2.4.2: Aíntotas Verticales

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Aíntotas Verticales

La función racional básica\(\ f(x)=\frac{1}{x}\) es una hipérbola con una asíntota vertical en x=0. Las funciones racionales más complicadas pueden tener múltiples asíntotas verticales. Estas asíntotas son características muy importantes de la función al igual que los agujeros. Tanto los agujeros como las asíntotas verticales ocurren en valores x que hacen que el denominador de la función sea cero. Una pregunta impulsora es: ¿qué hace que las asíntotas verticales sean diferentes de los agujeros?

Búsqueda de asíntotas verticales

Las asíntotas verticales ocurren cuando un factor del denominador de una expresión racional no se cancela con un factor del numerador. Cuando se tiene un factor que no cancela, en lugar de hacer un agujero en ese valor x, existe una asíntota vertical. La asíntota vertical está representada por una línea vertical punteada. La mayoría de las calculadoras no identificarán asíntotas verticales y algunas dibujarán incorrectamente una línea empinada como parte de una función donde realmente existe la asíntota.

Tu trabajo es poder identificar asíntotas verticales a partir de una función y describir cada asíntota usando la ecuación de una línea vertical.

Tome la siguiente función racional:

\(\ f(x)=\frac{(2 x-3)(x+1)(x-2)}{(x+2)(x+1)}\)

Para identificar los agujeros y las ecuaciones de las asíntotas verticales, primero decidir qué factores cancelan. El factor que cancela representa la discontinuidad removible. Hay un agujero en (-1, 15). La asíntota vertical ocurre en x=−2 porque el factor x+2 no se cancela.

Vea el siguiente video, enfocándose en las partes sobre asíntotas verticales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó en qué se diferencian las asíntotas que los agujeros.

Solución

Los agujeros ocurren cuando los factores del numerador y el denominador cancelan. Cuando un factor en el denominador no cancela, produce una asíntota vertical. Tanto los agujeros como las asíntotas verticales restringen el dominio de una función racional.

Ejemplo 2

Escribe una función que se ajuste a los siguientes criterios:

asíntotas verticales a 0 y 3
Ceros a 2 y 5
Agujero en (4, 2)

Solución

Cada criterio ayuda a construir la función. Las asíntotas verticales implican que el denominador tiene dos factores que no cancelan con el numerador:

\(\ \frac{1}{x \cdot(x-3)}\)

Los ceros a 2 y 5 implican que el numerador tiene dos factores que no cancelan.

\(\ \frac{(x-2)(x-5)}{x \cdot(x-3)}\)

El agujero en (4, 2) implica que hay un factor x−4 que se cancela en el numerador y el denominador.

\(\ \frac{(x-2)(x-5)(x-4)}{x \cdot(x-3)(x-4)}\)

La parte difícil es que la altura de la función debe ser 2 después de que el factor x−4 haya sido cancelado y el 4 sea sustituido en. Actualmente lo es\(\ -\frac{1}{2}\).

\(\ \frac{(4-2)(4-5)}{4 \cdot(4-3)}=-\frac{1}{2}\)

Para que el agujero exista a una altura de 2, es necesario multiplicar la función por un escalar de -4.

\(\ f(x)=\frac{-4(x-2)(x-5)(x-4)}{x \cdot(x-3)(x-4)}\)

Ejemplo 3

Dibuja las asíntotas verticales para la siguiente función.

\(\ f(x)=\frac{1}{(x-4)(x-2)(x+3)}\)

Solución

Tenga en cuenta que es posible que no conozca las características de lo que hace la función dentro de estas líneas verticales. Pronto aprenderás a usar pruebas de signos así como técnicas que ya aprendiste para rellenar las cuatro secciones en las que se divide esta función.

Ejemplo 4

Identificar los agujeros y ecuaciones de las asíntotas verticales de la siguiente función racional.

\(\ f(x)=\frac{3(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)}{5\left(x+\frac{1}{2}\right)(2+x)(3-x)(x-8)}\)

Solución

Las asíntotas verticales ocurren en\(\ x=-\frac{1}{2}, x=8\). Los agujeros ocurren cuando x es -2 y 3. Para obtener la altura de los agujeros en estos puntos, recuerde cancelar lo que se puede cancelar y luego sustituir los valores. Un error muy común es olvidar cancelar\(\ \frac{x-3}{3-x}=-1\).

\ (\\ begin {alineado}
g (x) &=\ frac {-3 (x-1) (x+4)} {5\ left (x+\ frac {1} {2}\ derecha) (x-8)}\\
g (-2) &=\ frac {6} {25}\
g (3) &=\ frac {12} {25}
\ end {alineado}\)

Los agujeros están en\(\ \left(-2, \frac{6}{25}\right),\left(3, \frac{12}{25}\right)\).

Ejemplo 5

Identificar el dominio de la siguiente función y luego identificar los agujeros y asíntotas verticales.

\(\ f(x)=\frac{(3 x-4)(1-x)\left(x^{2}+4\right)}{(3 x-2)(x-1)}\)

Solución

El dominio de la función escrita en notación de intervalos es:\(\ \left(-\infty, \frac{2}{3}\right) \cup\left(\frac{2}{3}, 1\right) \cup(1, \infty)\). Tenga en cuenta que el dominio es todo números reales excepto donde el denominador es cero.

Hay dos discontinuidades: una es un agujero y otra es una asíntota vertical. El agujero ocurre en (1, 5). La asíntota vertical ocurre en\(\ x=\frac{2}{3}\).

Observe que los agujeros se identifican como puntos mientras que las asíntotas verticales se identifican como líneas de la forma x=a donde a es alguna constante.

Revisar

1. Escribe una función que se ajuste a los siguientes criterios:

asíntotas verticales en 1 y 4
Ceros a 3 y 5
Orificio en (6, 3)

2. Escribe una función que se ajuste a los siguientes criterios:

asíntotas verticales a -2 y 2
Ceros en 1 y 5
Orificio en (3, -4)

3. Escribe una función que se ajuste a los siguientes criterios:

asíntotas verticales a 0 y 3
Ceros en 1 y 2
Orificio en (8, 21)

4. Escribe una función que se ajuste a los siguientes criterios:

asíntotas verticales a las 2 y 6
Cero a 5
Orificio en (4, 1)

5. Escribe una función que se ajuste a los siguientes criterios:

Aíntota vertical a las 4
Ceros a 0 y 3
Orificio en (5, 10)

Dar las ecuaciones de las asíntotas verticales para las siguientes funciones.

\(\ f(x)=\frac{(2-x)}{(x-2)(x-4)}\)
\(\ g(x)=\frac{-x}{(x+1)(x-3)}\)
\(\ h(x)=6-\frac{x+2}{(x+1)(x-5)}\)
\(\ j(x)=\frac{10}{x-3}-\frac{x}{(x+2)(x-3)}\)
\(\ k(x)=2-\frac{(4-x)}{(x+3)(x-4)}\)

Identificar los agujeros y ecuaciones de las asíntotas verticales de las siguientes funciones racionales.

\(\ f(x)=\frac{3(x-1)(x+1)(x-4)(x+4)}{4(x+4)(2+x)(4-x)(x+1)}\)
\(\ g(x)=\frac{x(x-3)(x-8)(x-3)(x+4)}{7(x+1)(1+x)(3-x)(x-8)}\)

Declarar el dominio de las siguientes funciones racionales.

\(\ h(x)=\frac{x(x+1)(x-3)(x+4)}{x(3-x)(x-1)}\)
\(\ j(x)=\frac{x^{2}+3 x-4}{x^{2}-6 x-16}\)
\(\ k(x)=\frac{2 x-10}{x^{3}+4 x^{2}+3 x}\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 2.9.

El vocabulario

Término	Definición
dominio	El dominio de una función es el conjunto de valores x para los que se define la función.
Agujero	Existe un agujero en la gráfica de una función racional en cualquier valor de entrada que haga que tanto el numerador como el denominador de la función sean iguales a cero.
Notación de intervalos	La notación de intervalo es la notación [a, b), donde se define una función entre a y b. Use (o) para indicar que el valor final no está incluido y [o] para indicar que el valor final está incluido. Nunca use [o] con infinito o infinito negativo.
Función Racional	Una función racional es cualquier función que pueda escribirse como la relación de dos funciones polinómicas.
Discontinuidad removible	Las discontinuidades removibles también se conocen como agujeros. Ocurren cuando los factores pueden ser cancelados algebraicamente a partir de funciones racionales.
Asymptota vertical	Una asíntota vertical es una línea vertical que marca un valor específico hacia el que puede acercarse la gráfica de una función, pero nunca alcanzará.
Ceros	Los ceros de una función f (x) son los valores de x que hacen que f (x) sea igual a cero.
Ceros	Los ceros de una función f (x) son los valores de x que hacen que f (x) sea igual a cero.

Atribuciones de imagen

[Figura 1]
Crédito: Fundación CK-12
Licencia: CC BY-SA