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# 7.8.1: Sumas de series aritméticas finitas

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## Encontrar la suma de una serie aritmética finita

Los asientos de un teatro están dispuestos de tal manera que cada fila tenga dos asientos más que el que está frente a él. La primera fila tiene cinco asientos y hay 30 filas de asientos en el teatro. ¿Cuántos asientos totales hay en el teatro?

## Suma de una serie aritmética finita

El método de usar la calculadora para evaluar la suma de una serie también se puede utilizar para encontrar la suma de una serie aritmética. Sin embargo, en este concepto exploraremos un método algebraico único para las series aritméticas. Como comentamos anteriormente en la unidad una serie es simplemente la suma de una secuencia por lo que una serie aritmética es una suma de una secuencia aritmética. Veamos un problema para ilustrar esto y desarrollar una fórmula para encontrar la suma de una serie aritmética finita.

Encontremos la suma de las series aritméticas: 1+3+5+7+9+11+... +35+37+39.

Ahora bien, si bien podríamos sumar todos los términos para obtener la suma, si tuviéramos que sumar una gran cantidad de términos eso llevaría mucho tiempo. Un famoso matemático alemán, Johann Carl Friedrich Gauss, utilizó el método aquí descrito para determinar la suma de los primeros 100 enteros en la escuela primaria. Primero, podemos escribir todos los números dos veces, en orden ascendente y descendente, y observar que la suma de cada par de números es la misma:

\ (\\ begin {array} {cccccccc}
1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 &\ ldots & 35 & 37 & 39\\
39 & 37 & 35 & 33 & 31 & 29 &\ ldots & 5 & 3 & 1\\
&&&&&&& {\ vdots}\\
40 & 40 & amp; 40 & 40 & 40 & 40 &\ ldots & 40 & 40 & 40
\ end {array}\)

Observe que la suma de los términos correspondientes en orden inverso siempre es igual a 40, que es la suma de los términos primero y último de la secuencia.

De lo que Gauss se dio cuenta fue que esta suma se puede multiplicar por el número de términos y luego dividirse por dos (ya que en realidad estamos sumando la serie dos veces aquí) para obtener la suma de los términos en la secuencia original. Por el problema que se le dio en la escuela, al encontrar la suma de los primeros 100 enteros, solo pudo usar el primer término,$$\ a_{1}=1$$, el último término,$$\ a_{n}=100$$, y el número total de términos,$$\ n=100$$, en la siguiente fórmula:

$$\ \frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}=\frac{100(1+100)}{2}=5050$$

En nuestro problema conocemos el primer y último término, pero ¿cuántos términos hay? Necesitamos encontrar$$\ n$$ para usar la fórmula para encontrar la suma de la serie. Podemos usar el primer y último término y el$$\ n^{t h}$$ término para hacer esto.

\ (\\ begin {array} {l}
a_ {n} =a_ {1} +d (n-1)\\
39=1+2 (n-1)\\
38=2 (n-1)\\
19=n-1\\
20=n
\ end {array}\)

Ahora la suma es$$\ \frac{20(1+39)}{2}=400$$

## Prueba de la fórmula de suma aritmética

La regla para encontrar el$$\ n^{t h}$$ término de una secuencia aritmética y las propiedades de las sumas se puede utilizar para probar la fórmula algebraicamente. Primero, comenzaremos con la regla del$$\ n^{t h}$$ término$$\ a_{n}=a_{1}+(n-1) d$$. Necesitamos encontrar la suma de numerosos$$\ n^{t h}$$ términos ($$\ n$$de ellos para ser exactos) así usaremos el índice,$$\ i$$, en una suma como se muestra a continuación:

$$\ \sum_{i=1}^{n}\left[a_{1}+(i-1) d\right]$$Tenga en cuenta que$$\ a_{1}$$ y$$\ d$$ son constantes en esta expresión.

Podemos separar esto en dos sumas separadas como se muestra:$$\ \sum_{i=1}^{n} a_{1}+\sum_{i=1}^{n}(i-1) d$$

Ampliando la primera suma,$$\ \sum_{i=1}^{n} a_{1}=a_{1}+a_{1}+a_{1}+\ldots+a_{1}$$ tal que$$\ a_{1}$$ se suma a sí misma$$\ n$$ tiempos. Podemos simplificar esta expresión a$$\ a_{1} n$$.

En la segunda suma, se$$\ d$$ puede sacar delante de la suma y la diferencia en el interior se puede dividir como hicimos con la adición para obtener:$$\ d\left[\sum_{i=1}^{n} i-\sum_{i=1}^{n} 1\right]$$. Usando reglas que has visto antes,$$\ \sum_{i=1}^{n} i=\frac{1}{2} n(n+1)$$ y$$\ \sum_{i=1}^{n} 1=n$$. Poniéndolo todo junto, podemos escribir una expresión sin ningún símbolo de suma y simplificar.

\ (\\ comenzar {array} {izquierda} a_ {1} n+d\ izquierda [\ frac {1} {2} n (n+1) -n\ derecha]\\
=a_ {1} n+\ frac {1} {2} d n (n+1) -d n\ quad &\ texto {Distribuir} d\\
=\ frac {1} {2} n\ izquierda [2 a_ {1} +d (n+1) -2 d\ derecha] &\ texto {Factor de salida}\ frac {1} {2} n\\
=\ frac {1} {2} n\ izquierda [2 a_ {1} +d n+d-2 d\ derecha]\\
=\ frac {1} {2} n\ left [2 a_ {1} +d n-d\ right]\\
=\ frac {1} {2} n\ left [2 a_ {1} +d (n-1)\ right]\ quad &\ left tarrow\ text {Esta versión de la ecuaciónes muy útil si no conoces el término} n^ {t}\ text {.} \\
=\ frac {1} {2} n\ izquierda [a_ {1} +\ izquierda (a_ {1} +d (n-1)\ derecha)\ derecha]\\
=\ frac {1} {2} n\ izquierda (a_ {1} +a_ {n}\ derecha)
\ end {array}\)

Ahora, encontremos la suma de los primeros 40 términos de la serie aritmética$$\ 35+31+27+23+$$...

Para esta serie en particular conocemos el primer término y la diferencia común, así que usemos la regla que no requiere el$$\ n^{t h}$$ término:$$\ \frac{1}{2} n\left[2 a_{1}+d(n-1)\right]$$, dónde$$\ n=40$$,$$\ d=-4$$ y$$\ a_{1}=35$$.

$$\ \frac{1}{2}(40)[2(35)+(-4)(40-1)]=20[70-156]=-1720$$

También podríamos encontrar el$$\ n^{t h}$$ término y usar la regla$$\ \frac{1}{2} n\left(a_{1}+a_{n}\right)$$, donde$$\ a_{n}=a_{1}+d(n-1)$$.

$$\ a_{40}=35+(-4)(40-1)=35-156=-121$$, por lo que la suma es

$$\ \frac{1}{2}(40)(35-121)=20(-86)=-1720$$

A continuación, dado que en una serie aritmética$$\ a_{21}=165$$ y$$\ a_{35}=277$$, vamos a encontrar la suma de términos 21 a 35.

Esta vez tenemos los términos “primero” y “último” de la serie, pero no el número de términos o la diferencia común. Dado que nuestra serie comienza con el$$\ 21^{s t}$$ término y termina con el$$\ 35^{t h}$$ término, hay 15 términos en esta serie. Ahora podemos usar la regla para encontrar la suma como se muestra.

$$\ \frac{1}{2}(15)(165+277)=3315$$

Por último, encontremos la suma de la serie aritmética$$\ \sum_{i=1}^{8}(12-3 i)$$.

A partir de la notación de suma, sabemos que necesitamos sumar 8 términos. Podemos usar la expresión$$\ 12-3 i$$ para encontrar el primer y último término como y el uso de la regla para encontrar la suma.

Primer término:$$\ 12-3(1)=9$$

Último término:$$\ 12-3(8)=-12$$

$$\ \sum_{i=1}^{8}(12-3 i)=\frac{1}{2}(8)(9-12)=4(-3)=-12$$

También podríamos usar la calculadora en este problema: sum (seq (12−3x, x,1,8)) =−12

## Ejemplos

###### Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que encontrara el número total de asientos en el teatro.

Solución

Para esta serie en particular conocemos el primer término y la diferencia común, así que usemos la regla que no requiere el$$\ n^{t h}$$ término:$$\ \frac{1}{2} n\left[2 a_{1}+d(n-1)\right]$$, dónde$$\ n=30$$,$$\ d=2$$ y$$\ a_{1}=5$$.

$$\ \frac{1}{2}(30)[2(5)+(2)(30-1)]=15[10+58]=1020$$

Por lo tanto, hay un total de 1020 asientos en el teatro.

###### Ejemplo 2

Encuentra la suma de la serie$$\ 87+79+71+63+\ldots+-105$$.

Solución

$$\ d=8$$, entonces

-105 &=87+ (-8) (n-1)\\
-192 &=-8 n+8\\
-200 &=-8 n\\
n &=25

y luego usar la regla para encontrar la suma es$$\ \frac{1}{2}(25)(87-105)=-225$$

###### Ejemplo 3

Encontrar$$\ \sum_{i=10}^{50}(3 i-90)$$.

Solución

$$\ 10^{t h}$$término es$$\ 3(10)-90=-60$$,$$\ 50^{t h}$$ término es$$\ 3(50)-90=60$$ y$$\ n=50-10+1=41$$

(agregar 1 para incluir el$$\ 10^{t h}$$ término). La suma de la serie es$$\ \frac{1}{2}(41)(-60+60)=0$$. Tenga en cuenta que la calculadora es una gran opción para este problema: sum (seq (3x−90, x,10,50)) =0

###### Ejemplo 4

Encuentra la suma de los primeros 30 términos de la serie$$\ 1+6+11+16+\ldots$$

Solución

$$\ d=5$$, usa la fórmula de suma,$$\ \frac{1}{2} n\left(2 a_{1}+d(n-1)\right)$$, para obtener

$$\ \frac{1}{2}(30)[2(1)+5(30-1)]=15[2+145]=2205$$

## Revisar

Encuentra las sumas de las siguientes series aritméticas.

1. $$\ -6+-1+4+\ldots+119$$
2. $$\ 72+60+48+\ldots+-84$$
3. $$\ 3+5+7+\ldots+99$$
4. $$\ 25+21+17+\ldots+-23$$
5. Encuentra la suma de los primeros 25 términos de la serie$$\ 215+200+185+\ldots$$
6. Encuentra la suma de los primeros 14 términos de la serie$$\ 3+12+21+\ldots$$
7. Encuentra la suma de los primeros 32 términos de la serie$$\ -70+-65+-60+\ldots$$
8. Encuentra la suma de los primeros 200 términos en$$\ -50+-49+-48+\ldots$$

Evaluar las siguientes sumas.

1. $$\ \sum_{i=4}^{10}(5 i-22)$$
2. $$\ \sum_{i=2}^{25}(-3 i+37)$$
3. $$\ \sum_{i=11}^{48}(i-20)$$
4. $$\ \sum_{i=5}^{40}(50-2 i)$$

Encuentra la suma de la serie delimitada por los términos dados. Incluir estos términos en la suma.

1. $$\ a_{7}=39$$y$$\ a_{23}=103$$
2. $$\ a_{8}=1$$y$$\ a_{30}=-43$$
3. $$\ a_{4}=-15$$y$$\ a_{17}=24$$
4. ¿Cuántas latas se necesitan para hacer una disposición triangular de latas si la fila inferior tiene 35 latas y la fila sucesiva tiene una lata menos que la fila debajo de ella?
5. Thomas recibe una asignación semanal. La primera semana es de un dólar, la segunda semana es de dos dólares, la tercera semana es de tres dólares y así sucesivamente. Si Thomas pone toda su mesada en el banco, ¿cuánto tendrá al final de un año?

## Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 11.7.

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