac{1}{3}\right)\right)\).
7. Dado:\(\ f(x)=-\frac{1}{5} x+4 \text { and } g(x)=4 x^{2} . \text { Find } f(g(10))\).
8. Dado:\(\ g(x)=3|x-4|+6 \text { and } h(x)=-x^{3} . \text { Find } h(g(4))\).
9. Dado:\(\ f(x)=\sqrt{x+2} \text { and } g(x)=|2 x| \text { . Find } g(f(-7))\).
10. Dado:\(\ f(x)=-3 x+2 \text { and given } g(x)=2 x^{2} \text { and given } h(x)=4|7-x|+6 \text { . Find }f(g(h(1)))\).
11. Dado:\(\ f(x)=(-3) \text { and given } g(x)=\sqrt{2 x} \text { and given } h(x)=|4 x|-12 . \text { Find } f(h(g(18)))\).
12. ¿Las composiciones son conmutativas? En otras palabras, ¿no\(\ f(g(x))=g(f(x))\)?
13. Dado:\(\ f(x)=-2^{2}-5 x \text { and } h(x)=3 x+2 . \text { Find } f(h(x))\).
14. Dos funciones son inversas la una de la otra si\(\ f(g(x))=x \text { and } g(f(x))=x \text { If } f(x)=x+3\), encuentra su inversa:\(\ g(x)\)
15. Un fabricante de juguetes tiene un nuevo producto para vender. El número de unidades a vender,\(\ n\), es una función del precio p tal que:\(\ n(p)=30-25 p\). El ingreso r obtenido de las ventas es una función del número de unidades vendidas n de tal manera que:\(\ r(n)=1000-\frac{1}{4} x^{2}\). Encuentre la función para ingresos en términos de precio,\(\ p\).

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Reseña (Respuestas)

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El vocabulario

Término	Definición
función compuesta	Una función compuesta es una función h (x) formada mediante el uso de la salida de una función g (x) como entrada de otra función f (x). Las funciones compuestas se escriben en la forma h (x) =f (g (x)) o h=fg.
dominio	El dominio de una función es el conjunto de valores x para los que se define la función.
Función	Una función es una relación donde solo hay una salida por cada entrada. En otras palabras, por cada valor de x, solo hay un valor para y.
Composición de la función	La composición de funciones implica 'funciones anidadas' o funciones dentro de funciones. La composición de funciones es la aplicación de una función al resultado de otra función.
entrada	La entrada de una función es el valor en el que se realiza la función (comúnmente el valor x).
Salida	La salida de una función es el resultado de las operaciones realizadas en la variable independiente (comúnmente x). Los valores de salida son comúnmente los valores de y o f (x).
Rango	El rango de una función es el conjunto de valores y para los que se define la función.