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4.4.1: Coordenadas polares

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    Coordenadas polares

    Todo el mundo ha soñado con volar en un momento u otro. No solo habría mucho menos tráfico del que preocuparse, ¡sino que las direcciones serían mucho más simples!

    Caminando o conduciendo: “Ve al Este 2 cuadras, gira a la izquierda, luego al Norte 6 cuadras. Espera el tren. Gira a la derecha, Oriente 3 cuadras más, ¡cuidado con la vaca! Gira a la izquierda, ve al Norte 4 cuadras más y aparca.”

    Volando: “Vuela 30 grados al Este del Norte por un poco menos de 11 y 1/4 cuadras. Tierra.”

    Bonito sueño, pero ¿qué tiene que ver con las coordenadas polares?


    Coordenadas polares

    El sistema de coordenadas polares es una alternativa al sistema de coordenadas cartesianas que ha utilizado en el pasado para graficar funciones. El sistema de coordenadas polares está especializado para visualizar y manipular ángulos.

    Los ángulos se identifican viajando en sentido antihorario alrededor de la gráfica circular desde la línea de 0 grados, o eje r (donde estaría el eje + x) hasta un ángulo especificado.

    f-d_ccdf27d83e18011dad541a377ca59488bc86cc410551a70581eb79a9+image_tiny+image_tiny.jpg[Figura1]

    Para trazar un punto específico, primero vaya a lo largo del eje r por r unidades. Luego, gire en sentido antihorario por el ángulo dado, comúnmente representado “θ”. Tenga cuidado de usar las unidades correctas para la medida del ángulo (ya sea radianes o grados).

    Radianes

    Por lo general, las parcelas polares se realizan con radianes (especialmente si incluyen funciones trigonométricas), pero a veces se utilizan grados.

    Un radián es el ángulo formado entre el eje r y un eje polar dibujado para encontrarse con una sección de la circunferencia que tiene la misma longitud que el radio de un círculo.

    Dado que la circunferencia de un círculo es 2πr, y dado que r es el radio, eso significa que hay 2π radianes en un círculo completo, y 1π radianes en 1/2 de un círculo.

    Si 1/2 de un círculo es π radianes, y es 180 grados, eso significa que hay\(\ \frac{180}{\pi}\) grados en cada radián.

    Eso se traduce en aproximadamente 57.3 grados = 1 radián.

    Graficar usando tecnología

    Las ecuaciones polares se pueden graficar usando una calculadora gráfica: Con la calculadora gráfica- ve a MODO. Seleccione RADIAN para la medida del ángulo y POL (para Polar) en la línea FUNC (función). Cuando se presiona Y =, tenga en cuenta que la ecuación ha cambiado de y = a r =. Ahí se introduce la ecuación polar. Después de presionar graph, si no puedes ver la gráfica completa, ajusta x - e y - max/min, etc en VENTANA.

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    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Trazar los puntos en una gráfica de coordenadas polares: Punto A\(\ \left(2, \frac{\pi}{3}\right)\), Punto B (4, 135 o) y Punto C\(\ \left(-2, \frac{\pi}{6}\right)\)

    Solución

    Abajo está el polo, el eje polar y los puntos A, B y C.

    F-d_45279c3164d72aea30bc907cc78577f3a446b590a7603563de5b25bc+image_tiny+image_tiny.jpg[Figura2]
    Ejemplo 2

    Trazar los siguientes puntos.

    1. (4, 30 o)
    2. (2.5,\(\ \pi\))
    3. \(\ \left(-1, \frac{\pi}{3}\right)\)
    4. \(\ \left(3, \frac{5 \pi}{6}\right)\)
    5. (−2, 300 o)

    Solución

    f-d_9a4a1287ccf13fafa4f8118fc75ca57e906af30dff296f3ee0c7504c+image_tiny+image_tiny.jpg[Figura3]
    Ejemplo 3

    Utilice una calculadora gráfica o un programa de trazado para trazar las siguientes ecuaciones.

    1. r=1+3sinθ
    2. r=1+2cosθ

    Solución

    1. F-d_86957457d9f2f7c34991ba3bdf2a548a7954527e8b5f5f729b738235+image_tiny+image_tiny.jpg
    2. Revise los pasos anteriores debajo de graficar usando tecnología si tiene problemas.
    Ejemplo 4

    Convertir de radianes a grados.

    Recordemos que\(\ \pi r a d=180^{\circ} \text { and } 1 \mathrm{rad}=\frac{180}{\pi} \approx 57.3^{\circ}\)

    1. \(\ \frac{\pi}{2}\)
    2. 5.17
    3. \(\ \frac{3 \pi}{2}\)

    Solución

    1. Si\(\ \pi r a d=180^{\circ}\) entonces\(\ \frac{\pi}{2} r a d=90^{\circ}\)
    2. Si\(\ 1 rad \approx 57.3^{\circ}\) entonces\(\ 5.17 rad \approx 296^{\circ}\)
    3. Si\(\ \pi r a d=180^{\circ}\) entonces\(\ \frac{3 \pi}{2} r a d=270^{\circ}\)
    Ejemplo 5

    Convertir de grados a radianes.

    Recordemos eso\(\ \frac{180^{\circ}}{\pi}=57.3^{\circ} \approx 1 \mathrm{rad}\).

    1. 251 o
    2. 360 o
    3. 327 o

    Solución

    1. Si\(\ 57.3^{\circ} \approx 1rad\) entonces\(\ 251^{\circ} \approx 4.38 \mathrm{rad} \approx 1.4 \pi \mathrm{rad}\)
    2. Si\(\ 57.3^{\circ} \approx 1 rad\) entonces\(\ 360^{\circ} \approx 6.28 rad\)
    3. Si\(\ 57.3^{\circ} \approx 1 rad\) entonces\(\ \frac{327^{\circ}}{57.3^{\circ}} \approx 5.71 rad\)
    Ejemplo 6

    Convertir de grados a radianes, responder en términos de π.

    Recordemos que 2πrad=360o y por lo tanto πrad=180 o.

    1. 90 o
    2. 270 o
    3. 45 o

    Solución

    1. Si\(\ \pi r a d=180^{\circ}\) entonces\(\ \frac{\pi}{2} r a d=90^{\circ}\)
    2. Si\(\ \pi r a d=180^{\circ} \text { and } \frac{\pi}{2} r a d=90^{\circ}\) entonces\(\ 1 \frac{1}{2} \pi r a d \rightarrow \frac{3}{2} \pi \rightarrow \frac{3 \pi}{2} r a d=270^{\circ}\)
    3. Si\(\ \frac{\pi}{2} r a d=90^{\circ}\) entonces\(\ \frac{\pi}{4} r a d=45^{\circ}\)

    Revisar

    1. ¿Por qué no se puede etiquetar un punto en el plano usando un par ordenado único (r, θ)?
    2. Explicar cómo graficar (r, θ) si r360<0 and/or θ>.

    Grafica cada punto en el plano polar.

    1. \(\ \text{A}\left(6,145^{\circ}\right)\)
    2. \(\ \text{B} (-2, \frac{13\pi}{6})\)
    3. \(\ \text{C} (\frac{7}{4}, -210^{\circ})\)
    4. \(\ \text{D}(5, \frac{\pi}{2})\)
    5. \(\ \text{E}(3.5, \frac{-\pi}{8})\)

    Nombra otros dos pares de coordenadas polares para cada punto.

    1. \(\ (1.5, 170^{\circ})\)
    2. \(\ (-5, \frac{\pi}{-3})\)
    3. \(\ (3, 305^{\circ})\)

    Grafica cada ecuación polar.

    1. \(\ r=3\)
    2. \(\ \theta=\frac{\pi}{5}\)
    3. \(\ r=15.5\)
    4. \(\ r=1.5\)
    5. \(\ \theta=-175^{\circ}\)

    Encuentra la distancia entre los puntos dados.

    1. \(\ P_{1}\left(5, \frac{\pi}{2}\right) \text { and } P_{2}\left(7, \frac{3 \pi}{9}\right)\)
    2. \(\ P_{1}\left(1.3,-52^{o}\right) \text { and } P_{2}\left(-13.6,-162^{\circ}\right)\)
    3. \(\ P_{1}\left(3,250^{\circ}\right) \text { and } P_{2}\left(7,90^{\circ}\right)\)

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 4.1.


    vocabulario

    Término Definición
    \(\ \pi\) \(\ \pi\)(Pi) es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Se trata de un número irracional que es aproximadamente igual a 3.14.
    Sistema de coordenadas cartesianas El plano cartesiano es una cuadrícula formada por una recta numérica horizontal y una recta numérica vertical que se cruzan en el punto (0, 0), denominado origen.
    eje polar El eje polar es un rayo dibujado desde el polo en el ángulo 0° en una gráfica polar.
    sistema de coordenadas polares El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas especial en el que la ubicación de cada punto está determinada por su distancia desde el polo y su ángulo con respecto al eje polar.
    polo El polo es el punto central de una gráfica polar.
    radián Un radián es una unidad de ángulo que es igual al ángulo creado en el centro de un círculo cuyo arco es igual en longitud al radio.


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