7.4.1: Sumas de series geométricas finitas

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Encontrar la suma de una serie geométrica finita

Estás ahorrando para el campamento de verano. Depositas $100 el primero de cada mes en tu cuenta de ahorros. La cuenta crece a una tasa de 0.5% mensual. ¿Cuánto dinero hay en tu cuenta el primer día del ^mes 9?

Suma de series geométricas finitas

Hemos discutido cómo usar la calculadora para encontrar la suma de cualquier serie siempre que sepamos la regla n ^º término. Para una serie geométrica, sin embargo, existe una regla específica que se puede utilizar para encontrar la suma algebraicamente. Veamos una secuencia geométrica finita y derivemos esta regla.

Dado$\ a_{n}=a_{1} r^{n-1}$.

La suma de los primeros$\ n$ términos de una secuencia geométrica es:

$\ S_{n}=a_{1}+a_{1} r+a_{1} r^{2}+a_{1} r^{3}+\ldots+a_{1} r^{n-2}+a_{1} r^{n-1}$.

Ahora, factor hacia fuera$\ a_{1}$ para obtener$\ a_{1}\left(1+r^{2}+r^{3}+\ldots+r^{n-2}+r^{n-1}\right)$. Si aislamos lo que está entre paréntesis y multiplicamos esta suma por$\ (1-r)$ como se muestra a continuación podemos simplificar la suma:

\ (\\ begin {array} {l}
(1-r) S_ {n} =( 1-r)\ left (1+r+r^ {2} +r^ {3} +\ ldots+r^ {n-2} +r^ {n-1}\ derecha)\\
=\ izquierda (1+r+r^ {2} +r^ {3} +\ n-ldots+r^ {2} +r^ {n-1} -r-r^ {2} -r^ {3} -r^ {4} -\ lpuntos-r^ {n-1} -r^ {n}\ derecha)\\
=\ izquierda (1+r+r^ {2} +r^ {3} +\ ldots+r^ {n-2} +r^ {n-1} -r-r^ {2} -r^ {3} -r^ {4} -\ lpuntos-r^ {n-1 } -r^ {n}\ derecha)\\
=( 1-r) ^ {n}
\ final {matriz}\)

Al multiplicar la suma por$\ 1−r$ pudimos cancelar todos los términos intermedios. No obstante, hemos cambiado la suma por un factor de$\ 1−r$, así que lo que realmente tenemos que hacer es multiplicar nuestra suma por$\ \frac{1-r}{1-r}$, o 1.

$\ a_{1}\left(1+r^{2}+r^{3}+\ldots+r^{n-2}+r^{n-1}\right) \frac{1-r}{1-r}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$, que es la suma de una serie geométrica finita.

Entonces,$\ S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$.

Encontremos la suma de los primeros diez términos de la secuencia geométrica$\ a_{n}=\frac{1}{32}(-2)^{n-1}$. Esto también podría escribirse como, “Vamos a encontrar”$\ \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{32}(-2)^{n-1}$.

Usando la fórmula,$\ a_{1}=\frac{1}{32}$,$\ r=-2$, y$\ n=10$.

$\ S_{10}=\frac{\frac{1}{32}\left(1-(-2)^{10}\right)}{1-(-2)}=\frac{\frac{1}{32}(1-1024)}{3}=-\frac{341}{32}$

También podemos usar la calculadora como se muestra a continuación.

$\ \operatorname{sum}\left(\operatorname{seq}\left(1 / 32(-2)^{x-1}, x, 1,10\right)\right)=-\frac{341}{32}$

Ahora, encontremos el primer término y la regla de$\ n^{t h}$ término para una serie geométrica en la que la suma de los primeros 5 términos es 242 y la proporción común es 3.

Enchufa lo que conocemos a la fórmula para la suma y resuelve para el primer término:

\ (\\ comenzar {alineado}
242 &=\ frac {a_ {1}\ izquierda (1-3^ {5}\ derecha)} {1-3}\\
242 &=\ frac {a_ {1} (-242)} {-2}\\
242 &=121 a_ {1}\\
a_ {1} &=2
\ end {alineado}\)

El primer término es$\ 2$ y$\ a_{n}=2(3)^{n-1}$.

Por último, resolvamos el siguiente problema.

Charlie deposita $1000 el primero de cada año en su cuenta de inversión. La cuenta crece a una tasa de 8% anual. Cuánto dinero hay en la cuenta el primer día del ^undécimo año.

Primero, considere lo que está sucediendo aquí el primer día de cada año. El primer día del primer año, se depositan $1000. Al primer día del segundo año se depositan $1000 y los previamente depositados $1000 ganan 8% de interés o crecen por un factor de 1.08 (108%). El primer día del tercer año se depositan otros $1000, el depósito del año anterior gana 8% de interés y el depósito original gana 8% de interés por dos años (multiplicamos por 1.08 ²):

Suma Año 1:1000

Suma Año 2:1000 + 1000 (1.08)

Suma Año 3:1000 + 1000 (1.08) + 1000 (1.08) ²

Suma Año 4:1000 + 1000 (1.08) + 1000 (1.08) ² + 1000 (1.08) ³

$\ \quad\quad\quad\quad$solvente-2

Suma Año 11:1000 + 1000 (1.08) + 1000 (1.08) ² + 1000 (1.08) ³ +... + 1000 (1.08) ⁹ + 1000 (1.08) ¹⁰

∗ Hay 11 términos en esta serie porque el primer día del ^undécimo año hacemos nuestro depósito final y el depósito original gana intereses por 10 años.

Esta serie es geométrica. El primer término es 1000, la relación común es 1.08 y$\ n=11$. Ahora podemos calcular la suma usando la fórmula y determinar el valor de la cuenta de inversión al inicio del ^11º año.

$\ s_{11}=\frac{1000\left(1-1.08^{11}\right)}{1-1.08}=16645.48746 \approx \$ 16,645.49$

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que encontrara cuánto dinero hay en su cuenta el primer día del ^noveno mes.

Solución

Hay 9 términos en esta serie porque el primer día del ^noveno mes haces tu depósito final y el depósito original gana intereses por 8 meses.

Esta serie es geométrica. El primer término es 100, la relación común es 1.005 y n=9. Ahora podemos calcular la suma usando la fórmula y determinar el valor de la cuenta de inversión al inicio del ^mes 9.

$\ s_{9}=\frac{100\left(1-1.005^{9}\right)}{1-1.005}=918.22$

Por lo tanto, hay $918.22 en la cuenta al inicio del noveno mes.

Ejemplo 2

Evaluar$\ \sum_{n=3}^{8} 2(-3)^{n-1}$

Solución

Ya que se nos pide encontrar la suma de los$\ 8^{t h}$ términos$\ 3^{r d}$ a través, consideraremos$\ a_{3}$ como el primer término. El tercer término es$\ a_{3}=2(-3)^{2}=2(9)=18$. Ya que estamos iniciando con el término tres, estaremos sumando 6 términos,$\ a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}$, en total. Podemos usar la regla para la suma de una serie geométrica ahora con$\ a_{1}=18$,$\ r=-3$ y$\ n=6$ para encontrar la suma:

$\ \sum_{n=3}^{8} 2(-3)^{n-1}=\frac{18\left(1-(-3)^{6}\right)}{1-(-3)}=-3276$

Ejemplo 3

Si la suma de los primeros siete términos en una serie geométrica es$\ \frac{215}{8}$ y$\ r=-\frac{1}{2}$, encuentra el primer término y la regla de$\ n^{t h}$ término.

Solución

Podemos sustituir lo que conocemos en la fórmula por la suma de una serie geométrica y resolver por$\ a_{1}$.

\ (\\ comenzar {alineado} (l)
\ frac {215} {8} &=\ frac {a_ {1}\ izquierda (1-\ izquierda (-\ frac {1} {2}\ derecha) ^ {7}\ derecha)} {1-\ izquierda (-\ frac {1} {2}\ derecha)}\
\ frac {215} {8} &a=_ {1}\ izquierda (\ frac {43} {64}\ derecha)\\
a_ {1} &=\ izquierda (\ frac {64} {43}\ derecha)\ izquierda (\ frac {215} {8}\ derecha) =40
\ end {alineado}\)

El$\ n^{t h}$ término regla es$\ a_{n}=40\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

Ejemplo 4

Sam deposita $50 el primero de cada mes en una cuenta que gana 0.5% de interés cada mes. Al dólar más cercano, cuánto hay en la cuenta justo después de que Sam haga su último depósito el primer día del quinto año (el mes ⁴⁹).

Solución

Los depósitos que realiza Sam y los intereses devengados por cada depósito generan una serie geométrica,

\ (\\ begin {alineado}
S_ {49} =50+50 (1.005) ^ {1} +50 (1.005) ^ {2} +50 (1.005) ^ {3} +\ ldots+50 (1.005) ^ {47} +50 (1.005) ^ {48},\\\ quad\ uparrow
\ quad\ quad\ quad\ quad\ quad\ quad\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ uparrow\\
\ texto {último depósito}\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ cuádruple\ texto {primer depósito}
\ final {alineado}\)

Tenga en cuenta que el primer depósito gana intereses por 48 meses y el depósito final no gana ningún interés. Ahora podemos encontrar la suma usando$\ a_{1}=50$,$\ r=1.005$ y$\ n=49$.

$\ S_{49}=\frac{50\left(1-(1.005)^{49}\right)}{(1-1.005)} \approx \$ 2768$

Revisar

Usa la fórmula para la suma de una serie geométrica para encontrar la suma de los primeros cinco términos de cada serie.

$\ a_{n}=36\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$
$\ a_{n}=9(-2)^{n-1}$
$\ a_{n}=5(-1)^{n-1}$
$\ a_{n}=\frac{8}{25}\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1}$
$\ a_{n}=\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1}$

Encuentra las sumas indicadas usando la fórmula y luego revisa tus respuestas con la calculadora.

$\ \sum_{n=1}^{4}(-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$
$\ \sum_{n=2}^{8}(128)\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$
$\ \sum_{n=2}^{7} \frac{125}{64}\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}$
$\ \sum_{n=5}^{11} \frac{1}{32}(-2)^{n-1}$

Dada la suma y la proporción común, encuentra el$\ n^{t h}$ término regla para la serie.

$\ \sum_{n=1}^{6} a_{n}=-63$y$\ r=-2$
$\ \sum_{n=1}^{4} a_{n}=671$y$\ r=\frac{5}{6}$
$\ \sum_{n=1}^{5} a_{n}=122$y$\ r=-3$
$\ \sum_{n=2}^{7} a_{n}=-\frac{63}{2}$y$\ r=-\frac{1}{2}$

Resuelve los siguientes problemas verbales usando la fórmula para la suma de una serie geométrica.

Los abuelos de Sapna depositan 1200 dólares en una cuenta de ahorros universitarios en su ^quinto cumpleaños. Siguen haciendo este depósito de cumpleaños cada año hasta hacer el depósito final en su 18 ^cumpleaños. Si la cuenta gana 5% de interés anual, ¿cuánto hay después del depósito final?
Jeremy quiere haber ahorrado 10.000 dólares en cinco años. Si realiza depósitos anuales el primero de cada año y la cuenta gana 4.5% de interés anual, cuánto debe depositar cada año para tener $10,000 en la cuenta después del depósito final el primero del ^sexto año. Redondee su respuesta a los $100 más cercanos.

Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 11.10.

El vocabulario

Término	Definición
inducción	La inducción es un método de prueba matemática que se usa típicamente para establecer que una declaración dada es verdadera para todos los enteros positivos.
serie	Una serie es la suma de los términos de una secuencia.

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Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4