5.3.1: Distancia entre un punto y un plano
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Distancia entre un punto y un plano
La distancia entre un punto específico y un avión es importante para una serie de actividades diferentes.
Por ejemplo, una torre de puenting no sería muy segura si la distancia al suelo no se midiera en el punto directamente debajo de la torre, ya que cualquier ángulo lejos de recto hacia abajo haría que la distancia mediera más lejos y conduciría a un cordón demasiado largo.
Un programador de juegos de computadora necesita saber calcular la distancia entre la ubicación de un personaje en la pantalla y las paredes a su alrededor para decirle al juego cómo identificar cuándo un proyectil golpea un objetivo, o cuando el personaje golpea una pared.
Distancia entre un punto y un plano
Identificar el punto más cercano al origen
No importa cuál sea la orientación de un plano, siempre habrá un punto ubicado más cerca del origen que cualquier otro punto del plano. Esto significa que el vector de posición para este punto es más corto que cualquier otro punto en el plano. El siguiente diagrama muestra una proyección bidimensional de un plano, en gris, cerca de un punto que no está en el plano, en negro. Los vectores de posición a una variedad de puntos se muestran en el diagrama. El vector de posición marcado en azul es más corto que los vectores de posición para los otros puntos. Este vector más corto es perpendicular al plano. También puede ver que la línea azul es la proyección vectorial de cualquier vector naranja en la dirección perpendicular.
Esta ortogonalidad (es decir, ser perpendicular) es útil para nosotros porque significa que el vector de posición para este punto especial es paralelo al vector normal. Por lo tanto, si conocemos la ecuación para un vector normal y el vector de posición para cualquier punto del plano, podemos determinar la ubicación del punto en el plano más cercano al origen encontrando la proyección del vector de posición del punto dado en la dirección normal.
El ángulo diedro
El ángulo entre dos planos se llama ángulo diedro. El ángulo entre dos planos es el mismo que el ángulo entre sus vectores normales. Si queremos determinar el ángulo diedro entre dos planos, identificamos vectores normales a los dos planos, entonces podemos usar el punto-producto de los dos vectores normales para determinar el ángulo entre las dos normales que son también los dos planos. Recordar\(\ \vec{A} \times \vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta\).
Ejemplos
Los tres puntos\(\ P=(3,7,2), Q=(1,4,3)\), y\(\ R=(2,3,4)\) definen un plano. Determinar el punto en el plano que está más cerca del origen.
Solución
Primero encuentra los vectores entre dos pares de los puntos.
\ (\\ begin {array} {l}
\ overrightarrow {P Q} =\ izquierda\ langle\ izquierda (Q_ {x} -P_ {x}\ derecha),\ izquierda (Q_ {y} -P_ {y}\ derecha),\ izquierda (Q_ {z} -P_ {z}\ derecha)\ derecha\ rangle=\ langle (1-3), (4-7), (), (3-2)\ rangle=\ langle-2, -3,1\ rangle
\\ overrightarrow {P R} =\ izquierda\ langle\ izquierda (R_ {x} -P_ {x}\ derecha),\ izquierda (R_ {y} -P_ {y}\ derecha),\ izquierda (R_ {z} -P_ {z}\ derecha)\ derecha\ rangle=\ langle (2-3), (3-7), (4-2)\ rangle=\ langle-1, -4,2\ rangle
\ end {array}\)
El producto cruzado de estos dos vectores es normal al plano.
\ (\\ start {array} {l}
\ overrightarrow {P Q}\ veces\ overrightarrow {P R} =\ izquierda\ langle\ izquierda (P Q_ {y} P R_ {z} -P Q_ {z} P R_ {y}\ derecha),\ izquierda (P Q_ {z} P R_ {x} -P Q_ {x} P R_ {z}\ derecha),\ izquierda (P Q_ {x} P R_ {y} -P Q_ {y} P R_ {x}\ derecha)\ derecha\ rangle\
\ overrighttarrow {P Q}\ veces\ overrighttarrow {P R} =\ langle [(-3\ cdot 2) - (1\ cdot-4)], [(1\ cdot-1) - (-2\ cdot 2)], [(-2\ cdot-4) - (-1\ cdot-3)]\ rangle\
\ vec {n} =\ overrightarrow {P Q}\ veces\ overrightarrow {P R} =\ langle [(-6) - (-4)], [(-1) - (-4)], [(8) - (3)]\ rangle=\ langle-2,3,5\ rangle
\ end {array}\)
El punto en el plano más cercano al origen se puede encontrar determinando la proyección del vector de posición de cualquiera de estos tres puntos sobre el vector normal. Recuerde que la proyección vectorial de un vector en la dirección de otro, viene dada por el punto-producto del primer vector sobre el vector unitario que define la dirección del segundo vector:\(\ (\vec{A} \times \vec{B}) \vec{B}\).
Ya que conocemos tres puntos en el avión, podemos usar uno de ellos para resolver el problema. Empecemos con el punto P. La proyección vectorial de\(\ \vec{P}\) onto\(\ \hat{n}\) viene dada por\(\ (\vec{P} \times \hat{n}) \hat{n}\), así que primero tenemos que determinar el vector unitario\(\ \hat{n}\) que viene dado por
\ (\\ comenzar {array} {l}
\ sombrero {n} =\ frac {\ sombrero {n}} {|\ vec {n} |} =\ frac {\ izquierda\ langle n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}\ derecha\ rangle} {\ sqrt {n_ {x} ^ {2} +n_ {y} ^ {2} +n_ {z} ^ {2}}} =\ frac {\ langle-2,3,5\ rangle} {\ sqrt {(-2) ^ {2} +3^ {2} + (5) ^ {2}}} =\ frac {\ langle-2,3,5\ rangle} {\ sqrt {38}} =\ langle-0.32,0.49,0.81\ rangle\
\ vec {P} \ veces\ sombrero {n} =P_ {x}\ sombrero {n} _ {x} +P_ {y}\ sombrero {n} _ {y} +P_ {z}\ sombrero {n} _ {z} = (3) (-0.32) + (7) (0.49) + (2) (0.81) =\\
-0.96+3.43+1.62=4.09\
(\ vec {P}\ veces\ sombrero {n})\ sombrero {n} =( 4.09)\ langle-0.32,0.49,0.81\ rangle=\ langle-1.3088,2.0041,3.3129\ rangle
\ end {array}\)
Por lo tanto, el punto en el plano más cercano al origen es (-1.3088, 2.0041, 3.3129).
Los tres puntos\(\ P=(3,7,2), Q=(1,4,3)\), y\(\ R=(2,3,4)\) definen un plano. Determinar el ángulo diedro entre este plano y el plano x-y.
Solución
Como vimos en el ejemplo anterior, estos tres puntos definen un plano que tiene un vector normal\(\ \vec{n}=\langle-2,3,5\rangle\)
La normal al plano x-y es el vector unitario\(\ \hat{z}=\langle 0,0,1\rangle\). Para encontrar el ángulo entre estos dos vectores utilizamos el hecho de que\(\ \vec{A} \times \vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\) y que\(\ \vec{A} \times \vec{B}=A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z}\)
Primero encuentre un valor numérico para el producto de punto:
\ (\\ comenzar {matriz} {l}
\ vec {n}\ veces\ sombrero {z} =n_ {x} z_ {x} +n_ {y} z_ {y} +n_ {z} z_ {z} =( -2\ cdot 0) + (3\ cdot 0) + (5\ cdot 1) =5\\
|\ vec {n} |=\ sqrt {n_ {x} ^ {2} +n_ {y} ^ {2} +n_ {z} ^ {2}} =\ sqrt {(-2) ^ {2} + (3) ^ {2} + (5) ^ {2}} =\ sqrt {4+9+25} =\ sqrt {38}\\
|\ hat {z} |=\ sqrt {z_ {x} ^ {2} +z_ {y} ^ {2} +z_ {z} ^ {2}} =\ sqrt {0^ {2} +0^ {2} +1^ {2}} =1
\ end {array}\)
Luego encuentra la versión coseno del producto dot:
\(\ \vec{n} \times \hat{z}=\sqrt{38} \cos \theta\)
Ahora equiparar los dos y resolver para el ángulo, θ
\ (\\ begin {array} {l}
\ vec {n}\ veces\ hat {z} =5=\ sqrt {38}\ cos\ theta\
\ theta=\ cos ^ {-1}\ izquierda (\ frac {5} {\ sqrt {38}}\ derecha) =62.5^ {\ circ}
\ end {array}\)
Determinar el ángulo diedro entre los dos planos 12 x + 23 y + 14 z - 5 = 0 y 7 x + 3 y + z + 12 = 0.
Solución
El ángulo diedro se define como el ángulo entre dos planos. Este ángulo también es igual al ángulo entre las normales y los dos planos. En dos de los problemas anteriores determinamos los vectores unitarios que son perpendiculares a estos dos planos\(\ \overrightarrow{n_{1}}=\left\langle\frac{12}{29.5}, \frac{23}{29.5}, \frac{14}{29.5}\right\rangle\) y\(\ \overrightarrow{n_{2}}=\left\langle\frac{7}{\sqrt{59}}, \frac{3}{\sqrt{59}}, \frac{1}{\sqrt{59}},\right\rangle\). Entonces podemos usar el punto-producto de estos dos vectores normales para determinar el ángulo entre los dos. El punto-producto se define como\(\ \vec{A} \times \vec{B}=A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z}+\ldots\) y como\(\ \vec{A} \times \vec{B}=|A||B| \cos \theta\). Primero, necesitamos encontrar la versión componente del producto punto y las magnitudes de los dos vectores normales.
\ (\\ comenzar {matriz} {l}
\ overrighttarrow {n_ {1}}\ veces\ overrighttarrow {n_ {2}} =\ overrightarrow {n_ {1 x} n_ {2 x}} +\ overrightarrow {n_ {1 y} n_ {2 y}} +\ overrightarrow {n_ {1 z} n_ {2 z}} =\ frac {12\ cdot 7} {29.5\ sqrt {59}} +\ frac {23\ cdot 3} {29\ cdot 5\ sqrt {59}} +\ frac {14\ cdot 1} {29.5\ sqrt {59}}\\
\ overrightarrow {n_ {1}}\ veces\ overrightarrow {n_ {2}} =\ frac {12\ cdot 7} {29.5\ sqrt {59}} +\ frac {23\ cdot 3} {29.5\ sqrt {59}} +\ frac {14\ cdot 1} {29.5\ sqrt {59}} =\ frac 119} {226.6} +\ frac {69} {226.6} +\ frac {14} {226.6} =\ frac {202} {226.6} =0.891
\ end {array}\)
Dado que estos dos vectores son vectores unitarios, sus magnitudes son iguales a 1.
\ (\\ begin {array} {l}
\ cos\ theta=\ frac {\ overrightarrow {n_ {1}}\ veces\ overrightarrow {n_ {2}}} {\ izquierda|\ overrighttarrow {n_ {1}}\ derecha|\ izquierda|\ overrightarrow {n_ {2}}\ derecha|} =\ frac {0.891} {(1) (1)} =0.891\
\\ theta=\ cos ^ {-1} 0.891=27.0^ {\ circ}
\ end {array}\)
Determinar el ángulo entre el plano 2 x - 5 y + 8 - 10 = 0 y el plano y - z.
Solución
El ángulo diedro se define como el ángulo entre los dos planos y también es igual al ángulo entre los dos vectores unitarios normales. En este caso, ya conocemos el vector de unidad normal para el plano y-z,\(\ \hat{x}=\langle 1,0,0\rangle\). Todavía necesitamos determinar, sin embargo, el vector unitario para el plano 2 x - 5 y + 8 z - 10 = 0.
Comparando esta ecuación con\(\ n_{x} x+n_{y} y+n_{z} z+d=0\), podemos ver eso\(\ \vec{n}=\langle 2,-5,8\rangle\).
Ahora podemos usar la definición del vector de unidad
\(\ \hat{n}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\frac{\left\langle n_{x}, n_{y}, n_{z}\right\rangle}{\sqrt{n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}=\frac{\langle 2,-5,8\rangle}{\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}+8^{2}}}=\frac{\langle 2,-5,8\rangle}{\sqrt{4+25+64}}=\frac{\langle 2,-5,8\rangle}{9.64} = \left\langle\frac{2}{9.64}, \frac{-5}{9.64}, \frac{8}{9.64}\right\rangle\)
El ángulo entre los dos planos es igual al ángulo entre los dos vectores normales.
Entonces podemos usar el punto-producto de estos dos vectores normales para determinar el ángulo entre los dos. El punto-producto se define como\(\ \vec{A} \times \vec{B}=A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z}+\ldots\) y como\(\ \vec{A} \times \vec{B}=|A||B| \cos \theta\). Primero, necesitamos encontrar la versión componente del producto punto y las magnitudes de los dos vectores normales.
\(\ \overrightarrow{n_{1}} \times \overrightarrow{n_{2}}=\overrightarrow{n_{1 x}} \overrightarrow {n_{2 x}}+\overrightarrow{n_{1 y}} \overrightarrow{n_{2 y}}+\overrightarrow{n_{1 z}}\overrightarrow {n_{2 z}}=\frac{2 \cdot 1}{9.64}+\frac{-5 \cdot 0}{9.64}+\frac{8 \cdot 0}{9.64}=\frac{2}{9.64}=0.2074\)
Dado que estos dos vectores son vectores unitarios, sus magnitudes son iguales a 1.
\ (\\ begin {array} {l}
\ cos\ theta=\ frac {\ overrightarrow {n_ {1}}\ veces\ overrightarrow {n_ {2}}} {\ izquierda|\ overrighttarrow {n_ {1}}\ derecha|\ izquierda|\ overrightarrow {n_ {2}}\ derecha|} =\ frac {0.2074} {(1) (1)} =0.2074\
\\ theta=\ cos ^ {-1} 0.2074=16.18^ {\ circ}
\ end {array}\)
Los tres puntos\(\ \vec{P}=\langle-2,3,4\rangle, \vec{Q}=\langle 5,-6,7\rangle\), e\(\ \vec{R}=\langle 8,9,-1\rangle\) identificar un plano. Determinar el punto en el plano que está más cerca del origen.
Solución
El punto en el plano más cercano al origen se puede encontrar determinando la proyección del vector de posición de uno de estos tres puntos sobre el vector normal. Recuerde que la proyección vectorial de un vector en la dirección de otro viene dada por el punto-producto del primer vector sobre el vector unitario que define la dirección del segundo vector:\(\ (\vec{P} \times \hat{n}) \hat{n}\).
Podemos usar los vectores de posición para los tres puntos para determinar dos vectores dentro del plano. Una vez que tengamos esos dos vectores, su producto cruzado definirá la dirección normal al plano. Primero encuentra las dos ecuaciones en el plano:
\ (\\ comenzar {matriz} {l}
\ vec {A} =\ vec {Q} -\ vec {P} =\ langle 5, -6,7\ rangle-\ langle-2,3,4\ rangle=\ langle 7, -9,3\ rangle\
\ vec {B} =\ vec {R} -\ vec {P} =\ langle 8,9, -1\ rangle-\ langle-2,3,4\ rangle=\ langle 10,6, -5\ rangle
\ end {array}\)
Ahora determina el producto cruzado de los dos vectores
\ (\\ comenzar {matriz} {l}
\ vec {n} =\ vec {A}\ veces\ vec {B} =\ izquierda\ langle\ izquierda (A_ {y} B_ {z} -A_ {z} B_ {y}\ derecha),\ izquierda (A_ {z} B_ {x} -A_ {x} B_ {z} B_ {z}\ derecha),\ izquierda (A_ {x} B_ {y} -A_ {y} B_ {x}\ derecha)\ derecha\ rangle\
\\ vec {n} =\ vec {A}\ veces\ vec {B} =\ langle (45-18), (30- (-35)), (42+90)\ rangle\
\ vec {n} =\ vec {A}\ veces\ vec {B} =\ langle 27,65,132\ rangle
\ end {array}\)
Ahora necesitamos determinar el vector unitario asociado a este vector normal
\ (\\ comenzar {array} {l}
\ sombrero {n} =\ frac {\ vec {n}} {|\ vec {n} |} =\ frac {\ izquierda\ langle n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}\ derecha\ rangle} {\ sqrt {n_ {x} ^ {2} +n_ {y} ^ {2} +n_ {y} ^ {2}} +n_ {z} ^ {2}}} =\ frac {\ langle 27,65,132\ rangle} {\ sqrt {27^ {2} + (65) ^ {2} + (132) ^ {2}}} =\ frac {\ langle 27,65,132\ rangle} {\ sqrt {22378}}
\\ sombrero {n} =\ frac {\ vec {n}} { |\ vec {n} |} =\ langle 0.181,0.435.0.882\ rangle
\ end {array}\)
Ahora determinamos la progresión del vector de uno de los tres vectores de posición inicial en la dirección de esta unidad-vector normal:\(\ (\vec{P} \times \hat{n}) \hat{n}\). Recuerda que el producto dot viene dado por
\ (\\ comenzar {matriz} {l}
\ vec {A}\ veces\ vec {B} =A_ {x} B_ {x} +A_ {y} B_ {y} +A_ {z} B_ {z} +\ lpuntos\\
(\ vec {P}\ veces\ sombrero {n})\ sombrero {n} =( -2 (0.181) +3 (435) +4 (0.882))\ langle 0.181,0.435.0.882\ rangle\\
(\ vec {P}\ veces\ sombrero {n})\ sombrero {n} =( 4.471)\ langle 0.181,0.435.0.882\ rangle\\
(\ vec {P}\ veces\ sombrero {n})\ sombrero {n} =( 4.471)\ langle 0.181,0.435,0.882\ rangle=\ langle 0.809,1.945,3.943\ rangle
\ end {array}\)
Determinar el punto en el plano 7 x + 3 y + z + 12 = 0 el cual es el más cercano al origen.
Solución
El punto en el plano más cercano al origen se puede encontrar determinando la proyección del vector de posición de cualquier punto en el plano sobre el vector normal. La proyección vectorial de un vector en la dirección de otro viene dada por el punto-producto del primer vector sobre el vector unitario que define la dirección del segundo vector:\(\ (\vec{P} \times \hat{n}) \hat{n}\).
En este caso, podemos determinar un vector normal usando la ecuación del plano. Comparando 7 x + 3 y + z + 12 = 0 con la ecuación genérica\(\ n_{x} x+n_{y} y+n_{z} z+d=0\), podemos ver eso\(\ \vec{n}=\langle 7,3,1\rangle\) y
\(\ \hat{n}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\frac{\left\langle n_{x}, n_{y}, n_{z}\right\rangle}{\sqrt{n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}=\frac{\langle 7,3,1\rangle}{\sqrt{(7)^{2}+(3)^{2}+(1)^{2}}}=\frac{\langle 7,3,1\rangle}{\sqrt{49+9+1}}=\frac{\langle 7,3,1\rangle}{\sqrt{59}} = \left\langle\frac{7}{\sqrt{59}}, \frac{3}{\sqrt{59}}, \frac{1}{\sqrt{59}}\right\rangle\)
También necesitamos conocer la ubicación de un punto en el avión. Si escribimos la ecuación del plano en forma de intercepción, podemos determinar el vector de posición para las intercepciones x, y y z del plano.
La ecuación\(\ 1=\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) debe ser verdadera para todos los puntos de un plano. Por lo tanto, primero debemos reorganizar 7 x +3 y + z + 12 = 0 en la forma\(\ 1=\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\).
\(\ 7 x+3 y+z=-12 \text { becomes } \frac{7}{-12} x+\frac{3}{-12} y+\frac{1}{-12} z=1\)
Por lo tanto\(\ a=\frac{-12}{7}, b=\frac{-12}{3}=-4\),,\(\ c=\frac{-12}{1}=-12\) y y los vectores de posición de las tres intercepciones son\(\ \vec{A}=\langle-1.714,0,0\rangle, \vec{B}=\langle 0,-4,0\rangle\), y\(\ \vec{C}=\langle 0,0,-12\rangle\).
Para completar el problema, compute el producto punto.
\(\ (\vec{B} \times \hat{n}) \hat{n}=\left(B_{x} \hat{n}_{x}+B_{y} \hat{n}_{y}+B_{z} \hat{n}_{z}\right) \hat{n} = \left(0\left(\frac{7}{\sqrt{59}}\right)-4\left(\frac{3}{\sqrt{59}}\right)+0\left(\frac{1}{\sqrt{59}}\right)\right)\left\langle\frac{7}{\sqrt{59}}, \frac{3}{\sqrt{59}}, \frac{1}{\sqrt{59}}\right\rangle\)
\(\ (\vec{B} \times \hat{n}) \hat{n}=\frac{-12}{\sqrt{59}}\left\langle\frac{7}{\sqrt{59}}, \frac{3}{\sqrt{59}}, \frac{1}{\sqrt{59}}\right\rangle=\left\langle\frac{-84}{59}, \frac{-36}{59}, \frac{-12}{59}\right\rangle=\langle-1.424,-0.610,-0.203\rangle\)
Revisar
Los tres puntos definen un plano. Determinar el punto en el plano que está más cerca del origen.
- \(\ P=(3,6,9), Q=(9,6,3) \text { and } R=(6,-9,9)\)
- \(\ P=(1,-7,2), Q=(4,2,9) \text { and } R=(3,-5,1)\)
- \(\ P=(3,8,10), Q=(-2,5,8) \text { and } R=(7,4,8)\)
- \(\ P=(9,-1,4), Q=(6,2,-8) \text { and } R=(12,9,10)\)
- \(\ P=(5,8,-9), Q=(-5,3,9) \text { and } R=(10,4,-6)\)
Determinar el ángulo diedro entre cada uno de los planos en las preguntas 1-5 y el plano x-y. Utilice el\(\ |\vec{n}|\) que calculó para cada plano y recuerde que la normal al plano x-y es el vector unitario\(\ \hat{z}=\langle 0,0,1\rangle\).
- \(\ P=(3,6,9), Q=(9,6,3) \text { and } R=(6,-9,9)\)
- \(\ P=(1,-7,2), Q=(4,2,9) \text { and } R=(3,-5,1)\)
- \(\ P=(3,8,10), Q=(-2,5,8) \text { and } R=(7,4,8)\)
- \(\ P=(9,-1,4), Q=(6,2,-8) \text { and } R=(12,9,10)\)
- \(\ P=(5,8,-9), Q=(-5,3,9) \text { and } R=(10,4,-6)\)
Determinar el ángulo diedro entre los dos planos.
- \(\ 9 x+17 y-4 z-7=0 \text { and }-17 x+24 y+14 z+2=0\)
- \(\ 2 x-4 y+10 z-11=0 \text { and } 2 x-9 y+4 z+12=0\)
- \(\ -7 x+20 y+6 z+4=0 \text { and }-19 x-3 y+z+5=0\)
- \(\ 5 x-8 y+20 z-5=0 \text { and } 6 x+y+19 z-7=0\)
- \(\ 14 x+11 y-5 z-16=0 \text { and } 11 x-13 y+8 z+4=0\)
- \(\ -10 x+9 y+2 z+8=0 \text { and } 21 x+7 y-4 z+15=0\)
Reseña (Respuestas)
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El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| Ángulo diedro | Un ángulo diedro es un ángulo entre dos planos en el espacio tridimensional. |
| Origen | El origen es el punto de intersección de los ejes x e y en el plano cartesiano. Las coordenadas del origen son (0, 0). |
| ortogonalidad | Ser ortogonal es ser perpendicular. |
| perpendiculares | Las líneas perpendiculares son líneas que se cruzan en un ángulo de 90 o. El producto de las pendientes de dos líneas perpendiculares es -1. |
| avión | Un plano es una superficie plana bidimensional. Se puede conceptualizar como una hoja de papel de área infinita. |
| vector de posición | Un vector de posición describe el recorrido en línea recta entre un punto de partida (generalmente el origen) y la ubicación de un segundo punto en un plano de coordenadas. |