3.3.2: Propiedad de poder de logaritmos

Propiedad de potencia de logaritmos

La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de log ₃ 27 ⁸. ¿Cuánto dura la hipotenusa del triángulo?

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Propiedad de energía

La última propiedad de los registros es el Power Property.

log _b x=y

Usando la definición de un tronco, tenemos b ^y =x Ahora, elevar ambos lados a la potencia n.

\ (\\ comenzar {alineado}
\ izquierda (b^ {y}\ derecha) ^ {n} &=x^ {n}\\
b^ {n y} &=x^ {n}
\ end {alineado}\)

Volvamos a convertir esto a un log con base b, log _b x ⁿ = ny. Sustituyendo por y, tenemos log _b x ⁿ = n log _b x.

Por lo tanto, la Propiedad de Poder dice que si hay un exponente dentro de un logaritmo, podemos sacarlo frente al logaritmo.

Usemos la propiedad Power para ampliar los siguientes logaritmos.

1. Para ampliar este registro, necesitamos usar la Propiedad del Producto y la Propiedad Power.

   \ (\\ comenzar {alineado}
   \ log _ {6} 17 x^ {5} &=\ log _ {6} 17+\ log _ {6} x^ {5}\\
   &=\ log _ {6} 17+5\ log _ {6} x
   \ end {alineado}\)

2. \(\ \ln \left(\frac{2 x}{y^{3}}\right)^{4}\) Tendremos que usar las tres propiedades para ampliar este problema. Debido a que la expresión dentro del registro natural está entre paréntesis, comience por mover la ^4ª potencia al frente del tronco.

   \ (\\ comenzar {alineado}
   \ ln\ izquierda (\ frac {2 x} {y^ {3}}\ derecha) ^ {4} &=4\ ln\ frac {2 x} {y^ {3}}\\
   &=4\ izquierda (\ ln 2 x-\ ln y^ {3}\ derecha)\\
   &=4 (\ ln 2+\ ln x-3\ ln y)\\
   &=4\ ln 2+4\ ln x-12\ ln y
   \ fin {alineado}\)

   Dependiendo de cómo le gustaría tu respuesta a tu profesor, puedes evaluar 4 ln2 ≈ 2.77, haciendo la respuesta final 2.77 + 4 lnx − 12 ln y.

   Ahora, vamos a condensar log 9 − 4 log 5 − 4 log x + 2 log 7 + 2 log y.

   Esto es lo contrario de los dos problemas anteriores. Comience con la propiedad Power.

   log 9 − 4 log 5 − 4 log x + 2 log 7 + 2 log y

   log 9 − log 5 ⁴ − log x ⁴ + log 7 ² + log y ²

   Ahora, empieza a cambiar las cosas a división y multiplicación dentro de un registro.

   \(\ \log \frac{9 \cdot 7^{2} y^{2}}{5^{4} x^{4}}\)

   Por último, combine términos similares.

   \(\ \log \frac{441 y^{2}}{625 x^{4}}\)

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Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que encontrara la longitud de la hipotenusa del triángulo.

Solución

Podemos reescribir log ₃ 27 ⁸ y 8 log ₃ 27 y resolver.

8 registro ₃ 27

=83

=24

Por lo tanto, la hipotenusa del triángulo es de 24 unidades de largo.

Ejemplo 2

Expande la siguiente expresión: ln x ³.

Solución

Lo único que hay que hacer aquí es aplicar el Poder Propiedad: 3 lnx.

Ejemplo 3

Expanda la siguiente expresión:\(\ \log _{16} \frac{x^{2} y}{32 z^{5}}\).

Solución

Comencemos con el uso de la Propiedad Cociente.

\(\ \log _{16} \frac{x^{2} y}{32 z^{5}}=\log _{16} x^{2} y-\log _{16} 32 z^{5}\)

Ahora, aplique la Propiedad del Producto, seguido de la Propiedad Power.

\ (\\ begin {array} {l}
=\ log _ {16} x^ {2} +\ log _ {16} y-\ left (\ log _ {16} 32+\ log _ {16} z^ {5}\ derecha)\\
=2\ log _ {16} x+\ log _ {16} y-\ frac {5} {4} -5\ log _ {16}
\ end {array}\)

Simplifique\(\ \log _{16} 32 \rightarrow 16^{n}=32 \rightarrow 2^{4 n}=2^{5}\) y resuelva para\(\ n\). Además, observe que colocamos paréntesis alrededor del segundo registro una vez que se expandió para asegurar que también se\(\ z^5\) restaría el (porque estaba en el denominador de la expresión original).

Ejemplo 4

Expanda la siguiente expresión:\(\ \log \left(5 c^{4}\right)^{2}\).

Solución

Para este problema, deberá aplicar el Power Property dos veces.

\ (\\ start {alineado}
\ log\ left (5 c^ {4}\ derecha) ^ {2} &=2\ log 5 c^ {4}\\
&=2\ izquierda (\ log 5+\ log c^ {4}\ derecha)\\
&=2 (\ log 5+4\ log c)\\
&=2\ log 5+8\ log c
\ end {alineado}\)

Nota Importante: Puede escribir este registro en particular de varias maneras diferentes. Los registros equivalentes son:\(\ \log 25+8 \log c, \log 25+\log c^{8} \text { and } \log 25 c^{8}\). Debido a estas propiedades, hay varias formas diferentes de escribir un logaritmo.

Ejemplo 5

Condensar en un solo tronco:\(\ \ln 5-7 \ln x^{4}+2 \ln y\).

Solución

Para condensar esta expresión en un registro, necesitará usar las tres propiedades.

\ (\\ comenzar {alineado}
\ ln 5-7\ ln x^ {4} +2\ ln y &=\ ln 5-\ ln x^ {28} +\ ln y^ {2}\\
&=\ ln\ frac {5 y^ {2}} {x^ {28}}
\ end {alineado}\)

Nota Importante: Si el problema fuera\(\ \ln 5-\left(7 \ln x^{4}+2 \ln y\right)\), entonces la respuesta habría sido\(\ \ln \frac{5}{x^{28} y^{2}}\). Pero, como no hay paréntesis, el\(\ y^2\) está en el numerador.

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Revisar

Expanda las siguientes expresiones logarítmicas.

1. \(\ \log _{7} y^{2}\)
2. \(\ \log _{12} 5 z^{2}\)
3. \(\ \log _{4}(9 x)^{3}\)
4. \(\ \log \left(\frac{3 x}{y}\right)^{2}\)
5. \(\ \log _{8} \frac{x^{3} y^{2}}{z^{4}}\)
6. \(\ \log _{5}\left(\frac{25 x^{4}}{y}\right)^{2}\)
7. \(\ \ln \left(\frac{6 x}{y^{3}}\right)^{-2}\)
8. \(\ \ln \left(\frac{e^{5} x^{-2}}{y^{3}}\right)^{6}\)

Condensar las siguientes expresiones logarítmicas.

9. \(\ 6 \log x\)
10. \(\ 2 \log _{6} x+5 \log _{6} y\)
11. \(\ 3(\log x-\log y)\)
12. \(\ \frac{1}{2} \log (x+1)-3 \log y\)
13. \(\ 4 \log _{2} y+\frac{1}{3} \log _{2} x^{3}\)
14. \(\ \frac{1}{5}\left[10 \log _{2}(x-3)+\log _{2} 32-\log _{2} y\right]\)
15. \(\ 4\left[\frac{1}{2} \log _{3} y-\frac{1}{3} \log _{3} x-\log _{3} z\right]\)

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Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.9.

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El vocabulario

Término	Definición
Propiedad de energía	La propiedad power para logaritmos establece que mientras\(\ b≠1\), entonces\ ( \\ log _ {b} x^ {n} =n\ log _ {b} x\).