3.3.1: Propiedades de Producto y Cociente de Logaritmos

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 108496

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Propiedades del Producto y del Cociente de Logaritmos

Tu amigo Robbie trabaja como servidora en una pizzería. Tú y dos de tus amigos van al restaurante y piden una pizza. Le pides a Robbie que te traiga cheques separados para que puedas dividir el costo de la pizza. En lugar de traerte tres cheques, Robbie te trae uno con el registro total ₃ 162−log ₃ 2. “Esto es lo que cada uno de ustedes debe”, dice mientras deja caer la cuenta sobre la mesa. ¿Cuánto debe cada uno de ustedes?

Propiedades del Producto y del Cociente de Logaritmos

Al igual que los exponentes, los logaritmos tienen propiedades especiales, o atajos, que se pueden aplicar al simplificar expresiones. En esta lección, abordaremos dos de estos inmuebles.

Simplifiquemos log _b x + log _b y.

Primero, observe que estos troncos tienen la misma base. Si no lo hacen, entonces las propiedades no aplican.

log _b x = m y log _b y = n, luego b ^m = x y b ⁿ =y.

Ahora, multiplique las dos últimas ecuaciones juntas.

\ (\\ comenzar {alineado}
b^ {m}\ cdot b^ {n} &=x y\\
b^ {m+n} &=x y
\ end {alineado}\)

Recordemos, que cuando se multiplican dos exponentes con la misma base, podemos sumar los exponentes. Ahora, vuelva a aplicar el logaritmo a esta ecuación.

$\ b^{m+n}=x y \rightarrow \log _{b} x y=m+n$

Recordemos eso$\ m=\log _{b} x \text { and } n=\log _{b} y, \text { therefore } \log _{b} x y=\log _{b} x+\log _{b} y$.

Esta es la Propiedad Producto de los Logaritmos.

Ahora, vamos a expandir el registro ₁₂ 4y.

Aplicando la Propiedad del Producto del problema anterior, tenemos:

log ₁₂ 4y = log ₁₂ 4 + log ₁₂ y

Por último, simplifiquemos log ₃ 15−log ₃ 5.

Como cabría esperar, el cociente de propiedad de logaritmos es$\ \log _{b} \frac{x}{y}=\log _{b} x-\log _{b} y$ (prueba en la sección Revisión). Por lo tanto, la respuesta es:

\ (\\ comenzar {alineado}
\ log _ {3} 15-\ log _ {3} 5 &=\ log _ {3}\ frac {15} {5}\\
&=\ log _ {3} 3\\
&=1
\ end {alineado}\)

Ejemplos

Ejemplo 1

Antes, se le pidió que encontrara la cantidad que cada uno de ustedes debe.

Solución

Si reescribe log ₃ 162−log ₃ 2 como log ₃$\ \frac{162}{2}$, obtendrá log ₃ 81.

3 ⁴ =81 así que cada uno debe $4.

Ejemplo 2

Simplifica la siguiente expresión: log ₇ 8 + log ₇ x ² + log ₇ 3y.

Solución

Combine todos los registros juntos usando la Propiedad del Producto.

log ₇ 8 + log ₇ x ² + log ₇ 3y = log ₇ 8x ² 3y

=log ₇ 24x ² y

Ejemplo 3

Simplifique la siguiente expresión: log y−log 20+log 8x.

Solución

Utilice tanto la Propiedad Producto como la Propiedad del Cociente para condensar.

\ (\\ comenzar {alineado}
\ log y-\ log 20+\ log 8 x &=\ log\ frac {y} {20}\ cdot 8 x\\
&=\ log\ frac {2 x y} {5}
\ end {alineado}\)

Ejemplo 4

Simplifica la siguiente expresión: log ₂ 32 − log ₂ z.

Solución

Ten cuidado; no tienes que usar ninguna regla aquí, solo la definición de un logaritmo.

log ₂ 32−log ₂ z=5−log ₂ z

Ejemplo 5

Simplifica la siguiente expresión:$\ \log _{8} \frac{16 x}{y^{2}}$.

Solución

Al expandir un tronco, haga primero la división y luego separe aún más el numerador.

\ (\\ comenzar {alineado}
\ log _ {8}\ frac {16 x} {y^ {2}} &=\ log _ {8} 16 x-\ log _ {8} y^ {2}\\
&=\ log _ {8} 16+\ log _ {8} x-\ log _ {8} y^ {2}\\
&=\ frac {4} {3} +\ log _ {8} x-\ log _ {8} y^ {2}
\ final {alineado}\)

Para determinar el registro ₈ 16, utilice la definición y potencias de 2:

$\ 8^{n}=16 \rightarrow 2^{3 n}=2^{4} \rightarrow 3 n=4 \rightarrow n=\frac{4}{3}$

Revisar

Simplifica las siguientes expresiones logarítmicas.

log ₃ 6 + log ₃ y − log ₃ 4
log12 − logx+log y ²
log ₆ x ² − log ₆ x − log ₆ y
ln8 + ln6 − ln12
ln7 − ln14 + ln10
log ₁₁ 22 + log ₁₁ 5 − log ₁₁ 55

Expanda las siguientes funciones logarítmicas.

registro ₆ (5x)
registro ₃ (abc)
$\ \log \left(\frac{a^{2}}{b}\right)$
$\ \log _{9}\left(\frac{x y}{5}\right)$
$\ \log \left(\frac{2 x}{y}\right)$
$\ \log \left(\frac{8 x^{2}}{15}\right)$
$\ \log _{4}\left(\frac{5}{9 y}\right)$
Escribir una prueba algebraica de la Propiedad Cociente. Comienza con la expresión log _a x − log _a y y las ecuaciones log _a x = m y log _a y = n en tu prueba. Consulte el comprobante de la Propiedad del Producto en el problema de primera práctica como guía para su comprobante.

Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.8.

vocabulario

Término	Definición
Propiedad del producto de logaritmos	La propiedad producto de logaritmos establece que mientras$\ b≠1$, entonces$\ \log _{b} x y=\log _{b} x+\log _{b} y$
Propiedad del cociente de logaritmos	El cociente propiedad de logaritmos establece que mientras$\ b≠1$, entonces$\ \log _{b} \frac{x}{y}=\log _{b} x-\log _{b} y$.