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5.1.1: Posiciones y puntos medios en dos dimensiones

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    Posiciones y puntos medios en dos dimensiones

    Un artista gráfico digital está diseñando un nuevo logotipo de empresa. Actualmente está dibujando una muestra en papel cuadriculado para mostrar a su cliente, y necesita encontrar el centro del texto que ha dibujado para que pueda alinear la obra correctamente.

    Si sabe que la primera carta arranca 10 casillas arriba y 5 casillas por encima de la esquina inferior izquierda de la página, y la última carta termina 12 casillas arriba y 32 cajas por encima de la misma esquina, ¿cómo podría encontrar el centro?


    Posiciones y puntos medios en dos dimensiones

    Uso eficiente del sistema de coordenadas

    En el pasado, como usabas el sistema de coordenadas para graficar en álgebra y geometría, probablemente te familiarizaste mucho con los ejes x/y corriendo izquierda/derecha y arriba/abajo en la página, con 0 en el centro. En matemáticas más avanzadas, y en física u otros estudios de movimiento, encontrará que a menudo es mucho más sencillo mover la gráfica para alinearse con un vector que alinear todos los vectores que está calculando con la orientación estándar.

    Al alinear uno de los múltiples vectores con el eje x o y, y/o establecer el origen de su gráfica al inicio de un vector, minimiza la complejidad de sus cálculos.

    Vectores entre dos puntos

    Un vector d isplacement representa el movimiento que comienza en un punto y termina en otro. En el diagrama siguiente, el vector C comienza en el punto A y termina en el punto B. Esto significa que\(\ \vec{A}+\vec{C}=\vec{B}\) y\(\ \vec{C}=\vec{B}-\vec{A}\). En este caso,\(\ \vec{A}=\langle 1,3\rangle\) y\(\ \vec{B}=\langle 3,2\rangle\), por lo tanto\(\ \vec{C}=\langle(3-1),(2-3)\rangle=\langle 2,-1\rangle\) coincidiendo con lo que podemos ver en el diagrama.

    F-D_50f98dd10c4f491fb1d5afdaea9820cd1c53895ac41912132868ae83+image_tiny+image_tiny.jpg

    Vector a un punto entre dos puntos

    Los artistas de gráficos por computadora frecuentemente necesitan conocer la ubicación de un punto que se encuentra a medio camino entre otros dos puntos. Una vez que conocemos los vectores de posición para dos puntos discretos, podemos determinar el punto medio entre ellos usando sus coordenadas. Específicamente, el punto medio entre los puntos A y B es el “promedio” de las dos posiciones, por lo tanto las coordenadas del punto medio están dadas por\(\ x_{m p}=\frac{1}{2}\left(x_{A}+x_{B}\right),\ y_{m p}=\frac{1}{2}\left(y_{A}+y_{B}\right)\) y\(\ z_{m p}=\frac{1}{2}\left(z_{A}+z_{B}\right)\) y el vector de posición para el punto medio puede escribirse como\(\ P_{m p}=\left\langle x_{m p}, y_{m p}, z_{m p}\right\rangle\). El vector desde cualquier otro punto hasta este punto medio se puede calcular utilizando el método descrito en nuestra discusión de vectores de desplazamiento.

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    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, se le dio un problema para encontrar el centro del texto en una hoja de papel cuadriculado.

    Solución

    Si sabe que la primera carta arranca 10 casillas arriba y 5 casillas por encima de la esquina inferior izquierda de la página, y la última carta termina 12 casillas arriba y 32 cajas por encima de la misma esquina, ¿cómo podría encontrar el centro?

    Esta es una pregunta de punto medio, por lo que el cálculo de la coordenada x es:

    \(\ x_{m p}=\frac{1}{2}\left(x_{A}+x_{B}\right)=\frac{1}{2}(5+32)=18.5\)

    y la coordenada y del punto medio viene dada por:\(\ y_{m p}=\frac{1}{2}\left(y_{A}+y_{B}\right)=\frac{1}{2}(10+12)=11\)

    La coordenada del centro es: 18.5, 11.

    Ejemplo 2

    El movimiento de un objeto a lo largo de un plano inclinado es un problema muy común en la física introductoria. El siguiente diagrama muestra una de esas situaciones.

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    Stickman Beauford ha llevado a su sobrina Brynna al parque y le saluda mientras juega en el tobogán. Elija dos sistemas de coordenadas que podrían usarse para describir el movimiento de Brynna e identificar los vectores de posición para los puntos A y B en ambos sistemas de coordenadas.

    Solución

    Si queremos describir el movimiento de Brynna a medida que se mueve del punto A al punto B a lo largo de la diapositiva, podríamos usar un sistema de coordenadas estándar horizontal y vertical con el origen en la base de la escalera de la diapositiva, pero luego el vector que describe su movimiento tendría componentes tanto en la dirección x como en y. Nuestra descripción matemática de su movimiento puede simplificarse mucho si elegimos el punto A para que sea el origen y si giramos el sistema de coordenadas de tal manera que el eje x sea paralelo a la diapositiva y el eje y sea perpendicular a la diapositiva. Ahora el movimiento de Brynna del punto A al punto B es solo a lo largo del eje x. Tenga en cuenta que otras opciones de origen son posibles.

    f-d_968cb173642ff178b099fa75a2899bf12f3aa412487d903d18738895+image_tiny+image_tiny.jpg

    Una vez que hemos identificado un origen y ejes de coordenadas para de nuestros marcos de referencia, podemos utilizar la notación vectorial para identificar la ubicación de los puntos A y B. El vector de posición para el punto A es el vector que comienza en el origen y termina en el punto A,\(\ \overrightarrow{O A}\). Para el sistema de coordenadas estándar que se muestra a la izquierda arriba, los vectores de posición\(\ \overrightarrow{O A}\) y se\(\ \overrightarrow{O B}\) muestran a la izquierda de abajo. Para el sistema de coordenadas giradas, mostrado a la derecha arriba, el vector de posición\(\ \overrightarrow{O A}=0\) y\(\ \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{A B}\).

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    Ejemplo 3

    Determinar las coordenadas y magnitud del vector, D, comenzando en el punto\(\ \overrightarrow{P_{1}}=\langle 12,7\rangle\) y terminando en\(\ \overrightarrow{P_{2}}=\langle 8,10\rangle\).

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    Solución

    El vector de desplazamiento D es la diferencia entre los dos vectores de posición:.

    \(\ D=\left\langle P_{2 x}-P_{1 x}, P_{2 y}-P_{1 y}\right\rangle=\langle 8-12,10-7\rangle=\langle-4,3\rangle\).

    La magnitud del vector, D, se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras:

    \(\ |\vec{D}|=\sqrt{(-4)^{2}+(3)^{2}}=\sqrt{25}=5\)

    Ejemplo 4

    Determinar el vector de posición identificando el punto medio entre puntos\(\ \overrightarrow{P_{1}}=\langle 12,7\rangle\) y\(\ \overrightarrow{P_{2}}=\langle 8,10\rangle\).

    Solución

    Dado que estos dos puntos están ubicados en el plano x-y, la coordenada x del punto medio viene dada por

    \(\ x_{m p}=\frac{1}{2}\left(x_{A}+x_{B}\right)=\frac{1}{2}(12+8)=10\)

    y la coordenada y del punto medio viene dada por

    \(\ y_{m p}=\frac{1}{2}\left(y_{A}+y_{B}\right)=\frac{1}{2}(7+10)=8.5\)

    Por lo tanto, el vector de posición para este punto medio se puede escribir como

    \(\ P_{m p}=\langle 10,8.5\rangle\)

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    Ejemplo 5

    Identificar los vectores de posición para los tres puntos que se muestran en la cuadrícula de abajo.

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    Solución

    Los vectores de posición comienzan en el origen, (0, 0) y terminan en cada punto:

    \(\ \overrightarrow{O A}=\langle-3,1\rangle, \overrightarrow{O B}=\langle 1,2\rangle \text { and: } \overrightarrow{O C}=\langle 2.5,0\rangle\)

    Ejemplo 6

    El diagrama muestra dos posiciones de una bicicleta a medida que se mueve por un largo camino recto. A continuación se muestran dos posibles sistemas de coordenadas para el movimiento. Determinar los vectores de posición en cada uno de los dos sistemas de coordenadas para la bicicleta en los puntos A y B. Luego determinar el vector de desplazamiento de A a B en cada caso. (No dibujado a escala.)

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    Solución

    El diagrama muestra dos posiciones de una bicicleta a medida que se mueve por un largo camino recto. A continuación se muestran dos posibles sistemas de coordenadas para el movimiento. Determinar los vectores de posición en cada uno de los dos sistemas de coordenadas para la bicicleta en los puntos A y B. Luego determinar el vector de desplazamiento de A a B en cada caso.

    Para el sistema de coordenadas superior, el vector de posición de la bicicleta en el punto A viene dado por\(\ \overrightarrow{r_{A}}=\langle-300 m, 0,0\rangle\) y que en el punto B viene dado por\(\ \overrightarrow{r_{B}}=\langle 100 m, 0,0\rangle\). Esto da un desplazamiento de\(\ \overrightarrow{\triangle r_{A-B}}=\langle(100 m-(-300 m)),(0-0),(0-0)\rangle=\langle 400 m, 0,0\rangle\).

    Para el sistema de coordenadas superior, el vector de posición de la bicicleta en el punto A viene dado por\(\ \overrightarrow{r_{A}}=\langle 100 m, 0,0\rangle\) y que en el punto B viene dado por\(\ \overrightarrow{r_{B}}=\langle 500 m, 0,0\rangle\). Esto da un desplazamiento de\(\ \overrightarrow{\triangle r_{A-B}}=\langle(500 m-100 m),(0-0),(0-0)\rangle=\langle 400 m, 0,0\rangle\).

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    Los vectores de posición para la bicicleta en el punto A se muestran en rojo y los vectores de posición para el punto B se muestran en azul. El vector de desplazamiento entre los puntos A y B se muestra en oro. Como puede ver, los vectores de posición que representan este movimiento dependen de la elección del sistema de coordenadas, pero el vector de desplazamiento es independiente del sistema de coordenadas. No importa cómo definamos el origen, la bicicleta se mueve 400 m en la dirección + x y no se mueve en la dirección y o z.

    Ejemplo 7

    Identificar los vectores de posición para los tres puntos que se muestran en el siguiente diagrama.

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    Solución

    \(\ \overrightarrow{r_{A}}=\langle-2.63,2.63,0\rangle, \overrightarrow{r_{B}}=\langle 3,1.75,0\rangle, \overrightarrow{r_{C}}=\langle 0.25,1,0\rangle\)


    Revisar

    1. ¿Para qué se utiliza un vector de desplazamiento?

    Determinar las coordenadas y magnitud del vector de desplazamiento, D, comenzando en el punto\(\ \overrightarrow{P_{1}}\) y terminando en\(\ \overrightarrow{P_{2}}\).

    1. \(\ overrightarrow{P_{1}}=\langle 25,3\rangle\)y termina en\(\ \overrightarrow{P_{2}}=\langle 8,11\rangle\)
    2. \(\ \overrightarrow{P_{1}}=\langle 5,3\rangle\)y termina en\(\ \overrightarrow{P_{2}}=\langle 7,9\rangle\)
    3. \(\ \overrightarrow{P_{1}}=\langle 21,18\rangle\)y termina en\(\ \overrightarrow{P_{2}}=\langle 4,15\rangle\)
    4. \(\ \overrightarrow{P_{1}}=\langle 8,5\rangle\)y termina en\(\ \overrightarrow{P_{2}}=\langle 5,8\rangle\)
    5. \(\ \overrightarrow{P_{1}}=\langle 16,25\rangle\)y termina en\(\ \overrightarrow{P_{2}}=\langle 9,11\rangle\)
    6. \(\ \overrightarrow{P_{1}}=\langle 14,3\rangle\)y termina en\(\ \overrightarrow{P_{2}}=\langle 23,20\rangle\)
    7. \(\ \overrightarrow{P_{1}}=\langle 11,4\rangle\)y termina en\(\ \overrightarrow{P_{2}}=\langle 15,11\rangle\)
    8. \(\ \overrightarrow{P_{1}}=\langle 23,13\rangle\)y termina en\(\ \overrightarrow{P_{2}}=\langle 1,17\rangle\)

    Determinar el vector de posición que identifica el punto medio entre los puntos\(\ \overrightarrow{P_{1}}\) y\(\ \overrightarrow{P_{2}}\)

    1. \(\ \overrightarrow{P_{1}}=\langle 17,6\rangle\)y\(\ \overrightarrow{P_{2}}=\langle 18,12\rangle\)
    2. \(\ \overrightarrow{P_{1}}=\langle 2,5\rangle\)y\(\ \overrightarrow{P_{2}}=\langle 1,9\rangle\)
    3. \(\ \overrightarrow{P_{1}}=\langle 24,7\rangle\)y\(\ \overrightarrow{P_{2}}=\langle 21,10\rangle\)
    4. \(\ \overrightarrow{P_{1}}=\langle 12,9\rangle\)y\(\ \overrightarrow{P_{2}}=\langle 2,20\rangle\)
    5. \(\ \overrightarrow{P_{1}}=\langle 15,17\rangle\)y\(\ \overrightarrow{P_{2}}=\langle 18,1\rangle\)
    6. \(\ \overrightarrow{P_{1}}=\langle 22,14\rangle\)y\(\ \overrightarrow{P_{2}}=\langle 23,8\rangle\)
    7. \(\ \overrightarrow{P_{1}}=\langle 1,7\rangle\)y\(\ \overrightarrow{P_{2}}=\langle 14,21\rangle\)
    8. \(\ \overrightarrow{P_{1}}=\langle 3,9\rangle\)y\(\ \overrightarrow{P_{2}}=\langle 8,1\rangle\)

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 5.2.


    vocabulario

    Término Definición
    Vector de desplazamiento Un vector de desplazamiento modela el movimiento entre un punto y otro en un plano de coordenadas.
    punto medio El punto medio de dos vectores es la ubicación en el centro de sus puntos finales.
    vector de posición Un vector de posición describe el recorrido en línea recta entre un punto de partida (generalmente el origen) y la ubicación de un segundo punto en un plano de coordenadas.

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