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2.4.4: Resolver ecuaciones racionales

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    Resolviendo ecuaciones racionales

    Las técnicas para resolver ecuaciones racionales son extensiones de técnicas que ya conoces. Recordemos que cuando hay fracciones en una ecuación se puede multiplicar por el denominador para borrar la fracción. La misma técnica ayuda a convertir expresiones racionales en polinomios que ya sabes resolver. Cuando se multiplica por una constante no hay problema, pero cuando se multiplica por un valor que varía y posiblemente podría ser cero cosas interesantes suceden.

    Dado que cada ecuación es trivialmente cierta cuando ambos lados se multiplican por cero, ¿cómo se tiene en cuenta esto al resolver ecuaciones racionales?


    Encontrar soluciones a ecuaciones racionales

    El primer paso para resolver ecuaciones racionales es transformar la ecuación en una ecuación polinómica. Esto se logra limpiando la fracción, lo que significa multiplicar toda la ecuación por el denominador común de todas las expresiones racionales. Entonces deberías resolver usando lo que ya sabes. Lo último que hay que verificar una vez que se tienen las soluciones es que no hacen que los denominadores de ninguna parte de la ecuación sean iguales a cero cuando se sustituyan de nuevo en la ecuación original. Si es así, esa solución se llama extraño y es una solución “falsa” que se introdujo cuando ambos lados de la ecuación se multiplicaron por un número que resultó ser cero.

    Tome la siguiente ecuación racional:

    \(\ x-\frac{5}{x+3}=12\)

    Para encontrar las soluciones de la ecuación, primero multiplique todas las partes de la ecuación por (x+3), el denominador común, y luego simplifique.

    \ (\\ begin {alineado}
    x (x+3) -5 &=12 (x+3)\\
    x^ {2} +3 x-5-12 x-36 &=0\\
    x^ {2} -9 x-41 &=0\\
    x &=\ frac {- (-9)\ pm\ sqrt {(-9) ^ {2} -4\ cdot 1\ cdot (-41)} 2\ cdot 1}\\
    x &=\ frac {9\ pm 7\ sqrt {5}} {2}
    \ end {alineado }\)

    La única solución externa potencial habría sido -3 ya que ese es el número que hace que el denominador de la ecuación original sea cero. Por lo tanto, ambas respuestas son posibles.


    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, se le pidió dar cuenta de las soluciones adicionales introducidas cuando ambos lados de una ecuación se multiplican por una variable.

    Solución

    Para poder lidiar con las posibles soluciones extra, se debe verificar cada solución para ver si hace cero el denominador de alguna fracción en la ecuación original. Si lo hace, se llama solución ajera.

    Ejemplo 2

    Resuelve la siguiente ecuación racional

    \(\ \frac{3 x}{x+4}-\frac{1}{x+2}=-\frac{2}{x^{2}+6 x+8}\)

    Solución

    Multiplica cada parte de la ecuación por el denominador común de x 2 +6x+8 =( x+2) (x+4).

    \ (\\ comenzar {alineado}
    (x+2) (x+4)\ izquierda [\ frac {3 x} {x+4} -\ frac {1} {x+2}\ derecha] &=\ izquierda [\ frac {-2} {(x+2) (x+4)}\ derecha] (x+2) (x+2) (x+4)\
    3 x (x+2) - (x+4) &=-2\
    3 x^ {2} +6 x-x-2 &=0\\
    3 x^ {2} +5 x-2 &=0\\
    (3 x-1) (x+2) &=0\\
    x &=\ frac {1} {3}, -2
    \ end {alineado}\)

    Tenga en cuenta que -2 es una solución ajera. La única solución real es\(\ x=\frac{1}{3}\).

    Ejemplo 3

    Resolver la siguiente ecuación racional para y.

    \(\ x=2+\frac{1}{2+\frac{1}{y+1}}\)

    Esta pregunta se puede hacer de múltiples maneras. Se puede utilizar la técnica de aclaramiento de fracciones dos veces.

    Solución

    \ (\\ comenzar {alineado}
    \ izquierda (2+\ frac {1} {y+1}\ derecha) x &=\ izquierda [2+\ frac {1} {2+\ frac {1} {y+1}}\ derecha]\ izquierda (2+\ frac {1} {y+1}\ derecha)\\
    2 x+\ frac {x} {y+1} &=2\ izquierda (2+\ frac {1} {y+1}\ derecha) +1\\
    2 x+\ frac {x} {y+1} &=4+\ frac {2} {y+1} +1\\
    (y+1)\ izquierda [2 x+\ frac { x} {y+1}\ derecha] &=\ izquierda [5+\ frac {2} {y+1}\ derecha] (y+1)\\
    2 x (y+1) +x &=5 (y+1) +2\\
    2 x y+2 x+x &=5 y+5+2
    \ final {alineado}\)

    Ahora solo lleva la variable y a un lado de la ecuación y todo lo demás al otro lado.

    \ (\\ comenzar {alineado}
    2 x y-5 y &=-3 x+7\\
    y (2 x-5) &=-3 x+7\\
    y &=\ frac {-3 x+7} {2 x-5}
    \ final {alineado}\)

    Ejemplo 4

    Resuelve la siguiente ecuación racional.

    \(\ \frac{3 x}{x-5}+4=x\)

    Solución

    \ (\\ comenzar {alineado}
    3 x+4 x-20 &=x^ {2} -5 x\\
    0 &=x^ {2} -12 x+20\\
    0 & =( x-2) (x-10)\\
    x &=2,10
    \ final {alineado}\)

    Ninguna solución es ajera.

    Ejemplo 5

    En los circuitos eléctricos, la resistencia se puede resolver por el uso de expresiones racionales. Se trata de un diagrama de circuito eléctrico con tres resistencias. La primera resistencia R1 se ejecuta en serie a las otras dos resistencias R2 y R 3 que se ejecutan en paralelo. Si la resistencia total R es de 100 ohmios y R 1 y R 3 son cada uno de 22 ohmios, ¿cuál es la resistencia de R 2?

    Solución

    La ecuación de valor es:

    \(\ R=R_{1}+\frac{R_{2} R_{3}}{R_{2}+R_{3}}\)

    F-d_7f6e3724482095c125e36965db1f5d555194e44194272649bd66b627+image_thumb_postcard_tiny+image_thumb_postcard_tiny.png[Figura1]

    \ (\\ comenzar {alineado}
    R&=R_ {1} +\ frac {R_ {2} R_ {3}} {R_ {2} +R_ {3}}\\
    100&=22+\ frac {x\ cdot 22} {x+22}\\
    78 (x+22) &=22 x\\
    78 x+1716&=22 x\
    56 x&==-1716\\
    x&=-30.65
    \ final {alineado}\)

    Una pregunta de seguimiento sería preguntar si los ohmios pueden ser negativos o no, lo que está más allá del alcance de este texto.


    Revisar

    Resolver las siguientes ecuaciones racionales. Identificar cualquier solución ajera.

    1. \(\ \frac{2 x-4}{x}=\frac{16}{x}\)
    2. \(\ \frac{4}{x+1}-\frac{x}{x+1}=2\)
    3. \(\ \frac{5}{x+3}+\frac{2}{x-3}=1\)
    4. \(\ \frac{3}{x-4}-\frac{5}{x+4}=6\)
    5. \(\ \frac{x}{x+1}-\frac{6}{x+2}=4\)
    6. \(\ \frac{x}{x-4}-\frac{4}{x-4}=8\)
    7. \(\ \frac{4 x}{x-2}+3=1\)
    8. \(\ \frac{-2 x}{x+1}+6=-x\)
    9. \(\ \frac{1}{x+2}+1=-2 x\)
    10. \(\ \frac{-6 x-3}{x+1}-3=-4 x\)
    11. \(\ \frac{x+3}{x}-\frac{3}{x+3}=\frac{6}{x^{2}+3 x}\)
    12. \(\ \frac{x-4}{x}-\frac{2}{x-4}=\frac{8}{x^{2}-4 x}\)
    13. \(\ \frac{x+6}{x}-\frac{2}{x+6}=\frac{12}{x^{2}+6 x}\)
    14. \(\ \frac{x+5}{x}-\frac{3}{x+5}=\frac{15}{x^{2}+5 x}\)
    15. Explique lo que significa que una solución sea ajera.

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 2.6.


    vocabulario

    Término Definición
    extraños Una solución ajena es una solución de una versión simplificada de una ecuación original que, cuando se comprueba en la ecuación original, en realidad no es una solución.
    Ecuación Racional Una ecuación racional es una ecuación que contiene una expresión racional.
    Expresión Racional Una expresión racional es una fracción con polinomios en el numerador y el denominador.

    Atribuciones de imagen

    1. [Figura 1]
      Crédito: Fundación CK-12
      Licencia: CC BY-SA

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