2.2.1: Gráficas de polinomios usando transformaciones

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Penny ha recibido el encargo de pintar un gran mural del lado de la sociedad humana. La sociedad tiene una mascota, un león africano que la sociedad apoya donando dinero al zoológico local para su cuidado. Se espera que Penny dibuje al león, presente el boceto a la junta de la sociedad humana para su aprobación, y luego escale el dibujo a 22 pies cuadrados para que cubra el costado del edificio.

Poco después de que Penny realmente comience el trabajo de pintar el mural, es visitada por el presidente de la junta directiva de la sociedad humana. Le dice a Penny que el Jefe de Bomberos acaba de notificar a la sociedad que la actividad adicional que se espera que atraiga el mural significa que el edificio necesitará otra entrada/salida para la seguridad contra incendios. Desafortunadamente, eso significa que el mural tendrá que ser movido hacia arriba y hacia la derecha unos 5 pies.

¿Qué tipo de transformaciones de líneas complejas (como las de esta lección) habrá utilizado Penny para cuando complete el trabajo?

Graficar polinomios mediante transformaciones

Funciones polinomiales

Ya has estudiado muchos tipos diferentes de funciones, por ejemplo funciones lineales, funciones constantes y funciones cuadráticas. Estas tres funciones pertenecen a un grupo más grande de funciones llamadas funciones polinómicas.

El polinomio más simple se llama función de potencia. Una función de potencia es un polinomio de la forma f (x) =ax ⁿ donde a es un número real y n es un entero con n≥1.

Si n es par, entonces la función de potencia también se llama “par”, y si n es impar, entonces la función de potencia es “impar”. A continuación se muestran las gráficas de las cinco primeras funciones de potencia.

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Observe que cada función de potencia tiene solo una x− e y−intercept, el origen (0, 0).

El comportamiento final de una función describe los valores y−como x se vuelve muy grande (x→∞ en símbolos) o como x se vuelve muy pequeño (x→−∞).

Para potencias pares n, la función de potencia f (x) =ax ⁿ tiene forma de U (como una parábola) y como x→∞, f (x) →∞. Del mismo modo que x→−∞, f (x) →∞.
Para potencias impares n, la función de potencia va del tercer cuadrante al primer cuadrante (como la línea y=x). Como x→∞, f (x) →∞, y como x→−∞, f (x) →−∞.

Al igual que con cuadráticos y polinomios, el coeficiente principal a cambia el “estiramiento” vertical de las funciones de potencia.

Funciones de polinomios de gráficos usando transformaciones

Al igual que las cuadráticas, las funciones polinómicas se pueden graficar usando transformaciones de una gráfica conocida. Las transformaciones básicas son los desplazamientos verticales y horizontales y las reflexiones sobre los ejes x− e y−.

Dado un polinomio p (x) y números reales constantes c y a

p (x) +c es un desplazamiento vertical de la gráfica de p (x) por c unidades hacia arriba (por lo que la función se desplaza hacia abajo si c<0).
p (x−c) es un desplazamiento horizontal de la gráfica de p (x) por c unidades a la derecha. (Entonces la función se desplaza a la izquierda si c<0).
−p (x) es un reflejo de la gráfica de p (x) alrededor del eje x.
p (−x) es un reflejo de la gráfica de p (x) alrededor del eje y.
ap (x) es un estiramiento vertical por un múltiplo de a.
p (ax) es una compresión horizontal por un múltiplo de a.

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, te hicieron una pregunta sobre los tipos de transformaciones de líneas complejas que Penny habrá utilizado en su boceto para cuando lo complete.

Solución

Cuando Penny dibuja por primera vez al león, ella estará (probablemente inconscientemente) aplicando una compresión vertical y horizontal al boceto, ¡a menos que esté usando una hoja de papel muy grande!

Una vez aprobado el boceto, Penny necesitará estirar mucho la imagen vertical y horizontalmente para que la imagen sea lo suficientemente grande como para cubrir el costado del edificio.

Después de la visita del Jefe de Bomberos, se le requirió que Penny aplicara un turno horizontal y vertical para sacar la imagen del camino de la nueva puerta.

Ejemplo 2

A continuación se muestra la gráfica de f (x). Utilice la gráfica de f (x) para graficar f (x+4).

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Solución

Se trata de un desplazamiento horizontal de f (x) hacia la izquierda en 4 unidades.

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Ejemplo 3

A continuación se muestra la gráfica de f (x). Usa la gráfica de f (x) para graficar f (−x) +3.

Solución

Esto es un reflejo de f (x) alrededor del eje y y un desplazamiento vertical hacia arriba en 3 unidades.

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Ejemplo 4

Describir las transformaciones a una gráfica de la función ^y=x2 necesarias para hacer una aproximación razonable de f (x) =−x ⁴.

Solución

Dado que f (x) =−x ⁴ es una función par, la función f (x) ^=−x2 es una aproximación razonable, requiriendo solo una reflexión de ^y=x2 a través del eje x.

Ejemplo 5

Describir las transformaciones necesarias para hacer que una gráfica de la función de referencia f (x) =x ³ se vea como la gráfica de y=−2x ³ +2.

Solución

Las transformaciones necesarias para replicar la función y=−2x ³ +2 son reflejan f (x) =x3 a través del eje x, estira f (x) =−x ³ por 2 y desplazamiento f (x) =−2x ³ hacia arriba en 2.

Ejemplo 6

Describir el comportamiento final de f (x) =−7x ³ +6x ² −3x usando la prueba de coeficiente principal.

Solución

De acuerdo con la prueba del coeficiente inicial, dado f (x) =ax ⁿ donde a es el coeficiente principal y n es el grado, si n es impar y a es negativo, la gráfica sube a la izquierda, y abajo en la derecha.

f (x) =−7x ³ +6x ² −3x crece sin atarse hacia ∞ en el Cuadrante II y crece negativamente sin unirse en el Cuadrante IV.

Revisar

Dado: P (x) =7x ⁴ −5x ³ +x ² −7x+6
Estado:
1. El término principal:
2. El grado del polinomio:
3. El coeficiente principal:

Describa la transformación dada en cada pregunta a continuación:

Función Original: g (x) =3x ³ Función Transformada: f (x) =3x ³ +3
Función Original: g (x) =2x ³ +3 Función Transformada: f (x) =2x ³ +7
Función Original: g (x) =x ⁴ +2 Función Transformada: f (x) =3 (x ⁴ +2)
Función Original: g (x) =5x ³ Función Transformada: f (x) =\(\ 1\over 2\) (x ³)

Grafique lo siguiente usando transformaciones de funciones principales:

f (x) =2x ⁵ −4
f (x) = (x−4) ³ +6
A continuación se muestra la gráfica de f (x) =−2x ⁴ +x ².

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Describa cada transformación en base a las imágenes a continuación:

De: A
De: A
De: A
De: A

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 2.3.

El vocabulario

Término	Definición
compresión	Un estiramiento o compresión es una transformación de función que hace que una gráfica sea más estrecha o ancha, sin traducirla horizontal o verticalmente.
Función de potencia impar	Una función de potencia impar es un polinomio de la forma f (x) =ax ⁿ donde a es un número real y n es un entero impar.
función padre	Una función padre es la forma más simple de un tipo particular de función. Todas las demás funciones de este tipo suelen compararse con la función padre.
Polinomio	Un polinomio es una expresión con al menos un término algebraico, pero que no indica división por una variable ni contiene variables con exponentes fraccionarios.
Gráfica polinomial	Una gráfica polinómica es la gráfica de una función polinómica. El término se usa más comúnmente para funciones polinómicas con un grado de al menos tres.
Función de alimentación	Una función de potencia es un polinomio de la forma f (x) =ax ⁿ donde a es un número real y n es un entero con n≥1.
Reflexión	Las reflexiones son transformaciones que dan como resultado una “imagen especular” de una función padre. Son causadas por signos diferentes entre las funciones padre e hijo.
turno	Un cambio, también conocido como traducción o diapositiva, es una transformación aplicada a la gráfica de una función que no cambia la forma u orientación de la gráfica, solo la ubicación de la gráfica.
turnos	Un cambio, también conocido como traducción o diapositiva, es una transformación aplicada a la gráfica de una función que no cambia la forma u orientación de la gráfica, solo la ubicación de la gráfica.
estirar	Un estiramiento o compresión es una transformación de función que hace que una gráfica sea más estrecha o más ancha.
estiramiento	Estirar una gráfica significa hacer que la gráfica sea más estrecha o más ancha.
Transformaciones	Las transformaciones se utilizan para cambiar la gráfica de una función padre en la gráfica de una función más compleja.