7.1.3: Notación de suma y propiedades de Sigma

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Notación de suma y propiedades de Sigma

Sayber y Toscana venden paletas de hielo durante el verano por dinero de bolsillo. Un fin de semana en particular, compraron un paquete de 30 paletas en la tienda.

Por lo general, solo ofrecen las paletas de forma gratuita, 1 por cliente, y aceptan propinas. Esta vez, la Toscana se pregunta si ganarían más dinero cobrando $0.50 por paleta. Al mismo tiempo, Sayber se pregunta si podría aumentar sus propinas alentando a los clientes a “superarse” entre sí. Los dos niños deciden tomar cada uno 15 paletas y ver quién saca más provecho.

¿Cómo podrías calcular cuánto dinero gana cada uno de ellos, asumiendo que Sayber obtiene una propina de $0.10 del primer cliente, y es capaz de convencer a cada cliente sucesivo de duplicar la propina de la persona anterior?

Notación de suma y propiedades de Sigma

Considere por ejemplo una secuencia definida por un _n = 3 n. Si escribimos la suma de los primeros 4 términos, tenemos 3 + 6 + 9 + 12 = 30. Pero, ¿y si queremos escribir términos para una suma mayor?

La notación de suma es un método para escribir sumas de forma sucinta. Para escribir la suma 3 + 6 + 9 + 12 = 30, utilizamos la letra griega Sigma, de la siguiente manera:

$\ \sum_{n=1}^{4} 3 n$

La expresión 3 n se denomina suma, la 1 y la 4 se denominan los límites de la suma, y la n se denomina índice de la suma. Aquí hemos utilizado una “sigma” para escribir una suma. También podemos leer una sigma, y determinar la suma. Por ejemplo, podemos leer la notación sigma anterior como “encontrar la suma de los primeros cuatro términos de la serie, donde el término n ^º es 3 n”. Siempre leemos los límites de abajo hacia arriba. El número inferior te indica con qué término comenzar, y el límite superior te indica qué término es el término final para agregar. Entonces podríamos escribir el sigma anterior como:

$\ \sum_{n=1}^{4} 3 n$	$\ = 3(1) + 3(2) + 3(3) + 3(4)$
	= 3 + 6 + 9 + 12 = 30

En general, podemos reescribir una serie dada en notación sigma, o podemos leer notación sigma para encontrar el valor de la suma.

Inmuebles de Sigma

Observe que podemos escribir la suma 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 19 + 20 como 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10). Por lo tanto$\ \sum_{n=1}^{10} 2 n=2 \sum_{n=1}^{10} n$. En general, podemos factorizar un coeficiente de una suma:

$\ \sum_{n=1}^{k} c a_{n}$	$\ =c \sum_{n=1}^{k} a_{n}$

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que expresara los ingresos de Sayber y Toscana, quienes están vendiendo paletas heladas.

Solución

Los ingresos de la Toscana se pueden expresar como:$\ \sum_{n=1}^{10} .5 \rightarrow .5 \cdot 10=\$ 5.00$

Los ingresos de Sayber se pueden expresar como:

$\ \sum_{n=1}^{10} \cdot 10 \cdot 2^{n} \rightarrow .10\left(2^{0}\right)+.10\left(2^{1}\right)+.10\left(2^{2}\right) \ldots+.10\left(2^{10}\right) \rightarrow \$ 102.30$

¡Sayber debe ser un gran vendedor para conseguir ese último consejo!

Ejemplo 2

Escribe la suma usando notación sigma: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 19 + 20.

Solución

$\ \sum_{n=1}^{10} 2 n$

Cada término es un múltiplo de 2. El primer término es 2 × 1, el segundo término es 2 × 2, y así sucesivamente. Entonces el summand de la sigma es 2 n. Hay 10 términos en la suma. Por lo tanto, los límites de la suma son 1 y 10.

Ejemplo 3

Escriba los términos de$\ \sum_{n=2}^{5}(n+7)$ y evalúe la suma.

Solución

Romper la suma en dos sumas diferentes. La suma es 37.

$\ \sum_{n=2}^{5}(n+7)$	= (2 + 7) + (3 + 7) + (4 + 7) + (5 + 7)
	=2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 7 + 7 + 7
	=2 + 3 + 4 + 5 + 7 × 4 = 14 + 28 = 42

Aviso que podríamos haber escrito$\ \sum_{n=2}^{5}(n+7)$ como$\ \sum_{n=2}^{5} n+\sum_{n=2}^{5} 7$. Además, la segunda suma no depende del índice de la suma (es decir, se mantiene en 7 independientemente del índice), solo que hay 4 términos para sumar. Ver esto puede hacer que una suma sea más fácil de evaluar.

Ejemplo 4

Escriba los términos de$\ \sum_{n=0}^{4} 32\left(\frac{1}{4}\right)^{n}$ y evalúe la suma.

Solución

En general, podemos escribir una suma como suma de sumas:$\ \sum_{n=1}^{n}\left(a_{n}+b_{n}\right)=\sum_{n=1}^{n}\left(a_{n}\right)+\sum_{n=1}^{n}\left(b_{n}\right)$.

La suma es$\ 42 \frac{5}{8}$.

$\ \sum_{i=0}^{4} 32\left(\frac{1}{4}\right)^{n}$	$\ =32\left(\frac{1}{4}\right)^{0}+32\left(\frac{1}{4}\right)^{1}+32\left(\frac{1}{4}\right)^{2}+32\left(\frac{1}{4}\right)^{3}+32\left(\frac{1}{4}\right)^{4}$
	$\ =32 \cdot 1+32 \cdot \frac{1}{4}+32 \cdot \frac{1}{16}+32 \cdot \frac{1}{64}+32 \cdot \frac{1}{256}$
	$\ =32+8+2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=42 \frac{5}{8}$

Ejemplo 5

Escribe la suma usando notación sigma: 2 + 6 + 18 + 54.

Solución

$\ \therefore \sum_{n=1}^{4} 2\left(3^{n-1}\right)$o$\ \sum_{n=0}^{3} 2\left(3^{n}\right)$

Ejemplo 6

Encuentra la serie de números y el total de esos números de la serie aritmética representada por la siguiente notación sigma:$\ \sum_{n=8}^{14} 3+\frac{3}{4}(n-1)$.

Solución

Para encontrar la serie de números, conectamos todos los números entre 8 y 14 para (n):

\ (\\ begin {array} {l}
3+\ frac {3} {4} ((8) -1) =\ frac {33} {4}\\
3+\ frac {3} {4} ((9) -1) =9
\ end {array}\)

Seguiríamos haciendo esto a través del número 14. Esto nos deja con las siguientes series:

$\ \frac{33}{4}+9+\frac{39}{4}+\frac{21}{2}+\frac{45}{4}+12+\frac{51}{4}$.

Esto está bien, si solo estamos buscando los números individuales en la secuencia, sin embargo cuando se nos pide evaluar las sumas se nos está pidiendo que sumemos todos los números de la serie juntos. Tomó bastante tiempo para encontrar cada número, y ahora debemos sumarlos todos juntos. Afortunadamente hay una fórmula, no sólo eliminando nuestra necesidad de encontrar cada número, sino que nos permite sumarlos también todos juntos y llegar a nuestra respuesta o suma.

La fórmula es$\ \frac{k}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)$ obras así:

Nos enchufamos$\ n = 8$ para obtener$\ a_{8}=\frac{33}{4}$

Entonces enchufamos n = 14, para obtener$\ a_{14}=\frac{51}{4}$.

Identifica el número de términos$\ (k)=14−8+1$ para que lo usemos$\ k=7$ en la fórmula a continuación.

Ahora podemos usar la fórmula:$\ \frac{k}{2}\left(a_{8}+a_{14}\right)$ y obtenemos:$\ \frac{7}{2}\left(\frac{33}{4}+\frac{51}{4}\right)=\frac{147}{2}$

Ejemplo 7

Encuentra la suma de todos los números en la secuencia aritmética$\ \sum_{n=8}^{28} 9-2(n-1)$.

Solución

Usa la fórmula$\ \frac{k}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)$:

$\ n = 8$Sustituto para obtener$\ a_{8}=-5$

$\ n = 28$Sustituto para obtener$\ a_{2} 8=-45$

Identifica el número de términos como:$\ k=28-8+1$ así que usamos$\ k=21$ en nuestra fórmula a continuación:

Ahora podemos usar la fórmula:$\ \frac{k}{2}\left(a_{8}+a_{14}\right)$ y nuestra respuesta es −525.

Ejemplo 8

Encuentra la serie de números y el total de esos números de la serie geométrica representada por la notación sigma$\ \sum_{n=1}^{8} 7\left(\frac{-1}{2}\right)^{n-1}$.

Solución

Para identificar y sumar los términos en las series geométricas$\ \sum_{n=1}^{8} 7\left(\frac{-1}{2}\right)^{n-1}$:

Encuentra la secuencia de números de la misma manera que lo hicimos en el Ejemplo 6, enchufando los números indicados 1-8 para (n)

$\ \sum_{n=1}^{8} 7\left(\frac{-1}{2}\right)^{((1)-1)}$lo que nos da: 7

Hacemos esto para los números restantes y nuestra secuencia se ve así:

$\ 7+\frac{-7}{2}+\frac{7}{4}+\frac{-7}{8}+\frac{7}{16}+\frac{-7}{32}+\frac{7}{64}+\frac{-7}{128}$

Al igual que en ejemplos anteriores, no sólo se nos pide que encontremos los números, sino que los sumemos todos juntos. Nuevamente, no queremos tener que tomarnos el tiempo para encontrar todos los números y sumarlos todos juntos. Una vez más nos encontramos con suerte, ¡hay una fórmula!

La fórmula$\ a_{1}\left(\frac{1-r^{k}}{1-r}\right)$ funciona así:

Conectamos n=1 en$\ a_{1}$ lo que nos da 7.

$\ k=8$, y$\ r=\frac{-1}{2}$

Sustituyendo nuestros resultados de números:$\ 7\left(\frac{1-\frac{-1}{2}^{8}}{1-\frac{-1}{2}}\right)$

Lo que nos da$\ \frac{595}{128}$.

Ejemplo 9

Encuentra la suma de los términos en:$\ \sum_{n=1}^{11} 9(4)^{n-1}$.

Solución

Volvamos a usar la fórmula para series geométricas:

Identificar los términos:$\ a_{1}=9$,$\ k=11$ y$\ r=4$

Sustituyendo en nuestra fórmula, tenemos:$\ 9\left(\frac{1-4^{11}}{1-4}\right)=12,582,909$

Revisar

Exprese la suma usando notación sigma:

$\ 1+3+5+7+9$
$\ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{10}$

Encuentra la serie de números indicados por la notación sigma:

$\ \sum_{n=0}^{14}-2-\frac{10}{3}(n-1)$
$\ \sum_{n=-8}^{14}-7-3(n-1)$

Evaluar:

$\ \sum_{n=-10}^{5} 7-\frac{4}{3}(n-1)$
$\ \sum_{n=-3}^{3} 3-\frac{1}{3}(n-1)$
$\ \sum_{n=-5}^{1}-6+\frac{4}{3}(n-1)$

Encuentra la serie de números indicados por la notación sigma:

$\ \sum_{n=1}^{2} 3\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$
$\ \sum_{n=1}^{5} 5\left(-\frac{4}{3}\right)^{n-1}$

Evaluar:

$\ \sum_{n=1}^{6} 3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$
$\ \sum_{n=1}^{7}-5\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$
$\ \sum_{n=1}^{11}-7\left(-\frac{4}{3}\right)^{n-1}$
$\ \sum_{n=1}^{6}-7\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$
$\ \sum_{n=1}^{3} 2\left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1}$

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 7.3.

El vocabulario

Término	Definición
σ	σ (sigma) es la letra griega que significa “la suma de” cuando se usa en matemáticas.
series aritméticas	Una serie aritmética es la suma de una secuencia aritmética, una secuencia con una diferencia común entre cada dos términos consecutivos.
serie geométrica	Una serie geométrica es una secuencia geométrica escrita como una suma de términos no calculada.
índice	El índice de una suma es la variable en la suma.
límites	Los límites de una suma se escriben por encima y por debajo de la σ, y describen el dominio que se utilizará en el cálculo de la serie.
secuencia	Una secuencia es una lista ordenada de números u objetos.
serie	Una serie es la suma de los términos de una secuencia.
Sigma	σ, pronunciado syg-mah, es la letra griega que en matemáticas significa “la suma de”.
notación sigma	La notación sigma también se conoce como notación de suma y es una forma de representar una suma de números. Es especialmente útil cuando los números tienen un patrón específico o tardarían demasiado en escribirse sin abreviar.
summand	Un summand es una expresión que se suma. Sigue directamente el símbolo sigma.
suma	La notación sigma también se conoce como notación de suma y es una forma de representar una suma de números. Es especialmente útil cuando los números tienen un patrón específico o tardarían demasiado en escribirse sin abreviar.

\(\ \sum_{i=0}^{4} 32\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\)	\(\ =32\left(\frac{1}{4}\right)^{0}+32\left(\frac{1}{4}\right)^{1}+32\left(\frac{1}{4}\right)^{2}+32\left(\frac{1}{4}\right)^{3}+32\left(\frac{1}{4}\right)^{4}\)
	\(\ =32 \cdot 1+32 \cdot \frac{1}{4}+32 \cdot \frac{1}{16}+32 \cdot \frac{1}{64}+32 \cdot \frac{1}{256}\)
	\(\ =32+8+2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=42 \frac{5}{8}\)

\(\ \sum_{n=2}^{5}(n+7)\)	= (2 + 7) + (3 + 7) + (4 + 7) + (5 + 7)
	=2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 7 + 7 + 7
	=2 + 3 + 4 + 5 + 7 × 4 = 14 + 28 = 42