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4.4.4: Ecuaciones Polares de Cónicas

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Ecuaciones polares de cónicas

Las coordenadas polares te permiten ampliar tu conocimiento de las cónicas en un nuevo contexto. Las calculadoras son una excelente herramienta para graficar cónicas polares. ¿Qué ajustes necesitas conocer para poder utilizar correctamente tu calculadora?

Ecuaciones polares de cónicas

Las ecuaciones polares se refieren al radio r en función del ángulo θ. Hay algunas ecuaciones polares típicas que deberías ser capaz de reconocer y graficar directamente desde su forma polar.

La siguiente función polar es un círculo de radio$$\ \frac{\alpha}{2}$$ que pasa por el origen con un centro en ángulo β.

r=acos (θ−β)

Hay otras formas de representar un círculo como este usando identidades de cofunción y ángulos coterminales.

Elipses, parábolas e hipérbolas tienen una ecuación polar general común. Al igual que con el círculo, existen otras formas de representar estas relaciones usando ángulos cofuncionales y coterminales; sin embargo, esta forma general es más fácil de usar porque cada parámetro puede interpretarse inmediatamente en una gráfica. Un parámetro es una constante en una ecuación general que toma un valor específico en una ecuación específica.

Uno de los puntos focales de una cónica escrita de esta manera está siempre en el polo (el origen). El ángulo β indica el ángulo hacia el centro si la cónica es una elipse, la dirección de apertura si la cónica es una parábola y el ángulo lejos del centro si la cónica es una hipérbola. La excentricidad e debería decirte qué cónica es. La constante k es la distancia desde el foco en el polo hasta la directriz más cercana. Esta directriz se encuentra en la dirección opuesta indicada por β.

Hay muchas oportunidades para preguntas que involucran información parcial con cónicas polares. Algunas relaciones que a menudo son útiles para resolver estas preguntas son:

• $$\ e=\frac{c}{a}=\frac{\overline{P F}}{\overline{P D}} \rightarrow \overline{P F}=e \cdot \overrightarrow{P D}$$
• Elipses:$$\ k=\frac{a^{2}}{c}-c$$
• Hipérbolas:$$\ k=c-\frac{a^{2}}{c}$$

Una excelente manera de descubrir nuevos tipos de gráficas en coordenadas polares es experimentar por tu cuenta con tu calculadora. Trate de llegar a ecuaciones y gráficas que se vean similares a las siguientes dos funciones polares.

El círculo en azul tiene un centro en 90° y tiene un diámetro de 2. Su ecuación es

$$\ r=2 \cos \left(\theta-90^{\circ}\right)$$.

La elipse roja parece tener el centro en (2, 0) con a=4 y c=2. Esto quiere decir que la excentricidad es$$\ e=\frac{1}{2}$$. Para escribir la ecuación en forma polar aún necesitas encontrar k.

$$\ k=\frac{a^{2}}{c}-c=\frac{4^{2}}{2}-2=8-2=6$$

Así, la ecuación para la elipse es:

$$\ r=\frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2} \cdot \cos (\theta)}$$

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó sobre cómo usar su calculadora para graficar ecuaciones polares.

Solución

La mayoría de las calculadoras tienen un modo de coordenadas polares. En el TI-84, el modo se puede cambiar a polar en el menú de modo. Esto cambia las características gráficas. Puedes elegir estar en radianes o grados y las gráficas tendrán el mismo aspecto. Cuando graficas un círculo de la forma r=8cosθ. deberías ver lo siguiente en tu calculadora.

Cuando vayas a la configuración de la ventana debes notar que además de X min, X max hay nuevos ajustes llamados θ min, θ max y θ step.

Si θmin y θmax no abarcan un período completo, es posible que acabe faltando parte de su gráfico polar.

El paso θ controla qué tan precisa debe ser la gráfica. Si pones θ paso a un número bajo como 0.1 la gráfica trazará extremadamente lentamente porque la calculadora está haciendo 3600 cálculos de coseno. Por otro lado si θ paso =30 entonces la calculadora hará menos cálculos produciendo un círculo aproximado, pero probablemente no lo suficientemente preciso para sus propósitos.

Ejemplo 2

Identificar el centro, focos, vértices y ecuaciones de las líneas directrix para las siguientes cónicas:

$$\ r=\frac{20}{4-5 \cdot \cos \left(\theta-\frac{3 \pi}{4}\right)}$$

Solución

Primero, la ecuación polar necesita estar en forma de gráficos. Esto significa que el denominador debe parecerse a 1−ecos (θ−β).

\ (\\ begin {array} {l}
r=\ frac {20} {4-5\ cdot\ cos\ izquierda (\ theta-\ frac {3\ pi} {4}\ derecha)}\ cdot\ frac {\ frac {1} {4}} {\ frac {1} {4}} =\ frac {5} {1-\ frac {5} {4}}\ cdot\ cos\ izquierda (\ theta-\ frac {3\ pi} {4}\ derecha)} =\ frac {4\ cdot\ frac {5} {4}} {1-\ frac {5} {4}\ cdot\ cos\ izquierda (\ theta-\ frac {3\ pi} {4}\ derecha)}\\
e=\ frac {5} {4},\ quad k=4,\ quad\ beta=\ frac {3\ pi} {4} =135^ {\ circ}
\ end {array}\)

Usando esta información y las relaciones que te recordaron en la guía, puedes configurar un sistema y resolver para a y c.

\ (\\ comenzar {alineado}
4 &=c-\ frac {a^ {2}} {c}\
\ frac {5} {4} &=\ frac {c} {a}\ fila derecha\ frac {4} {5} =\ frac {a} {c}\ fila derecha\ frac {4 c} {5} =a\\
4 &=c-\ izquierda (\ frac {4 c} {5}\ derecha) ^ {2}\ cdot\ frac {1} {c}\\
4 &=c-\ frac {16 c^ {2}} {25 c}\\
4 &=\ frac {9 c} {25}\
\ frac {100} {9} &=c\\
\ frac {80} {9} &=a

El centro es el punto$$\ \left(\frac{100}{9}, \frac{7 \pi}{4}\right)$$ que es mucho más conveniente para escribir en coordenadas polares. La directriz más cercana es la línea$$\ r=4 \cdot \sec \left(\theta-\frac{7 \pi}{4}\right)$$. La otra directrix es la línea$$\ r=\left(2 \cdot \frac{100}{9}-4\right) \cdot \sec \left(\theta-\frac{7 \pi}{4}\right)$$. Un foco está en el polo, el otro foco es el punto$$\ \left(\frac{200}{9}, \frac{7 \pi}{4}\right)$$. Los vértices están en el centro más o menos a en el mismo ángulo:

Al juntar toda esta información, la gráfica de la cónica es:

Ejemplo 3

Convierte la siguiente cónica de forma polar a forma rectangular.

$$\ r=\frac{3}{2-\cos \theta}$$

Solución

Hay muchas maneras de convertir de forma polar a forma rectangular. Deberías sentirte cómodo con el álgebra.

\ (\\ comenzar {alineado}
r &=\ frac {3} {2-\ cos\ theta}\\
r (2-\ cos\ theta) &=3\\
2 r-r\ cdot\ cos\ theta &=3\\
2 r &=3+r\ cdot\ cos\ theta=3+y\
4 r^ {2} &=9+6 y+y^ {2}\\
4\ izquierda (x^ {2} +y^ {2}\ derecha) &=9+6 y+ y^ {2}\\
4 x^ {2} +4 y^ {2} &=9+6 y+y^ {2}\\
4 x^ {2} +3 y^ {3} +6 y &=9\\
4 x^ {2} +3\ izquierda (y^ {2} +2 y+1\ derecha) &=9+3\\
4 x^ {2} +3 (y+1) ^ {2} =12\\
\ frac {x^ {2}} {3} +\ frac {(y+1) ^ {2}} {4} &=1

Ejemplo 4

Grafica la siguiente cónica.

$$\ r=\frac{3}{2-\cos \left(\theta-30^{\circ}\right)}$$

Solución

Convertir a la forma cónica estándar.

\ (\\ comenzar {alineado}
r &=\ frac {3} {2-\ cos\ izquierda (\ theta-30^ {\ circ}\ derecha)}\\
r &=\ frac {3} {2-\ cos\ izquierda (\ theta-30^ {\ circ}\ derecha)}\ cdot\ frac {\ frac {1} {2}} {frac {\ {1} {2}} =\ frac {\ frac {3} {2}} {1-\ frac {1} {2}\ cdot\ cos\ izquierda (\ theta-30^ {\ circ}\ derecha)} =\ frac {3\ cdot\ frac {1} {2}} {1-\ frac { 1} {2}\ cdot\ cos\ izquierda (\ theta-30^ {\ circ}\ derecha)}\\
k &=3,\ quad e=\ frac {1} {2},\ quad\ beta=30^ {\ circ}

Ejemplo 5

Traduce la siguiente forma cónica a polar.

$$\ (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25$$

Solución

Expande la ecuación original y luego traduzca a coordenadas polares:

\ (\\ begin {array} {l}
(x-3) ^ {2} + (y+4) ^ {2} =25\\
x^ {2} -6 x+9+y^ {2} +8 y+16=25\\
r^ {2} -6 x+8 y=0\\
r^ {2} -6 r\ cdot\ cos\ theta+8 r\ cdot\ sin\ theta=0\\
r-6\ cos\ theta+8\ sin\ theta=0\\
r=6\ cos\ theta-8\ sin\ theta
\ end {array}\)

Revisar

Convierte las siguientes cónicas de forma polar a forma rectangular. Después, identificar la cónica.

1. $$\ r=\frac{5}{3-\cos \theta}$$
2. $$\ r=\frac{4}{2-\cos \theta}$$
3. $$\ r=\frac{2}{2-\cos \theta}$$
4. $$\ r=\frac{3}{2-4 \cos \theta}$$
5. $$\ r=5 \cos (\theta)$$

Grafica las siguientes cónicas.

1. $$\ r=\frac{5}{4-2 \cos \left(\theta-90^{\circ}\right)}$$
2. $$\ r=\frac{5}{3-7 \cos \left(\theta-60^{\circ}\right)}$$
3. $$\ r=\frac{3}{3-3 \cos \left(\theta-30^{\circ}\right)}$$
4. $$\ r=\frac{1}{2-\cos \left(\theta-60^{\circ}\right)}$$
5. $$\ r=\frac{3}{6-3 \cos \left(\theta-45^{\circ}\right)}$$

Traduce las siguientes cónicas a forma polar.

1. $$\ \frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$$
2. $$\ (x-5)^{2}+(y+12)^{2}=169$$
3. $$\ x^{2}+(y+1)^{2}=1$$
4. $$\ x^{2}+(y+1)^{2}=1$$
5. $$\ -3 x^{2}-4 x+y^{2}-1=0$$

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 10.2.

El vocabulario

Término Definición
Cónico Las secciones cónicas son aquellas curvas que se pueden crear por la intersección de un doble cono y un plano. Incluyen círculos, elipses, parábolas e hipérbolas.
Excentricidad La excentricidad de una sección cónica es una medida de cuánto se desvía la sección cónica de ser circular. La excentricidad de los círculos es 0, la excentricidad de las elipses está entre 0 y 1, la excentricidad de las parábolas es 1, y la excentricidad de las hipérbolas es mayor que 1. Para elipses e hipérbolas,$$\ e=\frac{c}{a}$$.
parámetro Un parámetro es una variable en una ecuación general que toma un valor específico para crear una ecuación específica.
forma polar La forma polar de un punto o una curva se da en términos de r y θ y se grafica en el plano polar.
polo El polo es el punto central de una gráfica polar.
forma rectangular La forma rectangular de un punto o una curva se da en términos de x e y y se grafica en el plano cartesiano.

Atribuciones de imagen

1. [Figura 1]
Crédito: Fundación CK-12
Licencia: CC BY-SA
2. [Figura 2]
Crédito: Fundación CK-12
Licencia: CC BY-SA
3. [Figura 3]
Crédito: Fundación CK-12
Licencia: CC BY-SA
4. [Figura 4]
Crédito: Fundación CK-12
Licencia: CC BY-SA
5. [Figura 5]
Crédito: Fundación CK-12
Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_Phases_of_Venus.jpg
Licencia: CC BY-SA
6. [Figura 6]
Crédito: Fundación CK-12
Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_Phases_of_Venus.jpg
Licencia: CC BY-SA
7. [Figura 7]
Crédito: Fundación CK-12
Licencia: CC BY-SA

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