2.4.3: Asíntotas horizontales

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Aíntotas horizontales

Las asíntotas verticales describen el comportamiento de una función ya que los valores de x se acercan a un número específico. Las asíntotas horizontales describen el comportamiento de una función a medida que los valores de x se vuelven infinitamente grandes e infinitamente pequeños. Dado que las funciones no pueden tocar asíntotas verticales, ¿tampoco se les permite tocar asíntotas horizontales?

Búsqueda de asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales son un medio para describir el comportamiento final de una función. El comportamiento final esencialmente es una descripción de lo que sucede a cada lado de la gráfica a medida que la función continúa infinitamente hacia la derecha y hacia la izquierda. Al determinar las asíntotas horizontales, es importante considerar tanto el lado derecho como el izquierdo, ya que las asíntotas horizontales no necesariamente serán las mismas en ambos lugares. Considera la función recíproca y observa cómo a medida que x va a la derecha e izquierda se aplana a la línea y=0.

A veces las funciones se aplanan y otras veces las funciones aumentan o disminuyen sin límite. Básicamente hay tres casos.

Caso 1: El grado de numerador es menor que el grado de denominador

El primer caso es que la función se aplana a 0 ya que x se vuelve infinitamente grande o infinitamente pequeña. Esto sucede cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador. El grado está determinado por el mayor exponente de x.

\(\ f(x)=\frac{2 x^{8}+3 x^{2}+100}{x^{9}-12}\)

Una forma de razonar por qué esto tiene sentido es porque cuando x es un número ridículamente grande entonces la mayoría de las partes de la función apenas tienen ningún impacto. El 100 por ejemplo no es nada en comparación y tampoco lo es el 3x ². Los dos términos importantes a comparar son x ⁸ y x ⁹. El 2 ni siquiera es importante ahora porque si x es incluso solo un millón que el x ⁹ será un millón de veces más grande que el x ⁸ y el 2 apenas importa de nuevo. Esencialmente, cuando x se vuelve lo suficientemente grande, esta función actúa como\(\ 1 \over 2\) que tiene una asíntota horizontal de 0.

Caso 2: El grado de numerador es igual al grado de denominador

Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, la asíntota horizontal es igual a la relación de los coeficientes iniciales.

\(\ f(x)=\frac{6 x^{4}-3 x^{3}+12 x^{2}-9}{3 x^{4}+144 x-0.001}\)

Observe como el grado tanto del numerador como del denominador es 4. Esto significa que la asíntota horizontal es\(\ y=\frac{6}{3}=2\). Una forma de razonar por qué esto tiene sentido es porque cuando x llega a ser un número muy grande todas las potencias más pequeñas realmente no tendrán mucho impacto. Los mayores contribuyentes son sólo los mayores poderes. Entonces el valor del numerador será aproximadamente el doble que el del denominador. A medida que x se hace aún más grande, entonces la función se acercará aún más a 2.

Caso 3: El grado de numerador es mayor que el grado de denominador

Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, no existe una asíntota horizontal. Debes determinar si la función aumenta o disminuye sin límite tanto en la dirección izquierda como en la derecha.

Vea el siguiente video, enfocándose en las partes sobre asíntotas horizontales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó si a las funciones se les permite tocar sus asíntotas horizontales.

Solución

Las funciones pueden tocar y pasar por asíntotas horizontales sin límite. Esta es una diferencia entre asíntotas verticales y horizontales. En el cálculo, existen pruebas rigurosas para demostrar que funciones como la del Ejemplo C se acercan arbitrariamente a la asíntota.

Ejemplo 2

Identificar las asíntotas verticales y horizontales de la siguiente función racional.

\(\ f(x)=\frac{(x-2)(4 x+3)(x-4)}{(x-1)(4 x+3)(x-6)}\)
Solución

Hay factor que cancela que no es ni una asíntota horizontal ni vertical. Las asíntotas verticales ocurren en x=1 y x=6. Para obtener la asíntota horizontal se podría multiplicar metódicamente cada binomio, sin embargo como la mayoría de esos términos no importan, es más eficiente determinar primero las potencias relativas del numerador y el denominador. En este caso ambos resultan ser 3. A continuación determinar el coeficiente de los términos cúbicos solamente. El numerador tendrá 4x ³ y el denominador tendrá 4x ³ y así la asíntota horizontal ocurrirá en\(\ y=\frac{4}{4}=1\).

Ejemplo 3

Describir el comportamiento del extremo derecho de la siguiente función.

Solución

Observe lo rápido que se establece esta función de onda de amortiguación. Parece que hay un eje horizontal obvio a la derecha en y=1

Ejemplo 4

Identificar las asíntotas horizontales de la siguiente función.

\(\ f(x)=\frac{(x-3)(x+2)}{|(x-5)| \cdot(x-1)}\)

Solución

Agregar texto aquíPrimero observe el valor absoluto que rodea uno de los términos en el denominador. Los grados tanto del numerador como del denominador serán 2 lo que significa que la asíntota horizontal ocurrirá en un número. A medida que x se vuelve infinitamente grande, la función es aproximadamente:

\(\ f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}}\)

Entonces la asíntota horizontal es y=−1 ya que x se vuelve infinitamente grande.

Por otro lado, a medida que x se vuelve infinitamente pequeña la función es aproximadamente:

\(\ f(x)=\frac{x^{2}}{-x^{2}}\)

Entonces la asíntota horizontal es y=−1 ya que x se vuelve infinitamente pequeña.

En este caso, no se puede utilizar ciegamente la regla del coeficiente principal porque el valor absoluto cambia el signo.

Ejemplo 5

Identificar las asíntotas horizontales si existen para las siguientes 3 funciones.

\(\ f(x)=\frac{3 x^{6}-72 x}{x^{6}+999}\)
\(\ h(x)=\frac{a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e}{f x^{4}+g x^{3}+h x^{2}}\)
\(\ g(x)=\frac{f(x)}{h(x)}\)

Solución

Los grados del numerador y del denominatro son iguales por lo que la asíntota horizontal esy=3.
Los grados del numerador y el denominador son iguales de nuevo por lo que la asíntota horizontal es\(\ y=\frac{a}{f}\)
A medida que x se vuelve infinitamente grande,\(\ g(x)=\frac{f(x)}{h(x)}=\frac{\frac{3 x^{6}-72 x}{x^{6}+999}}{\frac{a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e}{f x^{4}+g x^{3}+h x^{2}}} \approx \frac{3}{\frac{a}{f}}=\frac{3 f}{a}\)

Cuando estudies el cálculo, aprenderás las técnicas rigurosas que te permiten sentirte más seguro sobre resultados como este.

Revisar

Identificar las asíntotas horizontales, si existen, para las siguientes funciones.

\(\ f(x)=\frac{5 x^{4}-2 x}{x^{4}+32}\)
\(\ g(x)=\frac{3 x^{4}-2 x^{6}}{-x^{4}+2}\)
\(\ h(x)=\frac{3 x^{4}-5 x}{8 x^{3}+3 x^{4}}\)
\(\ j(x)=\frac{2 x^{3}-15 x}{-x^{4}+3}\)
\(\ k(x)=\frac{2 x^{5}-3 x}{5 x^{2}+3 x^{4}+2 x-7 x^{5}}\)
\(\ f(x)=\frac{a x^{14}+b x^{23}+c x^{12}+d x+e}{f x^{24}+g x^{23}+h x^{21}}\)
\(\ g(x)=\frac{(x-1)(x+4)}{|(x-2)| \cdot(x-1)}\)
Escribe una función que se ajuste a los siguientes criterios:
- Asíntotas verticales a x=1 y x=4
- Ceros a 3 y 5
- Agujero cuando x=6
- Asintota horizontal en\(\ y=\frac{2}{3}\)
Escribe una función que se ajuste a los siguientes criterios:
- Asíntotas verticales en x=−2 y x=2
- Ceros en 1 y 5
- Agujero cuando x=3
- Asymptota horizontal en y=1
Escribe una función que se ajuste a los siguientes criterios:
- Asíntotas verticales a x=0 y x=3
- Ceros en 1 y 2
- Agujero cuando x=8
- Aíntota horizontal en y=2
Escribe una función que se ajuste a los siguientes criterios:
- Aíntotas verticales a las 2 y 6
- Cero a 5
- Agujero cuando x=4
- Aíntota horizontal en y=0
Escribe una función que se ajuste a los siguientes criterios:
- Aíntota vertical a las 4
- Ceros a 0 y 3
- Agujero cuando x=5
- Sin asíntotas horizontales

Identificar las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones racionales.

\(\ f(x)=\frac{(x-5)(2 x+1)(x-3)}{(x-3)(4 x+5)(x-6)}\)
\(\ g(x)=\frac{x(x-1)(x+3)(x-5)}{3 x(x-1)(4 x+3)}\)
\(\ h(x)=\frac{(x-2)(x+3)(x-6)}{(x-4)(x+3)^{2}(x+2)}\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 2.10.

El vocabulario

Término	Definición
Comportamiento final	El comportamiento final es una descripción de la tendencia de una función ya que los valores de entrada se vuelven muy grandes o muy pequeños, representados como los 'extremos' de una función gráfica.
Agujero	Existe un agujero en la gráfica de una función racional en cualquier valor de entrada que haga que tanto el numerador como el denominador de la función sean iguales a cero.
Asíntota horizontal	Una asíntota horizontal es una línea horizontal que indica dónde se aplana una función ya que la variable independiente se vuelve muy grande o muy pequeña. Una función puede tocar o pasar a través de una asíntota horizontal.
Función Racional	Una función racional es cualquier función que pueda escribirse como la relación de dos funciones polinómicas.
Asíntota vertical	Una asíntota vertical es una línea vertical que marca un valor específico hacia el que puede acercarse la gráfica de una función, pero nunca alcanzará.
Cero	Los ceros de una función f (x) son los valores de x que hacen que f (x) sea igual a cero.
Ceros	Los ceros de una función f (x) son los valores de x que hacen que f (x) sea igual a cero.
Ceros	Los ceros de una función f (x) son los valores de x que hacen que f (x) sea igual a cero.

Atribuciones de imagen

[Figura 1]
Crédito: Fundación CK-12
Licencia: CC BY-SA
[Figura 2]
Crédito: Fundación CK-12
Licencia: CC BY-SA