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# 7.2.2: Sumas en Serie y Fórmula de Gauss

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## Series Sumas y Fórmula de Gauss

EyesCreem Ltd está teniendo una venta especial en sus conos de helado. Para que la mayor cantidad de personas en la tienda prueben sus nuevos sabores, han decidido ejecutar la siguiente promoción:

El primer cliente en comprar un helado pagará $6 por un cono grande con caramelo de chocolate. El segundo cliente pagará sólo$5.90.

El tercer cliente sólo pagará $5.80. A cada amante de los helados sucesivos se le cobrará$0.10 menos que el anterior, ¡hasta que todos los que entren obtengan un cono gratis!

¿Cuánto dinero traerá la tienda durante la venta, suponiendo que al menos a algunos clientes se les den conos gratis?

## Series Sumas y Fórmula de Gauss

### Fórmula de Gauss

Al matemático alemán C.F. Gauss a menudo se le atribuye el descubrimiento de una fórmula para calcular la suma de una serie cuando era un niño pequeño. La historia es probablemente apócrifa (una leyenda), pero se ha transmitido desde que Gauss vivió en el 1700. Según la historia, el maestro de Gauss quería ocupar a los alumnos haciéndoles sumar grandes conjuntos de números. Cuando se le pidió a Gauss que sumara los primeros 100 enteros, encontró la suma muy rápidamente, emparejando los números:

Todos los números en la suma podrían emparejarse para hacer grupos de 101. Se están sumando cien números, por lo que hay cincuenta pares. Por lo tanto, la suma es 50 (101) = 5050.

El método utilizado por Gauss para resolver este problema es la base de una fórmula que nos permite sumar los primeros n enteros positivos:

$$\ \sum=\frac{(n)(n+1)}{2}$$

### Uso de una calculadora gráfica

Para generar una secuencia o una serie, puede usar una calculadora gráfica. La serie TI-83/84 te ofrece varias opciones. Se puede, por ejemplo, trabajar en modo secuencia, lo que permite definir una secuencia y encontrar términos. Si tienes una fórmula explícita para una secuencia, puedes mantener tu calculadora en modo de función. Por ejemplo, considere la suma$$\ \sum_{n=1}^{9} n^{2}$$. Llevaría mucho tiempo escribir los primeros 9 cuadrados. La calculadora es más rápida. Para generar los 9 términos, presione <TI font_2nd>[LISTA], luego seleccione OPS, luego la opción 5, seq (. Esto te lleva de vuelta a la pantalla principal. Deberías ver seq (. Después de esto, ingrese x ^2, x, 1, 9, 1). (La x le dice a la calculadora que x es la entrada. El 1 y el 9 le dicen los límites de la suma. El segundo 1 le dice a la calculadora que suba en incrementos de 1.)

Pulsa<TI font_ENTER>, y deberías ver la lista de cuadrados. Desplázate hacia la derecha para verlas todas. El desplazamiento terminará cuando llegues a 81.

Si desea encontrar la suma de los términos, primero almacene la secuencia en una lista (vea la pantalla a continuación), luego <TI font_2nd>[LISTA], luego seleccione MATH, luego la opción 5, sum (. Después ingresa el nombre de la lista y presiona <TI font_) ><TI font_ENTER>. Deberías obtener 285.

## Ejemplos

###### Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que encontrara cuánto dinero traería la tienda durante su promoción de helados.

Solución

La fórmula de suma de serie$$\ \sum=\frac{(n)(n+1)}{2}$$ está diseñada para enteros, así que usémosla para resolver el número de diez centavos ingresados (ya que esa es la unidad en la que se reduce cada término) y luego convertirla a dólares:

\ (\\ begin {array} {l}
\ sum=\ frac {(60) (61)} {2}\
\ suma=\ frac {3.660} {2}\
\ suma=1830.00\ fila derecha\ \$183.00
\ end {array}\)

La tienda traerá 183.00 dólares, lo que probablemente no cubrirá los costos del día. Sin embargo, ¡sin duda conseguirán que mucha gente atraviese la puerta para probar el helado!

###### Ejemplo 2

Expande la sigma y encuentra la suma:$$\ \sum_{n=1}^{7}(2 n-3)$$.

Solución

$$\ \sum_{n=1}^{7}(2 n-3)$$ = (2×1−3) + (2×2−3) + (2×3−3) + (2×4−3) + (2×5−3) + (2×6−3) + (2×7−3)
= (−1) + (1) + (3) + (5) + (7) + (9) + (11)
= 35
###### Ejemplo 3

Expande la sigma y encuentra la suma agregando los términos:$$\ \sum_{n=3}^{6}\left(n^{2}-5\right)$$.

Solución

¿Por qué no se recomienda la fórmula de Gauss para esta pregunta?

$$\ \sum_{n=3}^{6}\left(n^{2}-5\right)$$ $$\ =\left(3^{2}-5\right)+\left(4^{2}-5\right)+\left(5^{2}-5\right)+\left(6^{2}-5\right)$$
= (4) + (11) + (20) + (31)
= 66

En realidad hay un par de razones para no usar la fórmula de Gauss aquí, pero la mayor es que la fórmula asume que estás agregando todos los enteros desde 0 hasta el último número de la serie. En la pregunta, se le pide que sólo sume del 3er al 6to término.

###### Ejemplo 4

Si la suma de los primeros n enteros es 210, ¿qué es n?

Solución

Usando la fórmula de Gauss:

\ (\\ begin {array} {l}
\ sum=\ frac {(n) (n+1)} {2}\\
210=\ frac {(n) (n+1)} {2}
\ end {array}\)

Multiplica ambos lados por 2:$$\ 420=(n)(n+1)$$

Distribuir:$$\ 420=\left(n^{2}+n\right)$$

Completa el cuadrado:$$\ 420=\left(n^{2}+n+1 / 4\right)$$

Factor:$$\ 420=(n+1 / 2)^{2}$$

Raíz cuadrada en ambos lados:$$\ 201 / 2=n+1 / 2$$

$$\ n=20$$

###### Ejemplo 5

Exprese la suma usando notación sigma: 1 + 3 + 9 + 27 +...

Solución

$$\ \sum_{n=1}^{\infty} 3^{n-1} \text { or } \sum_{n=0}^{\infty} 3^{n}$$

###### Ejemplo 6

Encuentra la suma de$$\ \sum_{n=0}^{12} \frac{-11}{3}(n-1)$$.

Solución

Veamos ambas formas de resolver esta:

1. Podríamos enchufar todos los números entre 0 y 12 para obtener:$$\ \sum_{n=0}^{12} \frac{-11}{3}(n-1)$$ y luego sumarlos juntos para obtener la suma.
2. Usando una fórmula: Una versión ligeramente modificada de la fórmula de Gauss se ve así:$$\ S_{n}=\frac{k}{2}\left(a_{0}+a_{n}\right)$$, donde k es el número de términos en la serie más uno, y un 0 y un n son los primeros y últimos términos de la serie

\ izquierda (\ frac {13} {2}\ derecha)\ izquierda (\ izquierda (\ frac {-11} {3}\ derecha) (-1) +\ izquierda (\ frac {-11} {3}\ derecha) (11)\ derecha) &=\ izquierda (\ frac {13} {2}\ derecha)\ izquierda (\ frac {11} {3} +\ frac {-121} {3}\ derecha)\\
&=\ izquierda (\ frac {13} {2}\ derecha)\ izquierda (\ frac {-110} {3}\ derecha)\\
&=\ frac { -1430} {6}\\
&=\ frac {-715} {3}\ fila derecha-238\ frac {1} {3}

###### Ejemplo 7

Usa la fórmula de Gauss para encontrar la suma de los primeros 200 enteros positivos.

Solución

La fórmula de Gauss:

\ (\\ begin {array} {l}
=\ frac {(n) (n+1)} {2}\\
n=200\\
=\ frac {(200) (200+1)} {2}\\
\ text {Suma} =20.100
\ end {array}\)

## Revisar

Calcule las sumas de la serie dada, puede usar la adición de términos individuales, o una fórmula de suma de serie. Puedes usar una herramienta gráfica para cualquiera de 3 de ellos. Intenta usar cada método al menos una vez.

1. $$\ \sum_{n=0}^{16}-10+3(n-1)$$
2. $$\ 64+72+80+\ldots+200$$
3. $$\ \frac{-15}{4}-4-\frac{17}{4}+\ldots \frac{17}{2}$$
4. $$\ \sum_{n=0}^{6} 6-\frac{1}{2}(n-1)$$
5. $$\ \frac{-71}{3}-\frac{67}{3}-21+\ldots+\frac{37}{3}$$
6. $$\ 2+4+6+\ldots 26$$
7. $$\ -2-1+0+\ldots+12$$
8. $$\ -\frac{21}{4}-\frac{13}{2}-\frac{31}{4}+\ldots-\frac{71}{4}$$
9. $$\ -\frac{7}{2}-8-\frac{25}{2}+\ldots-\frac{43}{2}$$
10. $$\ \sum_{n=7}^{20}-1+(n-1)$$
11. $$\ \sum_{n=-6}^{22} 5+3(n-1)$$
12. $$\ \sum_{n=-2}^{13}-5-\frac{3}{2}(n-1)$$

Considera las sumas$$\ \sum_{n=1}^{5}(n+1)$$ y$$\ \sum_{n=1}^{5}(n-4)$$

1. ¿Cuál es el producto de$$\ \left(\sum_{n=1}^{5}(n+1)\right)\left(\sum_{n=1}^{5}(n-4)\right)$$
2. ¿Cuál es la suma de$$\ \sum_{n=1}^{5}(n+1)(n-4)$$?
3. Mira más de cerca los dos últimos problemas, ¿qué te dice esto sobre las reglas para trabajar con sumas?

## Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 7.4.

## El vocabulario

Término Definición
σ σ (sigma) es la letra griega que significa “la suma de” cuando se usa en matemáticas.
convergen Si una serie tiene un límite, y el límite existe, la serie converge.
convergente Si una serie tiene un límite, y el límite existe, la serie es convergente.
divergente Si una serie no tiene límite, o el límite es infinito, entonces la serie es divergente.
diverge Si una serie no tiene límite, o el límite es infinito, entonces la serie diverge.
índice El índice de una suma es la variable en la suma.
límites Los límites de una suma se escriben por encima y por debajo de la σ, y describen el dominio que se utilizará en el cálculo de la serie.
serie Una serie es la suma de los términos de una secuencia.
Sigma σ, pronunciado syg-mah, es la letra griega que en matemáticas significa “la suma de”.
summand Un summand es una expresión que se está sumando. Sigue directamente el símbolo sigma.

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