4.5.1: Números imaginarios

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Números imaginarios

¿Alguna vez has tenido una mascota imaginaria? Algunas personas tienen, particularmente cuando son niños pequeños.

¿No te sorprendería que tú y tu verdadero amigo dejaran a tus dos cachorros imaginarios solos juntos, y volvieras a buscar un cachorro de verdad?

Es un pensamiento tonto, entonces, ¿qué tiene que ver con los números imaginarios?

Números imaginarios

¿Cuál es la raíz cuadrada de -1?

Tal vez recuerde encontrarse con raíces de negativos en álgebra, al intentar resolver ecuaciones como x ² + 4 = 0.

Dado que no hay números reales que puedan ser cuadrados para igualar -4, esta ecuación no tiene una solución real. Entra en la constante imaginaria: "i”.

La definición de “i”:\(\ i=\sqrt{-1}\)

El uso de la palabra imaginario no significa que estos números sean inútiles. Durante un largo periodo en la historia de las matemáticas, se pensó que la raíz cuadrada de un número negativo estaba de hecho sólo dentro de la imaginación matemática, sin significación del mundo real por lo tanto, imaginario. Eso ha cambiado. Los matemáticos ahora consideran los números imaginarios como otro conjunto de números que tienen un significado real, pero que no encajan en lo que se llama la línea numérica, e ingenieros, científicos y otros resuelven problemas del mundo real usando combinaciones de números reales e imaginarios (llamados números complejos) cada día.

Valores imaginarios como los que\(\ \sqrt{-16}\) pueden simplificarse simplificando el radical en\(\ \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1}\), cediendo:\(\ 4 \sqrt{-1}\) o\(\ 4 i\).

Los usos de i se hacen más evidentes cuando comienzas a trabajar con mayores poderes de i, como verás en los ejemplos a continuación.

Números Complejos

Cuando combinas números imaginarios con números reales, obtienes números complejos:

Los números complejos son de la forma\(\ a+b i\), donde\(\ a\) es un número real,\(\ b\) es un número real, y\(\ i\) es la constante imaginaria\(\ \sqrt{-1}\).

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le dio una analogía sobre mascotas imaginarias.

Solución

¿Ves su aplicación?

Dos cachorros imaginarios que crean un cachorro real es una metáfora extrañamente efectiva para el comportamiento de los poderes de i.

Una i es imaginaria, pero dos i se multiplican para ser un número real. De hecho, ¡cada poder par de i resulta en un número real!

Ejemplo 2

Simplificar\(\ \sqrt{-5}\).

Solución

\ (\\ begin {array} {l}
\ sqrt {-5} =\ sqrt {(-1)\ cdot (5)}\\
=\ sqrt {-1}\ sqrt {5}\\
=i\ sqrt {5}
\ end {array}\)

Ejemplo 3

Simplificar\(\ \sqrt{-72}\).

Solución

\ (\\ begin {array} {l}
\ sqrt {-72} =\ sqrt {(-1)\ cdot (72)}\\
=\ sqrt {-1}\ sqrt {72}\\
=i\ sqrt {72}
\ end {array}\)

Pero, ¡aún no hemos terminado! Desde 72=362

\ (\\ begin {array} {l}
i\ sqrt {72} =i\ sqrt {36}\ sqrt {2}\\
=i (6)\ sqrt {2}\\
=6 i\ sqrt {2}
\ end {array}\)

Ejemplo 4

Cosas extrañas suceden cuando la constante imaginaria i se multiplica por sí misma diferentes números de veces.

¿Qué es\(\ i^2\)?
¿Qué es\(\ i^3\)?
¿Qué es\(\ i^4\)?

Solución

\(\ i^2\)es lo mismo que\(\ (\sqrt{-1})^{2}\). Cuando cuadras una raíz cuadrada, cancelan y te quedas con el número originalmente dentro del radical, en este caso −1
\(\ \therefore i^{2}=-1\)
\(\ i^3\)es lo mismo que\(\ i^{2} \cdot i\), que es\(\ -1 \cdot i\) o\(\ -i\)
\(\ \therefore i^{3}=-i\)
\(\ i^{4}=i^{2} \cdot i^{2}\)que es\(\ -1 \cdot-1\)
\(\ \therefore i^{4}=1\)

Ejemplo 5

Simplifica el siguiente radical:\(\ \sqrt{108-140}\).

Solución

\(\ \sqrt{-32}\): Restar entre paréntesis

\(\ \sqrt{32 \cdot-1}\): Reescribir\(\ −32\) como\(\ -1 \cdot 32\)

\(\ \sqrt{32} \cdot \sqrt{-1}\): Reescribir como producto de radicales

\(\ \sqrt{32} \cdot i\): Sustituto\(\ \sqrt{-1} \rightarrow i\)

\(\ \sqrt{16 \cdot 2} \cdot i\): Factor\(\ 32\)

\(\ 4 i \sqrt{2}\): Simplificar\(\ \sqrt{16}\)

Ejemplo 6

Multiplicar los números imaginarios:\(\ 4 i \cdot 3 i\).

Solución

\(\ 4 \cdot 3 \cdot i \cdot i\): Uso de la ley conmutativa para la multiplicación

\(\ 12 \cdot i^{2}\): Simplificar

\(\ 12 \cdot-1\): Recordar\(\ i^{2}=-1\)

\(\ −12\)

Ejemplo 7

Multiplicar los números imaginarios:\(\ \sqrt{4 i^{2}} \cdot \sqrt{12} i\).

Solución

\(\ \sqrt{4} \cdot \sqrt{i^{2}} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} \cdot i\): Factor

\(\ 2 \cdot i \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot i\): Simplificar las raíces

\(\ 4 \sqrt{3} \cdot i^{2}\): Recopilar términos y simplificar

\(\ 4 \sqrt{3} \cdot-1\): Recordar\(\ i^{2}=-1\)

\(\ -4 \sqrt{3}\)

Revisar

Simplificar:

\(\ \sqrt{-49}\)
\(\ \sqrt{-81}\)
\(\ \sqrt{-324}\)
\(\ \sqrt{-121}\)
\(\ -\sqrt{-16}\)
\(\ -\sqrt{-1}\)
\(\ \sqrt{-1.21}\)

Simplificar:

\(\ i^{8}\)
\(\ i^{12}\)
\(\ i^{3}\)
\(\ 24 i^{20}\)
\(\ i^{225}\)
\(\ i^{1024}\)

Multiplicar:

\(\ i^{4} \cdot i^{11}\)
\(\ 5 i^{6} \cdot 5 i^{8}\)
\(\ 3 \sqrt{-75} \cdot 5 \sqrt{-3}\)
\(\ 2 \sqrt{-12} \cdot 6 \sqrt{-27}\)
\(\ -4 \sqrt{-10} \cdot 5 \sqrt{-3} \cdot 6 \sqrt{-18}\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 4.4.

El vocabulario

Término	Definición
\(\ i\)	\(\ i\)es un número imaginario. \(\ i=\sqrt{-1}\).
número complejo	Un número complejo es la suma de un número real y un número imaginario, escritos en la forma\(\ a+bi\).
i	i es un número imaginario. \(\ i=\sqrt{-1}\).
Número imaginario	Un número imaginario es un número que puede escribirse como producto de un número real e i.
Números imaginarios	Un número imaginario es un número que puede escribirse como producto de un número real e i.