7.7.1: Encontrar el término n dado el cociente común y el primer término

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Secuencias geométricas y búsqueda del enésimo término dada la relación común y el primer término

La siguiente secuencia muestra la distancia (en centímetros) que recorre un péndulo con cada oscilación sucesiva. Escribe una regla general para la secuencia geométrica.

80, 72, 64.8, 58.32,...

Secuencia geométrica

Una secuencia geométrica es una secuencia en la que la relación entre dos términos consecutivos cualesquiera,$\ \frac{a_{n}}{a_{n-1}}$, es constante. Este valor constante se llama la relación común. Otra forma de pensar en esto es que cada término se multiplica por el mismo valor, la proporción común, para obtener el siguiente término.

Consideremos la secuencia 2, 6, 18 ,54,...

¿Esta secuencia es geométrica? Si es así, ¿cuál es la diferencia común?

Si miramos cada par de términos sucesivos y evaluamos las proporciones, obtenemos$\ \frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3$ lo que indica que la secuencia es geométrica y que la proporción común es 3.

Ahora veamos si podemos desarrollar una regla general ($\ n^{t h}$término) para esta secuencia. Ya que sabemos que cada término se multiplica por 3 para obtener el siguiente término, reescribamos cada término como producto y veamos si hay un patrón.

\ (\\ begin {array} {l}
a_ {1} =2\\
a_ {2} =a_ {1} (3) =2 (3) =2 (3) ^ {1}\\
a_ {3} =a_ {2} (3) =2 (3) =2 (3) ^ {2}\\
a_ {4} =a_ {3} (3) =2 (3) (3) (3) =2 (3) ^ {3}
\ end {array}\)

Esto ilustra que la regla general es$\ a_{n}=a_{1}(r)^{n-1}$, dónde$\ r$ está la proporción común. Esto incluso funciona para el primer término desde$\ a_{1}=2(3)^{0}=2(1)=2$.

Ahora, escribamos una regla general para la secuencia geométrica 64, 32, 16, 8,...

De la regla general anterior podemos ver que necesitamos saber dos cosas: el primer término y la proporción común para escribir la regla general. El primer término es 64 y podemos encontrar la relación común dividiendo un par de términos sucesivos,$\ \frac{32}{64}=\frac{1}{2}$. El$\ n^{t h}$ término regla es así$\ a_{n}=64\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Por último, encontremos el$\ n^{t h}$ término regla para la secuencia 81, 54, 36, 24,... y de ahí encontrar el$\ 12^{t h}$ término.

El primer término aquí es$\ 81$ y la proporción común,$\ r$, es$\ \frac{54}{81}=\frac{2}{3}$. El$\ n^{t h}$ término regla es$\ a_{n}=81\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$. Ahora podemos encontrar el$\ 12^{t h}$ término$\ a_{12}=81\left(\frac{2}{3}\right)^{12-1}=81\left(\frac{2}{3}\right)^{11}=\frac{2048}{2187}$.

Usa la calculadora gráfica para el último paso y MATEMÁTICAS > Frac tu respuesta para obtener la fracción. También podríamos usar la calculadora y la regla general para generar términos seq (81 (2/3) ⁽x−1), x,12,12). Recordatorio: la función seq () se puede encontrar en el menú LIST (2nd STAT) bajo OPS. Tenga cuidado de asegurarse de que todo el exponente esté encerrado entre paréntesis.

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que escribiera una regla general para la secuencia 80, 72, 64.8, 58.32,...

Solución

Necesitamos saber dos cosas, el primer término y la proporción común, para escribir la regla general. El primer término es 80 y podemos encontrar la relación común dividiendo un par de términos sucesivos,$\ \frac{72}{80}=\frac{9}{10}$. El$\ n^{t h}$ término regla es así$\ a_{n}=80\left(\frac{9}{10}\right)^{n-1}$

Para los Ejemplos 2-4, identificar cuáles de las secuencias son secuencias geométricas. Si la secuencia es geométrica, encuentra la relación común.

Ejemplo 2

5, 10, 15, 20,...

Solución

aritmética

Ejemplo 3

1, 2, 4, 8,...

Solución

geométrica,$\ r=2$

Ejemplo 4

243, 49, 7, 1,...

Solución

geométrica,$\ r=\frac{1}{7}$

Ejemplo 5

Encuentra la regla general y el$\ 20^{t h}$ término para la secuencia 3, 6, 12, 24,...

Solución

El primer término es 3 y la proporción común es$\ r=\frac{6}{3}=2$ así$\ a_{n}=3(2)^{n-1}$.

El$\ 20^{t h}$ término es$\ a_{20}=3(2)^{19}=1,572,864$.

Ejemplo 6

Encuentre el$\ n^{t h}$ término regla y enumere los términos del 5 al 11 usando su calculadora para la secuencia −1024, 768, −432, −324,...

Solución

El primer término es -1024 y la relación común es$\ r=\frac{768}{-1024}=-\frac{3}{4}$ así$\ a_{n}=-1024\left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1}$.

Usando la función de secuencia de calculadora para encontrar los términos y MATEMÁTICAS > Frac,

\ (\\ text {seq}\ left (-1024 (-3/4) ^ {\ wedge} (x-1), x, 5,11\ derecha) =\ izquierda\ {\ begin {array} {l}
-324 & 243 & -\ frac {729} {4} &\ frac {2187} {16} & -\ frac {6561} {256} &\ frac {19683} {256} &\ izquierda. -\ frac {59049} {1024}\ derecho\}
\ fin {array}\ derecho.\)

Ejemplo 7

Encuentra el valor de un auto de 10 años de antigüedad si el precio de compra era de $22,000 y se depreció a una tasa de 9% anual.

Solución

El primer término (valor del automóvil después de 0 años) es de $22,000. La relación común es de 1−.09 o 0.91.

El valor del automóvil después de$\ n$ años puede ser determinado por$\ a_{n}=22,000(0.91)^{n}$. Por 10 años obtenemos$\ a_{10}=22,000(0.91)^{10}=8567.154599 \approx \$ 8567$

Revisar

Identificar cuáles de las siguientes secuencias son aritméticas, geométricas o ninguna.

$\ 2,4,6,8, \ldots$
$\ \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{2}, \frac{27}{2}, \ldots$
$\ 1,2,4,7, \ldots$
$\ 24,-16, \frac{32}{3},-\frac{64}{9}, \ldots$
$\ 10,5,0,-5, \ldots$
$\ 3,4,7,11, \ldots$

Dado el primer término y la relación común, escribir la regla de$\ n^{t h}$ término y utilizar la calculadora para generar los primeros cinco términos en cada secuencia.

$\ a_{1}=32$y$\ r=\frac{3}{2}$
$\ a_{1}=-81$y$\ r=-\frac{1}{3}$
$\ a_{1}=7$y$\ r=2$
$\ a_{1}=\frac{8}{125}$y$\ r=-\frac{5}{2}$

Encuentra el$\ n^{t h}$ término regla para cada una de las siguientes secuencias geométricas.

$\ 162,108,72, \ldots$
$\ -625,-375,-225, \ldots$
$\ \frac{9}{4},-\frac{3}{2}, 1, \ldots$
$\ 3,15,75, \ldots$
$\ 5,10,20, \ldots$
$\ \frac{1}{2},-2,8, \ldots$

Utilice una secuencia geométrica para resolver los siguientes problemas de palabras.

Rebecca heredó algunas tierras por valor de 50 mil dólares que han aumentado en valor en un promedio de 5% anual durante los últimos 5 años. Si esta tasa de apreciación continúa, ¿acerca de cuánto valdrá la tierra en otros 10 años?
Un granjero compra un tractor nuevo por 75,000 dólares. Si el tractor se deprecia en valor alrededor de 6% anual, ¿cuánto valdrá después de 15 años?

Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 11.8.