3.1.1: Funciones uno a uno y sus inversos
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La declaración “Los restaurantes de pizza venden pizza” podría considerarse como una función. Podría trazarse en una gráfica, con diferentes restaurantes a través del eje x, y diferentes alimentos en los que se especializa el restaurante en el eje y. Cada vez que se ingresaba a una pizzería en la función, generaba “pizza” como la comida especializada.
¿Esta función de pizzería es una función uno a uno? ¿Cómo lo podemos decir?
Funciones uno a uno y sus inversos
Considera la función\(\ f(x)=x^{3}\), y su inversa\(\ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}\).
Las gráficas de estas funciones se muestran a continuación:
La función f (x) = x 3 es un ejemplo de una función uno a uno, que se define de la siguiente manera:
Una función es uno a uno si y solo si cada elemento de su rango corresponde a como máximo un elemento de su dominio.
La función y = x 2, sin embargo, no es uno a uno. A continuación se muestra la gráfica de esta función.
Tal vez recuerde que puede identificar una relación como una función si puede dibujar una línea vertical en cualquier lugar a través de la gráfica, y la línea toca solo un punto.
Observe entonces que si dibujamos una línea horizontal a través de y = x 2, la línea toca más de un punto. Eso indica que la inversa no será una función, aquí es por qué: Si invertimos la función y = x 2, el resultado es una gráfica que es un reflejo sobre la línea y = x, rotando efectivamente los 90 grados originales. Dado que x e y se han intercambiado, la nueva función falla en la prueba de línea vertical.
Por lo tanto, la función y = x 2 no es una función uno a uno. Una función que sea uno a uno será invertible.
Se puede determinar gráficamente una función invertible dibujando una línea horizontal a través de la gráfica de la función, si toca más de un punto, la función no es invertible.
Ejemplos
Antes, te dieron una pregunta sobre una función de pizza.
Solución
“Los restaurantes de pizza venden pizza” es una función. Sin embargo, NO es una función uno a uno.
Para ser uno a uno, debe ser invertible, dando algo como: “los vendedores de pizza son pizzerías”, y esa afirmación también debe ser una función.
Dado que las tiendas de abarrotes venden pizza, y por lo tanto estarían entre las salidas de la nueva función, pero no se encontraban entre los insumos del original (que especificaba “pizzerías”), las funciones no son invertibles.
Grafica la función\(\ f(x)=\frac{1}{3} x+2\). Utilice una prueba de línea horizontal para verificar que la función es invertible.
Solución
La gráfica a continuación muestra que esta función es invertible. Podemos dibujar una línea horizontal en cualquier valor y, y la línea solo se cruzará\(\ f(x)=\frac{1}{3} x+2\).
En suma, una función uno a uno es invertible. Es decir, si invertimos una función uno a uno, su inversa también es una función. Ahora que hemos establecido lo que significa que una función sea invertible, nos centraremos en el dominio y rango de funciones inversas.
Indicar el dominio y rango de la siguiente función y su inversa: (1, 2), (2, 5), (3, 7).
Solución
El inverso de esta función es el conjunto de puntos (2, 1), (5, 2), (7, 3).
El dominio de la función es {1, 2, 3}. Este es también el rango de la inversa.
El rango de la función es {2, 5, 7}. Este es también el dominio de lo inverso.
Las funciones lineales que examinamos anteriormente, así como f (x) = x 3, todas tenían dominio y rango ambos iguales al conjunto de todos los números reales. Por lo tanto, los inversos también tuvieron dominio y rango iguales al conjunto de todos los números reales. Debido a que el dominio y el rango eran los mismos para estas funciones, cambiarlas mantenía esa relación.
Además, como encontramos anteriormente, la función y = x 2 no es uno a uno, y por lo tanto no es invertible. Es decir, si lo invertimos, la relación resultante no es una función. Podemos cambiar esta situación si definimos el dominio de la función de una manera más limitada. Sea f (x) una función definida de la siguiente manera: f (x) = x 2, con dominio limitado a números reales ≥ 0. Entonces la inversa de la función es la función de raíz cuadrada:\(\ f^{-1}(x)=\sqrt{x}\).
Define el dominio para la función f (x) = (x - 2) 2 para que f sea invertible.
Solución
La gráfica de esta función es una parábola. Tenemos que limitar el dominio a un lado de la parábola. Convencionalmente en casos como estos elegimos el lado positivo; por lo tanto, el dominio se limita a números reales ≥ 2.
¿Es g (x) =3x−2 una función uno-a-uno?
Solución
Prueba algebraica para funciones uno a uno: si f (a) = f (b) implica que a = b, entonces f es uno a uno.
* si g (x) =3x−2 es uno a uno, entonces g (a) =g (b) →a=b
Prueba: g (a) =g (b)
3a−2=3b−2
3a=3b
a=b
3x−2 es uno a uno.
Utilice la prueba de línea horizontal para ver si f (x) =x 3 es uno a uno.
Solución
Grafica la ecuación:
Esta es la función padre de la familia de funciones cúbicas. Cada valor x tiene un valor y único que no es utilizado por ningún otro elemento x. Dado que esa es la definición de una función uno a uno, esta función es uno a uno.
¿Es g (x) =|x−2| uno a uno?
Solución
Grafica la ecuación:
Esta función de valor absoluto tiene valores y que se emparejan con más de un valor x, como (4, 2) y (0, 2). Esta función no es uno a uno. Tenga en cuenta que esta función también falla la prueba de línea horizontal utilizada en el Ejemplo 6.
Revisar
- Describir la prueba de línea horizontal uno a uno.
- Describir la prueba algebraica uno a uno.
¿Qué funciones son uno a uno?
- (3,28), (4,29), (4,30), (6,31)
- (4,5), (9,6), (7,8), (23,5)
- (8,18), (33,4), (5,16), (7,19)
Para que la siguiente sea una función uno-a-uno, x no puede ser qué valores?
- (9,12), (35,6), (7,18), (12, X)
- (20,21) (21,14), (110,112), (X,7)
¿Son las siguientes funciones uno a uno?
- f (x) =x 2
- f (x) =x 3
- f (x) =\(\ \frac{1}{x}\)
- f (x) =x n −x, n>0
- x=y 2 +2
Determine si las relaciones a continuación son funciones, funciones uno a uno o ninguna:
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.2.
El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| Función 1-1 | Una función es 1-1 si su inversa es también una función. |
| Prueba de Línea Horizontal | La prueba de línea horizontal dice que si una línea horizontal dibujada en cualquier lugar a través del gráfico de una función interseca la función en más de una ubicación, entonces la función no es uno a uno y no es invertible. |
| inversa | Las funciones inversas son funciones que se 'deshacen' entre sí. Formalmente: f (x) y g (x) son funciones inversas si f (g (x)) =g (f (x)) =x. |
| función inversa | Las funciones inversas son funciones que se 'deshacen' entre sí. Formalmente f (x) y g (x) son funciones inversas si f (g (x)) =g (f (x)) =x. |
| invertible | Una función es invertible si tiene una inversa. |
| Uno a uno | Una función es uno a uno si su inversa es también una función. |
| Prueba de línea vertical | La prueba de línea vertical dice que si una línea vertical dibujada en cualquier parte a través de la gráfica de una relación interseca la relación en más de una ubicación, entonces la relación no es una función. |