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5.3.2: Dirección vectorial

  • Page ID
    108977
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Dirección vectorial

    A Alyssa le encanta la física, y le fascina que haya cálculos para todas las interacciones físicas y movimientos en el mundo que la rodea. El viernes, Alyssa fue a la feria del condado con su novio Kurt, quien decidió que sería romántico si pudiera ganarle un animal de peluche gigante en el juego de la caída de latas. Desafortunadamente para Kurt, todavía no había derribado nada más de aproximadamente 45 minutos y 35 dólares después.

    Alyssa decide probarlo ella misma, y se da cuenta de que el centro de las latas es una sola posición en el espacio. Si Alyssa conoce su propia altura de lanzamiento, y la distancia que las latas están apiladas detrás de la línea de lanzamiento, ¿qué más necesitaría saber para calcular los vectores involucrados con un camino en línea recta para que tome el balón? ¿Cómo los calcularía?


    Dirección vectorial

    Recordemos que la ecuación para un vector viene dada por

    \(\ \vec{p}=\left\langle P_{x}, P_{y}, P_{z}\right\rangle\)

    donde P x, P y Pz son las coordenadas x, y y z del vector obtenido al proyectar el vector sobre los ejes x, y y z como se muestra abajo a la izquierda.

    F-D_7635DAE66A9C40259C358D1FF04BE994181D019C23034B3ADD308067+Image_Tiny+Image_Tiny.jpg

    La imagen de arriba a la derecha, muestra los ángulos entre el vector de posición\(\ \vec{P}\),, y los tres ejes: α es el ángulo entre\(\ \vec{P}\) y el eje x, β es el ángulo entre\(\ \vec{P}\) y el eje y, y γ es el ángulo entre\(\ \vec{P}\) y el eje z.

    El vector de posición\(\ \vec{P}\), y el vector de unidad\(\ \hat{x}\), definen un plano que se muestra en lavanda a continuación.

    F-d_4c1d6284c465bbab41b67e86034093d91b1200a47b07b5b3200593f7+image_tiny+image_tiny.jpg

    El ángulo de dirección, α, es el ángulo entre\(\ \vec{P}\) y\(\ \hat{x}\) en el plano definido por los dos vectores.

    El otro plano que se muestra en el diagrama es el plano X-Y, que se incluyó en el diagrama para ayudarle a visualizar la orientación del plano definido por los vectores.

    En nuestra discusión sobre el producto dot, vimos que el producto dot de dos vectores puede ser dado por\(\ \vec{A} \times \vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta\)

    Por lo tanto, podemos calcular el ángulo entre\(\ \vec{P}\) y el vector unitario\(\ \hat{x}\).

    \(\ \alpha=\cos ^{-1} \frac{\vec{P} \times \hat{x}}{|\vec{P}|}\)

    Del mismo modo, los ángulos de dirección β y γ se pueden calcular usando las ecuaciones

    \(\ \beta=\cos ^{-1} \frac{\vec{P} \times \hat{y}}{|\vec{P}|} \text { and } \gamma=\cos ^{-1} \frac{\vec{P} \times \hat{z}}{|\vec{P}|}\)

    En algunas aplicaciones, como la astronomía y la óptica aplicada, los cosenos de dirección se utilizan al menos con tanta frecuencia como los propios ángulos direccionales.

    \(\ \cos \alpha=\frac{\vec{P} \times \hat{x}}{|\vec{P}|}, \cos \beta \frac{\vec{P} \times \hat{y}}{|\vec{P}|}, \text { and } \cos \gamma=\frac{\vec{P} \times \hat{z}}{|\vec{P}|}\)

    Propiedad pitagórica de dirección Cosines

    Una propiedad interesante de los cosenos de dirección se puede ver si escribimos las ecuaciones para los cosenos de dirección en términos de los componentes del vector de posición, P x, P y Pz y usando el definición de la magnitud del vector\(\ |\vec{A}|=\sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}\)

    Por ejemplo,

    \(\ \cos \alpha=\frac{P_{x}}{\sqrt{P_{x}^{2}+P_{y}^{2}+P_{z}^{2}}}\)

    Los otros dos cosenos direccionales se pueden reescribir de manera similar:

    \(\ \cos \beta=\frac{P_{y}}{\sqrt{P_{x}^{2}+P_{y}^{2}+P_{z}^{2}}} \text { and } \cos \gamma=\frac{P_{z}}{\sqrt{P_{x}^{2}+P_{y}^{2}+P_{z}^{2}}}\)

    Si cuadramos ambos lados de las tres ecuaciones y luego las sumamos, obtenemos

    \(\ \cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=\frac{P_{x}^{2}}{P_{x}^{2}+P_{y}^{2}+P_{z}^{2}}+\frac{P_{y}^{2}}{P_{x}^{2}+P_{y}^{2}+P_{z}^{2}}+\frac{P_{z}^{2}}{P_{x}^{2}+P_{y}^{2}+P_{z}^{2}}\)

    lo que simplifica

    \(\ \cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=\frac{P_{x}^{2}+P_{y}^{2}+P_{z}^{2}}{P_{x}^{2}+P_{y}^{2}+P_{z}^{2}}=1\)

    Este es un resultado importante porque la definición del vector unitario indicaba que\(\ |\hat{u}|=1\) lo que también significa que

    \(\ u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}=\cos ^{2} a+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma\)

    y que los componentes de los vectores unitarios corresponden a los cosenos de dirección.


    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Antes, te dieron un problema sobre Alyssa y el juego de la caída de la lata.

    Si Alyssa conoce su propia altura de lanzamiento, y la distancia que las latas están apiladas detrás de la línea de lanzamiento, (a) ¿qué más necesitaría saber para calcular los vectores involucrados con un camino en línea recta para que tome la pelota? b) ¿Cómo los calcularía?

    Solución

    1. Alyssa necesita saber la altura de las latas sobre el suelo.
    2. Si Alyssa asume que el centro de las latas está directamente frente a ella, y trata su propia mano como origen, puede calcular las direcciones vectoriales como arriba, usando 0 para x, la diferencia entre su altura de lanzamiento y la de las latas como y, y la distancia que las latas se apilan más allá de la línea de lanzamiento como z.
    Ejemplo 2

    Debido a que los aviones se mueven en tres dimensiones, las tripulaciones terrestres de las aeronaves pueden usar cosenos de dirección para identificar su ubicación en cualquier momento. En lugar de un conjunto arbitrario de ejes ortogonales x, y y z, la posición de un avión se mide en relación con las direcciones este, norte y cenit. (Zenith significa arriba o hacia arriba.) En un momento particular, un avión pequeño se encuentra a 297 km al este, 135 km al norte y 7.5 km por encima de su aeropuerto de origen. ¿Cuáles son los cosenos direccionales y los ángulos direccionales para el vector de posición del plano en ese momento?

    Solución

    Si utilizamos la orientación estándar de los mapas en el hemisferio norte, la dirección x corresponde a este, la dirección y al norte y la dirección z al cenit. Por lo tanto, el vector de posición del plano se puede escribir como\(\ \vec{P}=\langle 297,135,7.5\rangle \mathrm{km}\).

    Los cosenos de dirección asociados a este vector vienen dados por

    \ (\\ comenzar {array} {l}
    \ cos\ alpha=\ frac {\ vec {P}\ veces\ sombrero {x}} {|\ vec {P} |} =\ frac {P_ {x}} {\ sqrt {P_ {x} ^ {2} +P_ {y} ^ {2} +P_ {z} ^ {2}}\
    \ cos\ alpha=\ frac {P_ {x}} {\ sqrt {P_ {x} ^ {2} +P_ {y} ^ {2} +P_ {z} ^ {2}}} =\ frac {297} {\ sqrt {297^ {2} +135^ {2} +7.5 ^ {2}}} =0.582\
    \ cos\ beta=\ frac {\ vec {P}\ veces\ hat {y}} {|\ vec {P} |} =\ frac {P_ {y}} {\ sqrt {P_ {x} ^ {2} +P_ {y} ^ {2} +P_ {z} ^ {2}}}\
    \\ cos\ beta=\ frac {P_ {y}} {\ sqrt {P_ {x} ^ 2} +P_ {y} ^ {2} +P_ {z} ^ {2}} =\ frac {135} {\ sqrt {297^ {2} +135^ {2} +7.5^ {2}}} =0.811\
    \ cos\ gamma=\ frac {\ vec {P}\ veces\ sombrero {z}} {|\ vec {P} |} =\ frac {P_ {z}} {\ sqrt {P_ {x} ^ {2} +P_ {y} ^ {2 } +P_ {z} ^ {2}}}\
    \ cos\ gamma=\ frac {P_ {z}} {\ sqrt {P_ {x} ^ {2} +P_ {y} ^ {2} +P_ {z} ^ {2}}} =\ frac {7500} {\ sqrt {297^ {2} +135^ {2} +7.5^ ^ {2}}} =0.045
    \ end {array}\)

    Los ángulos de dirección asociados son

    \ (\\ begin {array} {l}
    a=\ cos ^ {-1} 0.582=54.4^ {\ circ}\\
    \ beta=\ cos ^ {-1} 0.165=35.8^ {\ circ}\\
    y=\ cos ^ {-1} 0.045=87.4^ {\ circ}
    \ end {array}\)

    Ejemplo 3

    En un próximo episodio de un drama criminal, un enjambre de insectos de efectos especiales molesta a uno de los investigadores tras el descubrimiento de una víctima de asesinato en una zanja de drenaje. El animador utiliza vectores de posición para rastrear las posiciones de las plagas virtuales con respecto a un origen a la cabeza del investigador. Uno de esos insectos se localiza en un punto 33 cm de frente, 52 cm a la izquierda y 18 cm por debajo de la punta de la nariz del investigador. ¿Cuáles son los cosenos direccionales para este insecto?

    Solución

    Al mirar a nuestra investigadora, la dirección +x es hacia su izquierda, la dirección +y es hacia arriba desde su nariz, y la dirección +z está frente a ella. El vector de posición del midge se puede escribir como\(\ \vec{P}=\langle 33,52,-18\rangle \mathrm{cm}\).

    Los cosenos de dirección asociados a este vector vienen dados por

    \ (\\ comenzar {array} {l}
    \ cos\ alpha=\ frac {\ vec {P}\ veces\ sombrero {x}} {|\ vec {P} |} =\ frac {P_ {x}} {\ sqrt {P_ {x} ^ {2} +P_ {y} ^ {2} +P_ {z} ^ {2}}\\ cos
    \ alpha=\ frac {P_ {x}} {\ sqrt {P_ {x} ^ {2} +P_ {y} ^ {2} +P_ {z} ^ {2}}} =\ frac {33} {\ sqrt {33^ {2} +52^ {2} + (-18) ^ {2}}} =0.514\\ cos
    \ beta= =\ frac {\ vec {P}\ veces\ hat {y}} {|\ vec {P} |} =\ frac {P_ {y}} {\ sqrt {P_ {x} ^ {2} +P_ {y} ^ {2} +P_ {z} ^ {2}}}\\
    \ cos\ beta=\ frac {P_ {y}} {\ sqrt {P_ {x} ^ 2} +P_ {y} ^ {2} +P_ {z} ^ {2}}} =\ frac {52} {\ sqrt {33^ {2} +52^ {2} + (-18) ^ {2}}} =0.810\\ cos
    \ gamma=\ frac {\ vec {P}\ veces\ sombrero {z}} {|\ vec {P}} |} =\ frac {P_ {z}} {\ sqrt {P_ {x} ^ {2} +P_ {y} ^ {2} +P_ {z} ^ {2}}}\
    \ cos\ gamma=\ frac {P_ {z}} {\ sqrt {P_ {x} ^ {2} +P_ {y} ^ {2} +P_ {z} ^ {2}}} =\ frac {-18} {\ sqrt {33^ {2} +52^ {2} + (-18) ^ {2}}} =-0.281
    \ end {array}\)

    Ejemplo 4

    Un astrónomo local utilizó cosenos de dirección al programar el proyector en una nueva cúpula de planetario. El proyector en sí se asienta en el centro de la cúpula, a 2.5 m sobre el piso. Desea proyectar Mintaka, una de las estrellas en el cinturón de Orión, en una posición 12 m al sur y 2.3 m al este del proyector y 8.7 m sobre el piso. ¿Cuál es la ecuación del vector unitario direccional que el astrónomo debe introducir en la computadora de proyección?

    Solución

    Podemos usar el mismo sistema de coordenadas que usamos en el ejemplo A anterior:\(\ \hat{x}=\text { east }\),\(\ \hat{y}=\text { north }\), y\(\ \hat{z}=\text { upward }\). El proyector en sí es el origen. En tal sistema de coordenadas, el vector de posición para Mintaka se convierte\(\ \vec{P}=\langle 2.3,-12,(8.7-2.5)\rangle=\langle 2.3,-12,6.2\rangle\). Observe que no usamos la posición de Mintaka sobre el suelo como la coordenada z. Más bien, dado que el proyector está a 2.5 m sobre el piso, necesitábamos usar la diferencia entre la altura del techo y la altura del proyector. Utilice la forma de componente de la ecuación del coseno direccional para calcular los tres componentes del vector unitario.

    \ (\\ begin {array} {l}
    \ cos\ alpha=\ frac {P_ {x}} {\ sqrt {P_ {x} ^ {2} +P_ {y} ^ {2} +P_ {z} ^ {2}} =\ frac {2.3} {\ sqrt {2.3^ {2} + (-12) ^ {2} +6.2^ {2}}}} =0.168\
    \\ cos\ beta=\ frac {P_ {x}} {\ sqrt {P_ {x} ^ {2} +P_ {y} ^ {2} +P_ {z} ^ {2}} =\ frac {-12} {\ sqrt {2.3^ {2} + (-12) ^ {2} +6.2^ {2}} =-0.876\\
    \ cos\ gamma=\ frac {P_ {x}} {\ sqrt {P_ {x} ^ {2} +P_ {y} ^ {2} +P_ {z} ^ {2}}} =\ frac {6.2} {\ sqrt {2.3^ {2} + (-12) ^ {2} +6.2^ {2}}} =0.453
    \ end {array}\)

    Por lo tanto, el vector de unidad de posición viene dado por\(\ \hat{u}=\langle 0.168,-0.876,0.453\rangle\).

    Ejemplo 5

    Determine los componentes del vector de posición y\(\ \vec{P}=\langle 2.4,5.3,1.8\rangle\) luego determine los ángulos direccionales entre este vector y el eje x.

    Solución

    \ (\\ comenzar {array} {l}
    \ cos\ alpha=\ frac {\ vec {P}\ veces\ sombrero {x}} {|\ vec {P} |} =\ frac {P_ {x}} {\ sqrt {P_ {x} ^ {2} +P_ {y} ^ {2} +P_ {z} ^ {2}}\\ cos\ alpha=\ frac {\ vec {P}
    \ veces\ sombrero {x}} {|\ vec {P} |} =\ frac {2.4} {\ sqrt {(2.4) ^ {2} + (5.3) ^ {2} + (1.8) ^ {2}}} =\ frac {2.4} {\ sqrt {5.76+28.09+3.24}} =\ frac {2.4} {\ sqrt {5.76+28.09+3.24}} =\ frac {2.4} {\ sqrt {{2.4} {\ sqrt {37 .09}} =0.394\\
    \ alpha=\ cos ^ {-1} 0.394=66.8
    \ end {array}\)

    Ejemplo 6

    Determinar los cosenos de dirección para el vector\(\ \vec{N}=\langle 8,3,-5\rangle\).

    Solución

    \ (\\ comenzar {alineado}
    &\ cos\ alpha=\ frac {\ vec {N}\ veces\ sombrero {x}} {|\ vec {N} |} =\ frac {N_ {x}} {\ sqrt {N_ {x} ^ {2} +N_ {y} ^ {2} +N_ {z} ^ {2}}\\
    & cos\ alpha=\ frac {\ vec {N}\ veces\ sombrero {x}} {|\ vec {N} |} =\ frac {N_ {x}} {\ sqrt {N_ {x} ^ {2} +N_ {y} ^ {2} +N_ {z} ^ {2}}} =\ frac {8} {\ sqrt {(8) {2} + (3) ^ {2} + (-5) ^ {2}}} =\ frac {8} {\ sqrt {64+9+25}} =0.7213\\
    &\ cos\ beta=\ frac {\ vec {N}\ veces\ sombrero {y}} {|\ vec {N} |} =\ frac {N_ {y}} {\ sqrt {N_ {x} ^ {2} +N_ {y} ^ {2} N_ {z} ^ {2}}}\\
    &\ cos\ beta=\ frac {\ vec {N}\ veces\ sombrero {y}} {|\ vec {N} |} =\ frac {N_ {y}} {\ sqrt {N_ {x} ^ {2} +N_ {y} ^ {2} +N_ {z} ^ {2}} =\ frac {3} {\ sqrt {(8) ^ {2} + (3) ^ {2} + (- 5) ^ {2}} =\ frac {3} {\ sqrt {64+9+25}} =0.3030\\
    &\ cos\ gamma=\ frac {\ vec {N}\ veces\ sombrero {z}} {|\ vec {N} |} =\ frac {N_ {z}} {\ sqrt {N_ {x} ^ {2} +N_ {y} ^ {2} +N_ {z} ^ {2}}}\\
    &\ cos\ gamma=\ frac {\ vec {N}\ veces\ sombrero {z}} {|\ vec {N} |} =\ frac {N_ {z}} {\ sqrt {N_ {x} ^ {2} +N_ {y} ^ {2} N_ {z} ^ {2}}} =\ frac {-5} {\ sqrt {(8) ^ { 2} + (3) ^ {2} + (-5) ^ {2}}} =\ frac {-5} {\ sqrt {64+9+25}} =-0.5051
    \ end {alineado}\)

    Ejemplo 7

    Determinar el vector de posición para un avión pequeño en este momento se encuentra 2.5 km al este, 8.8 km al sur y 4.1 km por encima de su aeropuerto de origen. Utilice un sistema de coordenadas donde la dirección x corresponda al este, la dirección y al norte y la dirección z al cenit. Luego determinar los cosenos direccionales utilizados por el personal de control de tránsito aéreo para identificar la ubicación del avión.

    Solución

    En este sistema de coordenadas, con origen en el aeropuerto de origen, el vector de posición viene dado por\(\ \vec{r}=\langle 2.5,-8.8,4.1\rangle\) con unidades de kilómetros.

    \ (\\ comenzar {array} {l}
    \ cos\ alpha=\ frac {\ vec {r}\ veces\ sombrero {x}} {|\ vec {r} |} =\ frac {r_ {x}} {\ sqrt {r_ {x} ^ {2} +r_ {y} ^ {2} +r_ {z} ^ {2}}\\ cos
    \ alpha=\ frac {\ vec {r}\ veces\ sombrero {x}} {|\ vec {r} |} =\ frac {r_ {x}} {\ sqrt {r_ {x} ^ {2} +r_ {y} ^ {2} +r_ {z} ^ {2}}} =\ frac {2.5} {\ sqrt {(2.5) ^ {2} + (-8.8) ^ {2} + (4.1) ^ {2}}} =\ frac {2.5} {\ sqrt {100.5}} =0.249\
    \ cos\ beta=\ frac {\ vec {r}\ veces\ sombrero {y}} {|\ vec {r} |} =\ frac {r_ {y}} {\ sqrt {r_ {x} ^ {2} +r_ {y} ^ {2} +r_ {z} ^ {2}}}\
    \ cos\ beta=\ frac {\ vec {r}\ veces\ sombrero {y}} {|\ vec {r} |} =\ frac {r_ {y}} {\ sqrt {r_ {x} ^ {2} +r_ {y} ^ {2} +r_ {z} ^ {2}} =\ frac {-8.8} {\ sqrt {(2.5) ^ {2} + (-8.8) ^ {2} + (4. 1) ^ {2}}} =\ frac {-8.8} {\ sqrt {100.5}} =-0.878\\\ cos
    \ gamma=\ frac {\ vec {r}\ veces\ sombrero {z}} {|\ vec {r} |} =\ frac {r_z} {\ sqrt {r_ {x} ^ {2} +r_ {y} ^ {2} +r_ {z} ^ {2}}}\\ cos\ gamma=
    \ frac {\ vec {r}\ veces\ sombrero {z}} {|\ vec {r} |} =\ frac {r_z} {\ sqrt {r_ {x} ^ {2} +r_ {y} ^ {2} +r_ {z} ^ {2} +r_ {z} ^ {2}}}} =\ frac {4.1} {\ sqrt {(2.5) ^ {2} + (-8.8 ) ^ {2} + (4.1) ^ {2}}} =\ frac {4.1} {\ sqrt {100.5}} =0.409
    \ end {array}\)

    Ejemplo 8

    Utilice el método de cosenos de dirección para identificar el vector unitario que tiene la misma dirección que el vector de posición\(\ \vec{R}=\langle 791,978,1310\rangle\)

    Solución

    El vector unitario que tiene la misma dirección que este vector tiene los componentes\(\ \hat{u}=\langle\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma\rangle\) donde

    \ (\\ begin {array} {l}
    \ cos\ alpha=\ frac {\ vec {R}\ veces\ hat {x}} {|\ vec {R} |} =\ frac {R_ {x}} {\ sqrt {R_ {x} ^ {2} +R_ {y} ^ {2} +R_ {z} ^ {2}},\ cos\ beta=\ frac {\ vec {R}\ veces\ sombrero {y}} {|\ vec {R} |} =\ frac {R_ {y}} {\ sqrt {R_ {x} ^ {2} +R_ {y} ^ {2} +R_ {z} ^ {2}},\ text {y}\
    \ cos\ gamma=\ frac {\ vec {R}\ veces\ sombrero {z}} {|\ vec {R} |} =\ frac {R_ {z}} {\ sqrt {R_ {x} ^ {2} +R_ {y} ^ {2} +R_ {z} ^ {2}}}
    \ end {array}\)

    Una vez que encontramos los tres cosenos de dirección, tenemos los componentes del vector unitario,

    \ (\\ begin {array} {l}
    \ cos\ alpha=\ frac {\ vec {R}\ veces\ sombrero {x}} {|\ vec {R} |} =\ frac {791} {\ sqrt {791^ {2} +978^ {2} +1310^ {2}}} =\ frac {791} {\ sqrt {329826} =\ frac {791} {1816.11} =0.436\
    \ cos\ beta=\ frac {\ vec {R}\ veces\ sombrero {y}} {|\ vec {R} |} =\ frac {978} {\ sqrt {791^ {2} +978^ {2} +1310^ {2}} =\ frac {978}\ sqrt {3298265}} =\ frac {978} {1816.11} =0.539\\
    \ cos\ gamma=\ frac {\ vec {R}\ veces\ sombrero {z}} {|\ vec {R} |} =\ frac {1310} {\ sqrt {791^ {2} +978^ {2} +1310^ {2}} =\ frac {1310} {\ sqrt {3298265}} =\ frac {1310} {1816.11} =0.721\
    \ sombrero {u} =\ langle\ cos\ alfa,\ cos\ beta,\ cos\ gamma\ rangle=\ langle 0.436.0.539,0.721 \ rangle
    \ end {array}\)

    Ejemplo 9

    Determinar los ángulos de dirección entre el vector\(\ \vec{p}=\langle 25,8,15\rangle\) y los ejes de coordenadas.

    Solución

    \ (\\ comenzar {array} {l}
    \ cos\ alpha=\ frac {\ vec {P}\ veces\ sombrero {x}} {|\ vec {P} |} =\ frac {P_ {x}} {\ sqrt {P_ {x} ^ {2} +P_ {y} ^ {2} +P_ {z} ^ {2}}\
    \ cos\ alpha=\ frac {\ vec {P}\ veces\ sombrero {x}} {|\ vec {P} |} =\ frac {25} {\ sqrt {(25) ^ {2} + (8) ^ {2} + (15) ^ {2}}} =\ frac {25} {\ sqrt {914}} =\ frac {25} {23} =0.827\\
    \ alpha=\ cos ^ {-1} 0.827=34.2^ {\ circ}\
    \ cos\ beta=\ frac {\ vec {P}\ veces\ hat {y}} {|\ vec {P} |} =\ frac {P_ {y}} {\ sqrt {P_ {x} ^ {2} +P_ {y} ^ {2} +P_ {z} ^ {2}}}\
    \ cos\ beta=\ frac {\ vec {P}\ veces\ sombrero {y}} {|\ vec {P} |} =\ frac {8} {\ sqrt {(25) ^ {2} + (8) ^ {2} + (15) ^ {2}}} =\ frac {8} {\ sqrt {914}} =\ frac {8} {30.23} =0 .265\\
    \ beta=\ cos ^ {-1} 0.265=75.7^ {\ circ}\\
    \ cos\ gamma=\ frac {\ vec {P}\ veces\ sombrero {z}} {|\ vec {P} |} =\ frac {P_ {z}} {\ sqrt {P_ {x} ^ {2} +P_ {y} {2} +P_ {z} ^ {2}}}\
    \ cos\ gamma=\ frac {\ vec {P}\ veces\ sombrero {z}} {|\ vec {P} |} =\ frac {15} {\ sqrt {(25) ^ {2} + (8) ^ {2} + (15) ^ {2}} =\ frac {15} {\ sqrt { 914}} =\ frac {15} {30.23} =0.496\\
    \ gamma=\ cos ^ {-1} 0.496=60.25^ {\ circ}
    \ end {array}\)


    Revisar

    ¿Cuál es la dirección del vector en grados de los siguientes vectores bidimensionales, asumiendo que el eje x positivo es 0 o?

    1. ¿Cuál es la dirección de\(\ \langle-4,8\rangle\)
    2. ¿Cuál es la dirección de\(\ \langle-9,20\rangle\)
    3. ¿Cuál es la dirección de\(\ \langle 9,20\rangle\)
    4. ¿Cuál es la dirección de\(\ \langle 2,18\rangle\)
    5. ¿Cuál es la dirección de\(\ \langle 7,5\rangle\)
    6. ¿Cuál es la dirección de\(\ \langle 9,16\rangle\)

    Identificar los cosenos de dirección asociados con el vector dado.

    1. \(\ \vec{P}=\langle 42,6,9.5\rangle\)a) cos α = b) cos β = c) cos γ =
    2. \(\ \vec{P}=\langle 50,70,40.25\rangle\)a) cos α = b) cos β = c) cos γ =
    3. \(\ \vec{P}=\langle 75,30,102\rangle\)a) cos α = b) cos β = c) cos γ =
    4. \(\ \vec{P}=\langle 145,130,25.75\rangle\)a) cos α = b) cos β = c) cos γ =
    5. \(\ \vec{P}=\langle 220,300,175\rangle\)a) cos α = b) cos β = c) cos γ =

    Determinar los ángulos de dirección entre el vector dado y los ejes de coordenadas.

    1. \(\ \vec{P}=\langle 13,30,17\rangle\)
    2. \(\ \vec{P}=\langle 5,3,12\rangle\)
    3. \(\ \vec{P}=\langle 75,130,45\rangle\)
    4. \(\ \vec{P}=\langle 90,30,60\rangle\)
    5. \(\ \vec{P}=\langle 7,18,4\rangle\)

    Resolver los problemas de palabras según lo especificado.

    1. Determinar el vector de posición para una cometa en el momento en que esté 3.5 m al este, 10.8 m al sur y 30 m por encima del niño que la vuela. Utilice un sistema de coordenadas donde la dirección x corresponda al este, la dirección y al norte y la dirección z al cenit. Luego determinar los cosenos direccionales para identificar la ubicación de las cometas.
    2. Determinar el vector de posición para un gato atrapado en un árbol en el momento en que se encuentra 7 pies al este, 12.3 pies al sur y 25 pies por encima de la base del árbol. Utilice un sistema de coordenadas donde la dirección x corresponda al este, la dirección y al norte y la dirección z al cenit. Luego determinar los cosenos direccionales para identificar la ubicación de los gatos.

    Reseña (Respuestas)

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    El vocabulario

    Término Definición
    cosenos angulares La notación angular o cosenos angulares describen un vector como resultado de magnitudes individuales y direcciones medidas desde los ejes, comenzando por el origen.
    notación de ángulo La notación angular o cosenos angulares describen un vector como resultado de magnitudes individuales y direcciones medidas desde los ejes, comenzando por el origen.
    Notación de componentes La notación de componentes se utiliza para describir vectores algebraicamente en términos de sus componentes x, y y, si es relevante, z.
    ángulos de dirección Los ángulos de dirección (también conocidos como cosenos de dirección) describen un vector como resultado de magnitudes individuales y direcciones medidas desde los ejes, comenzando por el origen.
    cosenos de dirección Los cosenos de dirección (también conocidos como ángulos de dirección) describen un vector como resultado de magnitudes individuales y direcciones medidas desde los ejes, comenzando por el origen.
    producto punto El producto punto también se conoce como producto interno o producto escalar. Las dos formas del producto punto son\(\ \vec{a} \cdot \vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\| \cos \theta \text { and } \vec{a} \cdot \vec{b}=x_{a} x_{b}+y_{a} y_{b}\).
    vector de posición Un vector de posición describe el recorrido en línea recta entre un punto de partida (generalmente el origen) y la ubicación de un segundo punto en un plano de coordenadas.
    vector de unidad Un vector unitario es un vector con una magnitud de uno.

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