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5.1.2: Posiciones tridimensionales

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    108965
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    Posiciones tridimensionales

    Brian acaba de entrar al museo. Al mirar el mapa “Estás aquí”, ve que su exhibición favorita, “¡Dinosaurios en movimiento!” ha sido trasladado al tercer piso, y se encuentra en la cuarta habitación de la derecha.

    Brian conoce bien el museo, por lo que sabe que la entrada es la primera habitación a la izquierda en el primer piso, y ya está familiarizado con el diseño del museo de 8 habitaciones a cada lado del salón principal en cada piso, con las escaleras al frente del edificio.

    ¿Cómo podría describirse la ubicación de la exhibición de dinosaurios en coordenadas tridimensionales? ¿Cuál es el desplazamiento de la sala de dinosaurios desde su posición en la entrada principal?


    Posiciones tridimensionales

    El sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas) se utiliza para describir un plano dividido en cuatro cuadrantes, como se muestra abajo a la izquierda. (Tenga en cuenta que los cuadrados de colores se utilizan para ayudarle a visualizar el espacio, recuerde que los planos de coordenadas en realidad se extienden hacia el infinito hacia el infinito.)

    f-d_8ed408b5d29fe1f5a6e58a5a0b0e4afe7c7f3e72d841bcdbdf8e1301+image_tiny+image_tiny.jpg

    El uso del sistema de coordenadas cartesianas para describir el espacio tridimensional consiste en un origen y seis ejes abiertos, + z y — z son perpendiculares al plano x-y. Estos ejes definen tres planos que dividen el espacio en ocho partes conocidas como octantes como se muestra arriba a la derecha. Piense en estos planos como espacio de corte de tres maneras: de izquierda a derecha, de arriba a abajo y de adelante hacia atrás.

    Por convención, numeramos los cuatro cuadrantes del plano x-y de esta manera: los puntos en el cuadrante 1 tienen las coordenadas +x y +y, los del cuadrante 2 tienen —x y +y, los del cuadrante 3 tienen —x y —y los del cuadrante 4 tienen +x y —y Actualmente no existe un sistema de numeración estandarizado para el octantes en el espacio tridimensional, aunque la mayoría de las personas identifican la región con +x, +y +z como el primer octante. El método utilizado para identificar los octantes es indicar verbalmente la porción de espacio que ocupan. Por ejemplo, el primer octante también podría identificarse como (superior, frontal, derecha).

    F-d_67d615b43d20828b3d0ce0684b2d870c6bb29dc98de20929ccfadd20+image_tiny+image_tiny+image_tiny.jpg

    Los vectores de posición en el espacio 3D todavía están representados por flechas que comienzan en el origen y terminan en el punto en cuestión. El diagrama anterior muestra un punto, P, ubicado en el octante delantero, inferior, derecho. Los tres componentes del vector de posición (P x, P y Pz) se muestran en el diagrama. Según el Teorema de Pitágoras, la magnitud del vector de posición viene dada por:

    \(\ |\vec{P}|=\sqrt{P_{x}^{2}+P_{y}^{2}+P_{z}^{2}}\)


    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, se le hizo una pregunta sobre Brian, quien quiere describir la ubicación de la exhibición de dinosaurios en 3 dimensiones.

    Solución

    Brian conoce bien el museo, por lo que sabe que la entrada es la primera habitación a la izquierda en el primer piso, y ya está familiarizado con el diseño del museo de 8 habitaciones a cada lado del salón principal en cada piso, con las escaleras al frente del edificio. ¿Cómo podría describirse la ubicación de la exhibición de dinosaurios en coordenadas tridimensionales? ¿Cuál es el desplazamiento de la sala de dinosaurios desde su posición en la entrada principal?

    Se puede suponer que un sistema de coordenadas utiliza cualquier unidad que desee, en este caso la información de ubicación se da en unidades de “habitaciones” y “pisos”. Deje que el eje x represente los lados horizontales izquierdo y derecho de las salas principales, y puede ser el eje vertical, y z puede ser el eje delantero-trasero de las habitaciones en cada sala.

    Dejemos que la posición inicial de Brian en la entrada represente (0,0,0) en coordenadas rectangulares tridimensionales. “¡Dinosaurios en Movimiento!” está en el tercer piso, y está en la cuarta habitación a la derecha.

    (2,3,4) representaría la sala de exhibición de dinosaurios.

    Como éramos inteligentes, y orientamos nuestro sistema de coordenadas en la entrada, el desplazamiento vectorial es el mismo que la ubicación de la habitación: ⟩ 2habitaciones,3piso,4habitaciones⟩.

    Ejemplo 2

    Darnell conducía a casa después de un partido de fútbol en un pueblo cercano cuando se desvió para evitar un ciervo que había corrido hacia la carretera. Afortunadamente para Darnell, pudo evitar golpear al venado. Desafortunadamente, su auto terminó en la zanja al lado de la carretera. Cuando no pudo sacar el auto de la zanja él mismo, cruzó un campo cercano hasta la granja familiar Tucker para pedir ayuda. Darnell luego miró un mapa topográfico e identificó su viaje por el campo. Viajó 300 metros al sur y 750 metros al oeste de donde dejó su automóvil. El mapa mostraba que también caminaba cuesta arriba desde una altitud de 800 pies hasta una altitud de 850 pies sobre el nivel del mar. Si tratamos la ubicación del auto de Darnell como el origen de las coordenadas, ¿cuál es el vector de posición de la granja Tucker?

    Solución

    Defina un sistema de coordenadas donde x = E, y = N y z = arriba. Dado que Darnell caminó hacia el sur y el oeste desde el auto, las coordenadas x e y de la granja son ambas negativas. Si medimos todas las distancias en pies (1 yarda = 3 pies), el vector de posición de la granja se puede escribir como

    \(\ \vec{P}=\left\langle P_{\text {east }}, P_{\text {north }}, P_{u p}\right\rangle=\langle-2250,-900,50\rangle\).

    Observe en este ejemplo que la distancia a pie de Darnell se dio en yardas, mientras que el cambio de elevación se dio en pies. Debes estar atento a estos pequeños cambios cuando estés resolviendo problemas de la vida real.

    Ejemplo 3

    Zeke está disfrutando de una tarde en el skate-park local. El siguiente diagrama muestra su posición inicial y su posición final en el punto más alto del nuevo cerro.

    Elija dos sistemas de coordenadas diferentes que puedan describir este sistema. Encuentra los vectores de posición inicial y final de Zeke en cada uno de los dos sistemas de coordenadas. Luego identificar el vector de desplazamiento desde su posición inicial hasta su posición final en la cima del cerro.

    F-d_a91dd962814b93206012b80665dc9d92f403fcace679a215a8982f31+image_tiny+image_tiny.jpg

    Solución

    Un posible origen de coordenadas se encuentra en la posición inicial de Zeke. En este caso, el vector de posición inicial viene dado por\(\ \vec{r}_{i}=\langle 0 m, 0 m, 0 m\rangle\) y su posición final viene dada por\(\ \overrightarrow{r_{f}}=\langle 6.1 m, 2.3 m, 0 m\rangle\). El desplazamiento de Zeke es la diferencia entre estos dos vectores,

    \(\ \overrightarrow{\triangle r}=\vec{r}_{f}-\vec{r}_{i}=\langle 6.1 m, 2.3 m, 0 m\rangle-\langle 0 m, 0 m, 0 m\rangle=\langle 6.1 m, 2.3 m, 0 m\rangle\)

    F-d_82595dbe2dbc238f7c0d5e570539990a3c37d965f6d5e26e2d73b1ef+image_tiny+image_tiny.jpg

    Otro posible origen de coordenadas se encuentra en el punto marcado O en el siguiente diagrama. En este caso su posición original viene dada por\(\ \overrightarrow{r_{i}}=\langle-6.1 m, 0 m, 0 m\rangle\) y su posición final la da\(\ \overrightarrow{r_{f}}=\langle 0 m, 2.3 m, 0 m\rangle\). El desplazamiento de Zeke es la diferencia entre estos dos vectores,

    \(\ \overrightarrow{\triangle r}=\vec{r}_{f}-\vec{r}_{i}=\langle 0 m, 2.3 m, 0 m\rangle-\langle-6.1 m, 0 m, 0 m\rangle=\langle 6.1 m, 2.3 m, 0 m\rangle\)

    F-d_5593e8c5ff770a97e11a976b38a48ee4233dd4982a23b0d63f68ab2b+image_tiny+image_tiny.jpg

    Tenga en cuenta que los vectores de posición que representan este movimiento dependen de la elección del sistema de coordenadas, pero el vector de desplazamiento es independiente del sistema de coordenadas.

    Ejemplo 4

    Un estudiante de arquitectura diseña una escalera de caracol, cuyo modelo se muestra a continuación. La escalera serpentea alrededor de un cilindro de radio 3.5 m y altura 11 m. La escalera hace 1 7/8 vueltas progresando en sentido antihorario desde su inicio en el punto A hasta su punto final en B. Usando un origen de coordenadas en la parte inferior central de la escalera, determinar los vectores de posición de los puntos A y B. Después encuentra el vector de desplazamiento entre los dos puntos.

    F-d_14258e6b17be497f83e737a66982a36cc20648625bdc9e0eb67d747d+image_tiny+image_tiny.jpg

    Solución

    Como se puede ver en la vista superior del diagrama, el punto A se encuentra directamente a la izquierda del origen, por lo tanto el vector de posición para el punto A viene dado por\(\ \overrightarrow{r_{A}}=\langle-R, 0,0\rangle=\langle-3.5 m, 0,0\rangle\).

    El punto B se encuentra a 11m por encima del punto A y 7/8 de una vuelta en sentido antihorario es igual a 1/8 de una vuelta en sentido horario, por lo que θ = 45 o. También podemos usar la geometría del sistema para determinar las coordenadas x y z del punto B:

    \ (\\ begin {array} {l}
    \ overrightarrow {r_ {B}} =\ langle-R\ cos\ theta, R\ sin\ theta, H\ rangle=\ izquierda\ langle (-3.5 m)\ cos 45^ {\ circ}, (3.5 m)\ sin 45^ {\ circ}, 11 m\ derecha\ rangle\\
    =\ langle-2.475 m, 2.475 m, 11 m\ rangle
    \ end {array}\)

    El vector de desplazamiento entre estos dos puntos es el vector que obedece a la ecuación:

    \ (\\ begin {array} {l}
    \ overrightarrow {\ triángulo r} =\ overrightarrow {r_ {B}} -\ overrightarrow {r_ {A}}\
    \ overrightarrow {\ triángulo r} =\ langle-2.475 m, 2.475 m, 11 m\ rangle-\ langle-3.5 m, 0 m, 0 m\ rangle\
    \ overright-tarrow {\ triángulo r} =\ langle (-2.475 m- (-3.5 m)), (2.475 m-0 m) , (11 m-0 m)\ rangle=\ langle 1.025 m, 2.475 m, 11 m\ rangle
    \ end {array}\)

    Ejemplo 5

    Identificar el punto medio entre los puntos P = (3.7, 8.4, -2.1) y Q = (5.5, -1.9, -8.6).

    Solución

    Para encontrar el punto medio entre dos puntos, determinar el promedio de las dos posiciones.

    \ (\\ begin {array} {l}
    \ left. \ izquierda.m=\ izquierda (\ frac {1} {2} (3.7+5.5),\ frac {1} {2} (8.4+ (-1.9)),\ frac {1} {2} (-2.1+ (-8.6))\ derecha) =\ izquierda (\ frac {1} {2} (9.2),\ frac {1} {2} (6.5) derecha\),\ frac {1} {2} (-10.7)\ derecha)\ derecha)\\
    M =( 4.6,3.25, -5.35)
    \ end {array}\)

    Ejemplo 6

    Dibuja el vector tridimensional\(\ \vec{A}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+5 \hat{k}\)

    Solución

    I, j y k son vectores unitarios respectivamente en la dirección positiva de los ejes x, y y z.

    f-d_55fd8fd26ec22040b72f1899aa68f32d7a9b5e01ed0a59fbf1110c+image_tiny+image_tiny.png

    Ejemplo 7

    Dibuja el vector tridimensional\(\ \vec{A}=-3 \hat{i}+-4 \hat{j}-5 \hat{k}\)

    Solución

    I, j y k son vectores unitarios respectivamente en la dirección negativa de los ejes x, y y z.

    f-d_cce09c4bc0b7d99632d5f5ebf575fba55e473dff04af187e14fb69e8+image_tiny+image_tiny.png


    Revisar

    Dado: vectores de posición inicial y final el sistema de coordenadas. Identificar el vector de desplazamiento o punto medio desde la posición inicial hasta la final.

    1. ¿Cuál es el desplazamiento o diferencia entre estos dos vectores? El vector de posición inicial\(\ \overrightarrow{r_{i}}=\langle 0 m, 0 m, 0 m\rangle\) y el vector de posición final\(\ \overrightarrow{r_{f}}=\langle 16.1 \mathrm{~m}, 7.5 \mathrm{~m}, 3 \mathrm{~m}\rangle\).
    2. ¿Cuál es el desplazamiento o diferencia entre estos dos vectores? El vector de posición inicial\(\ \overrightarrow{r_{i}}=\langle 0 m i, 0 m i, 0 m i\rangle\) y el vector de posición final\(\ \overrightarrow{r_{f}}=\langle 9.4 m i, 12.5 m i, 6.6 \mathrm{mi}\rangle\).
    3. ¿Cuál es el desplazamiento o diferencia entre estos dos vectores? El vector de posición inicial\(\ \overrightarrow{r_{i}}=\langle 5 k m, 3 k m, 8 k m\rangle\) y el vector de posición final\(\ \overrightarrow{r_{f}}=\langle 10 k m, 20 k m, 19 k m\rangle\).
    4. ¿Cuál es el desplazamiento o diferencia entre estos dos vectores? El vector de posición inicial\(\ \vec{r}_{i}=\langle 1 cm, 3 cm, 1 cm\rangle\) y el vector de posición final\(\ \vec{r}_{f}=\langle 5.1 cm, 2 cm, 5 cm\rangle\).
    5. ¿Cuál es el desplazamiento o diferencia entre estos dos vectores? El vector de posición inicial\(\ \overrightarrow{r_{i}}=\langle 5.6 mm, 10.2 mm, 2.2 mm\rangle\) y el vector de posición final\(\ \overrightarrow{r_{f}}=\langle 20.4 m m, 31.1 mm, 1.1 mm\rangle\).
    6. ¿Cuál es el desplazamiento o diferencia entre estos dos vectores? El vector de posición inicial\(\ \vec{r}_{i}=\langle 1 in, 2 in, 3 in \rangle\) y el vector de posición final\(\ \vec{r}_{f}=\langle 4 i n, 5 i n, 3 i n\rangle\).

    Identificar el punto medio entre los puntos A y B.

    1. \(\ \mathrm{A}=\langle 0 m, 0 m, 0 m\rangle \text { and } \mathrm{B}=\langle 16.1 m, 7.5 m, 3 m\rangle\)
    2. \(\ \mathrm{A}=\langle 0 mi, 0 mi, 0 mi\rangle \text { and } \mathrm{B}=\langle 9.4 mi, 12.5 mi, 6.6 mi\rangle\)
    3. \(\ \mathrm{A}=\langle 5 k m, 3 k m, 8 k m\rangle \text { and } \mathrm{B}=\langle 10 k m, 20 k m, 19 k m\rangle\)
    4. \(\ \mathrm{A}=\langle 1 cm, 3 cm, 1 cm\rangle \text { and } \mathrm{B}=\langle 5.1 cm, 2 cm, 5 cm\rangle\)
    5. \(\ \mathrm{A}=\langle 5.6 mm, 10.2 mm, 2.2 mm\rangle \text { and } \mathrm{B}=\langle 20.4 m, 31.1 mm, 1.1 mm\rangle\)
    6. \(\ \mathrm{A}=\langle 1 i n, 2 i n, 3 i n\rangle \text { and } \mathrm{B}=\langle 4 i n, 5 i n, 3 i n\rangle\)

    Dibuja el vector tridimensional.

    1. \(\ \vec{A}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+5 \hat{k}\)
    2. \(\ \vec{A}=5 \hat{i}-3 \hat{j}+1 \hat{k}\)
    3. \(\ \vec{A}=7 \hat{i}+1 \hat{j}-4 \hat{k}\)
    4. \(\ \vec{A}=-7 \hat{i}-4 \hat{j}+8 \hat{k}\)
    5. \(\ \vec{A}=-4 \hat{i}+7 \hat{j}-3 \hat{k}\)
    6. \(\ \vec{A}=-3 \hat{i}-2 \hat{j}-5 \hat{k}\)

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 5.3.


    El vocabulario

    Término Definición
    punto medio El punto medio de dos vectores es la ubicación en el centro de sus puntos finales.
    octante Un octante es cualquiera de las ocho “esquinas” del sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales.
    vector de posición Un vector de posición describe el recorrido en línea recta entre un punto de partida (generalmente el origen) y la ubicación de un segundo punto en un plano de coordenadas.
    cuadrante Un cuadrante es un cuarto del plano de coordenadas. Los cuatro cuadrantes se numeran usando los números romanos I, II, III y IV, comenzando en la parte superior derecha y aumentando en sentido antihorario.
    Cuadrantes Un cuadrante es un cuarto del plano de coordenadas. Los cuatro cuadrantes se numeran usando los números romanos I, II, III y IV, comenzando en la parte superior derecha y aumentando en sentido antihorario.

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