3.4.2: Logaritmos comunes y naturales

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Logaritmos comunes y naturales

A estas alturas, ya sabes que log ₂ 64=x se puede resolver si reconoces que 2 ⁶ =64. ¿Y los números que no son tan 'limpios'? ¡No hay mucha gente que pueda calcular la respuesta para registrar ₇ 247=x en su cabeza! Sería genial usar una calculadora, pero la mayoría solo tiene dos funciones log: base 10 y base e.

¿Hay alguna manera de convertir de una base a otra, para que podamos usar una calculadora?

Logaritmos comunes y naturales

Aunque una función log puede tener cualquier número positivo como base, en realidad solo hay dos bases que se usan comúnmente en el mundo real. Ambos pueden escribirse sin una base anotada, como: logx, por lo que es posible que deba usar el contexto para decidir cuál es el adecuado.

El tronco común es un tronco con base 10. Se utiliza para definir el pH, la magnitud del terremoto y los niveles de decibelios sonoros, entre muchos otros valores comunes del mundo real.

El tronco natural, a veces escrito ln (x), es un tronco con base e. El número trascendental e es aproximadamente 2.71828 y se utiliza en cualquier número de cálculos que impliquen un crecimiento constante en química, física, biología, finanzas, etc.

Uso de una calculadora para registros

Es posible que hayas notado que el registro común y el registro natural son los únicos botones de registro en tu calculadora. Podemos usar el logaritmo común o el logaritmo natural para encontrar los valores de los registros con otras bases.

La ecuación\(\ \log _{b} x=\frac{\log x}{\log b}\) se llama fórmula de cambio de base, y puede ser utilizada para convertir a logaritmo común o logaritmo natural.

También puede ver el cambio de fórmula base as\(\ \log _{b} x=\frac{\ln x}{\ln b}\), que es la misma fórmula especificando una conversión al logaritmo natural.

Usando la fórmula de cambio de base, podemos encontrar el log común (o el logaritmo natural) equivalente de cualquier otra base para que podamos usar una calculadora para encontrar el valor de una expresión.

Considera log ₃ 35. Si usamos el cambio de fórmula base para convertir a base 10, y luego el botón de registro en una calculadora, nos encontramos con eso\(\ \log _{3} 35=\frac{\log 35}{\log 3}=3.23621727\).

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que resolviera el siguiente problema:\(\ \log _{7} 247=x\)

Solución

Usando el cambio de fórmula base:\(\ \log _{7} 247=\frac{\log 247}{\log 7}\)

Usando una calculadora para encontrar los registros comunes de 247 y 7, obtenemos (aproximadamente)\(\ \frac{2.4}{.8}=2.8313\).

Podemos verificar con\(\ 7^{2.8313}=247\)

\(\ \therefore \log _{7} 247=2.8313\)

Ejemplo 2

Evaluar cada registro.

Recuerde que logx (sin base especificada) comúnmente se refiere al log ₁₀ x.

\(\ \log 1\)
\(\ \log 10\)
\(\ \log \sqrt{10}\)

Solución

\(\ \log 1=0 \text { because } 10^{0}=1\)
\(\ \log 10=1 \text { because } 10^{1}=10\)
\(\ \log \sqrt{10}=\frac{1}{2} \text { because } \sqrt{10}=10^{1 / 2}\)

Ejemplo 3

Para cada valor logarítmico, determine dos enteros entre los cuales debe estar el valor logarítmico Luego usa una calculadora para encontrar el valor del registro.

\(\ \log 50\)
\(\ \log 818\)

Solución

El valor de este log debe estar entre 1 y 2, como 10 ¹ = 10, y 10 ² = 100.
Usando una calculadora, deberías encontrar ese registro 50 ≈ 1.698970004.
El valor de este log debe estar entre 2 y 3, como 10 ² = 100, y 10 ³ = 1000.
Usando una calculadora, deberías encontrar ese registro 818 ≈ 2.912753304.

Ejemplo 4

Estime el valor, y luego use el cambio de fórmula base para encontrar el valor de\(\ \log _{2} 17\).

Solución

\(\ \log _{2} 17\)está cerca de 4 porque 2 ⁴ =16 y 2 ⁵ =32.

Usando el cambio de fórmula base, tenemos\(\ \log _{2} 17=\frac{\log 17}{\log 2}\).

Usando una calculadora, deberías encontrar que el valor aproximado de esta expresión es 4.087462841.

Ejemplo 5

Encuentra el valor de cada tronco natural.

\(\ \ln 100\)
\(\ \ln \sqrt{e}\)

Solución

\(\ \ln 100\)está entre 4 y 5. Puedes estimar esto redondeando e hasta 3, y considerando poderes de 3:
3^ {4} =81\ texto {y} 3^ {5} =243

Usando una calculadora, deberías encontrar que\(\ \ln 100=4.605171086\)
Recordemos que una raíz cuadrada es lo mismo que un exponente de 1/2.
Por lo tanto\(\ \ln \sqrt{e}=\ln \left(e^{1 / 2}\right)=1 / 2\)

Ejemplo 6

Resuelve la ecuación:\(\ 5^{x}=3 \cdot 7^{x}\)

Solución

Para resolver:\(\ 3^{x}\left(2^{3 x}\right)=7\left(5^{x}\right)\)

\(\ 3^{x}\left(2^{3}\right)^{x}=7\left(5^{x}\right)\): Regla de exponentes\(\ \left(x^{y}\right)^{z}=x^{y z}\)

\(\ 3^{x}\left(8^{x}\right)=7\left(5^{x}\right) \rightarrow 24^{x}=7\left(5^{x}\right)\): Por multiplicación

\(\ \left(\frac{24}{5}\right)^{x}=7\): Dividir ambos lados por\(\ 5^x\)

\(\ \log \left(\frac{24}{5}\right)^{x}=\log 7\): Tomar el tronco de ambos lados

\(\ x \log \left(\frac{24}{5}\right)=\log 7\): Usando\(\ \log x^{y}=y \log x\)

\(\ x=\frac{\log 7}{\log \frac{24}{5}}\): Dividir ambos lados por\(\ \log \left(\frac{24}{5}\right)\)

\(\ x=1.24\): Con una calculadora

Ejemplo 7

Encuentra el valor:\(\ \ln 6+\ln 7\)

Solución

Usa una calculadora para encontrar los valores:

\(\ \ln 6=1.79175 \text { and } \ln 7=1.94591\)

1.79175 + 1.94591 = 3.73766

Revisar

¿Qué es un logaritmo común? ¿Dónde se usan más comúnmente los troncos comunes?
¿Qué es un logaritmo natural? ¿Dónde se utilizan comúnmente los troncos naturales?

Evaluar cada expresión:

\(\ \log \frac{17^{4}}{5}\)
\(\ \log 7\left(4^{3}\right)\)

Convertir a un logaritmo común y evaluar:

\(\ \log _{6} 832\)
\(\ \log _{11} 47\)
\(\ \log _{3} 9\)

Convertir a un logaritmo natural y evaluar:

\(\ \log _{7} 91\)
\(\ \log_5256\)
\(\ \log_90.712\)

Encuentra los valores de los logaritmos naturales:

\(\ \ln56\)
\(\ \ln2000\)
\(\ \ln950.1\)
\(\ \ln.9\)

Convierta los registros naturales a forma exponencial y resuelva.

Si\(\ \text { lne }=x \text { and } e^{x}=e \text { then } x=?\)
Si\(\ \ln e^{5} \text { then } x=?\)
Si\(\ \ln e^{a}=x \text { then } x=?\)
Si\(\ \ln e^{-3}=x \text { then } x=?\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.8.

El vocabulario

Término	Definición
e	e es un número irracional que es aproximadamente igual a 2.71828. Como\(\ n \rightarrow \infty,\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \rightarrow e\).
Cambio de Fórmula Base	Sea b, x e y números positivos, b≠ 1 e y≠ 1. Entonces,\(\ \log _{y} x=\frac{\log _{b} x}{\log _{b} y}\). Más específicamente,\(\ \log _{y} x=\frac{\log x}{\log y}\) y\(\ \log _{y} x=\frac{\ln x}{\ln y}\), para que las expresiones puedan ser evaluadas usando una calculadora.
Tronco Común	Un logaritmo común es un logaritmo con base 10. El registro suele escribirse sin la base.
Logaritmo Común	Un logaritmo común es un logaritmo con base 10. El registro suele escribirse sin la base.
e	e es un número irracional que es aproximadamente igual a 2.71828. Como\(\ n \rightarrow \infty,\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \rightarrow e\).
Tronco Natural	Un logaritmo natural es un logaritmo con base e. El logaritmo natural se escribe como ln.
Logaritmo Natural	Un logaritmo natural es un logaritmo con base e. El logaritmo natural se escribe como ln.
Número Trascendental	Un número trascendental es un número que no es la raíz de ninguna función polinómica racional. Los ejemplos incluyen e y π.