2.4.1: Agujeros en Funciones Racionales

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Agujeros en Funciones Racionales

En una función como\(\ f(x)=\frac{(3 x+1)(x-1)}{(x-1)}\), debe tener en cuenta que el factor (x−1) claramente cancela dejando solo 3x−1. Esta parece ser una línea regular. ¿Qué pasa con esta línea en x=1?

Agujeros y funciones racionales

Un agujero en una gráfica parece un círculo hueco. Representa el hecho de que la función se acerca al punto, pero en realidad no se define en ese valor x preciso.

Echa un vistazo a la gráfica de la siguiente ecuación:

\(\ f(x)=(2 x+2) \cdot \frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)}{\left(x+\frac{1}{2}\right)}\)

La razón por la que esta función no se define en\(\ -\frac{1}{2}\)\(\ -\frac{1}{2}\) es porque no está en el dominio de la función. Como puede ver,\(\ f\left(-\frac{1}{2}\right)\) está indefinido porque hace que el denominador de la parte racional de la función sea cero lo que hace que toda la función sea indefinida. También nota que una vez que los factores se cancelan/eliminan entonces te quedan con una función normal que en este caso es 2x+2. El agujero en esta situación está en\(\ \left(-\frac{1}{2}, 1\right)\) porque después de eliminar los factores que cancelan,\(\ f\left(-\frac{1}{2}\right)=1\).

Esta es la esencia de lidiar con los agujeros en las funciones racionales. Deberías cancelar lo que puedas y graficar la función como normal asegurándote de anotar qué valores x hacen que la función sea indefinida. Una vez graficada la función sin agujeros retrocede e inserta los círculos huecos indicando qué valores x se eliminan del dominio. Es por ello que a los agujeros se les llama discontinuidades removibles.

Mire la primera parte de este video y concéntrese en los agujeros en las ecuaciones racionales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Antes, se le preguntó qué pasa con la ecuación\(\ f(x)=\frac{(3 x+1)(x-1)}{(x-1)} \text { at } x=1\).

Solución

Dado que esta función que no está definida en x=1 hay una discontinuidad removible que se representa como un círculo hueco en la gráfica. De lo contrario la función se comporta precisamente como 3x+1.

Ejemplo 2

Grafique la siguiente función racional e identifique las discontinuidades removibles.

\(\ f(x)=\frac{-x^{3}+3 x^{2}+2 x-4}{x-1}\)

Solución

Esta función requiere algo de álgebra para cambiarla de manera que los factores removibles se hagan evidentes. Debe sospechar que (x−1) es un factor del numerador e intentar la división polinómica o sintética a factorizar. Cuando lo haces, la función se convierte en:

\(\ f(x)=\frac{\left(-x^{2}+2 x+4\right)(x-1)}{(x-1)}\)

La discontinuidad removible ocurre en (1, 5).

Ejemplo 3

Grafique la siguiente función racional e identifique las discontinuidades removibles.

\(\ f(x)=\frac{x^{6}-6 x^{5}+5 x^{4}+27 x^{3}-48 x^{2}-9 x+54}{x^{3}-7 x-6}\)

Solución

Esta es probablemente una de las expresiones racionales más desafiantes con solo agujeros que la gente intenta graficar a mano. Hay múltiples formas de comenzar, pero un buen hábito en el que entrar es factorizar todo lo que puedas inicialmente. El denominador parece menos complicado con posibles factores (x±1), (x±2), (x±3), (x±6). Usando la división polinómica, encontrarás que el denominador se convierte en:

\(\ f(x)=\frac{x^{6}-6 x^{5}+5 x^{4}+27 x^{3}-48 x^{2}-9 x+54}{(x+1)(x+2)(x-3)}\)

Los factores del denominador son fuertes indicios en cuanto a los factores del numerador así que usa la división polinómica y prueba cada uno. Cuando factorizas completamente el numerador tendrás:

\(\ f(x)=\frac{\left(x^{3}-6 x^{2}+12 x-9\right)(x+1)(x+2)(x-3)}{(x+1)(x+2)(x-3)}\)

Observe los factores que cancelan (x=−1, −2,3) y luego trabajan con la función cúbica que queda.

\(\ f(x)=x^{3}-6 x^{2}+12 x-9\)

En este punto probablemente sea razonable hacer una tabla y trazar puntos para tener una idea de dónde vive esta función cúbica. También podrías notar que los coeficientes son casi del patrón 1 3 3 1 que es la expansión binomial. Al separar el -9 en -8 -1 se pueden factorizar los primeros cuatro términos.

\(\ f(x)=x^{3}-6 x^{2}+12 x-8-1=(x-2)^{3}-1\)

Esta es una función cúbica que ha sido desplazada a la derecha por dos unidades y una unidad hacia abajo.

Tenga en cuenta que hay dos agujeros que no caben en la ventana gráfica. Cuando esto sucede, aún necesita anotar dónde aparecerían dada una ventana del tamaño adecuado. Para ello, sustituya los valores x no válidos: x=−1, −2,3 en el cúbico factorizado que quedó después de cancelar.

\(\ f(x)=(x-2)^{3}-1\)

Agujeros: (3, 0); (-1, -28); (-2, -65)

Ejemplo 4

Sin graficar, identificar la ubicación de los agujeros de la siguiente función.

\(\ f(x)=\frac{x^{3}+4 x^{2}+x-6}{x^{2}+5 x+6}\)

Solución

Primero factorizar todo. Luego, identifique los valores x que hacen que el denominador sea cero y use esos valores para encontrar la ubicación exacta de los agujeros.

\(\ f(x)=\frac{(x+2)(x+3)(x-1)}{(x+3)(x+2)}\)

Agujeros: (-3, -4); (-2, -3)

Ejemplo 5

¿Cuál es una ecuación posible para la siguiente función racional?

Solución

La función parece ser una línea con una discontinuidad removible en (1, -1). La línea tiene pendiente 1 e intercepción y de -2 y así tiene la ecuación:

\(\ f(x)=x-2\)

La discontinuidad removible no debe permitir que la x sea 1 lo que implica que es de la forma\(\ \frac{x-1}{x-1}\). Por lo tanto, la función es:

\(\ f(x)=\frac{(x-2)(x-1)}{x-1}\)

Revisar

1. ¿Cómo encuentras los agujeros de una función racional?

2. ¿Cuál es la diferencia entre un agujero y una discontinuidad removible?

3. Si ves un círculo hueco en una gráfica, ¿qué significa eso?

Sin graficar, identificar la ubicación de los agujeros de las siguientes funciones.

\(\ f(x)=\frac{x^{2}+3 x-4}{x-1}\)
\(\ g(x)=\frac{x^{2}+8 x+15}{x+3}\)
\(\ h(x)=\frac{x^{3}+6 x^{2}+2 x-8}{x^{2}+x-2}\)
\(\ k(x)=\frac{x^{3}+6 x^{2}+2 x-8}{x^{2}-3 x+2}\)
\(\ j(x)=\frac{x^{3}+4 x^{2}-17 x-60}{x^{2}-9}\)
\(\ f(x)=\frac{x^{3}+4 x^{2}-17 x-60}{x^{2}-5 x+4}\)
\(\ g(x)=\frac{x^{3}-4 x^{2}-19 x-14}{x^{2}-8 x+7}\)
¿Cuál es una ecuación posible para la siguiente función racional?

12. ¿Cuál es una ecuación posible para la siguiente función racional?

Esbozar las siguientes funciones racionales.

\(\ f(x)=\frac{x^{3}+4 x^{2}-17 x-60}{x^{2}-x-12}\)
\(\ g(x)=\frac{x^{3}+4 x^{2}-17 x-60}{x^{2}+8 x+15}\)
\(\ h(x)=\frac{x^{3}-4 x^{2}-19 x-14}{x^{2}-6 x-7}\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 2.7.

vocabulario

Término	Definición
Agujero	Existe un agujero en la gráfica de una función racional en cualquier valor de entrada que haga que tanto el numerador como el denominador de la función sean iguales a cero.
Función Racional	Una función racional es cualquier función que pueda escribirse como la relación de dos funciones polinómicas.
Discontinuidades removibles	Las discontinuidades removibles también se conocen como agujeros. Ocurren cuando los factores pueden ser cancelados algebraicamente a partir de funciones racionales.
Discontinuidad removible	Las discontinuidades removibles también se conocen como agujeros. Ocurren cuando los factores pueden ser cancelados algebraicamente a partir de funciones racionales.

Atribuciones de imagen

[Figura 1]
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