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8.3.1: Derivadas constantes y la regla del poder

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    Derivadas constantes y la regla del poder

    La regla del poder es un fantástico “atajo” para encontrar las derivadas de polinomios básicos. Entre la regla de poder y la definición básica de la derivada de una constante, se puede identificar un gran número de derivadas polinómicas con poco esfuerzo, ¡muchas veces en tu cabeza!


    Derivadas constantes y la regla del poder

    En esta lección, desarrollaremos fórmulas y teoremas que calcularán derivados de formas más eficientes y rápidas. Busque estos teoremas en cajas a lo largo de la lección.

    La derivada de una constante

    Teorema: Si f (x) =c donde c es una constante, entonces f′ (x) =0.

    Prueba:\(\ f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{c-c}{h}=0\).

    Teorema: Si\(\ c\) es una constante y\(\ f\) es diferenciable en absoluto\(\ x\), entonces\(\ \frac{d}{d x}[c f(x)]=c \frac{d}{d x}[f(x)]\).

    En notación más simple\(\ (cf)^{\prime}=c(f)^{\prime}=cf^{\prime}\)

    La regla del poder

    Teorema: (La regla de poder) Si n es un entero positivo, entonces para todos los valores reales de x

    \(\ \frac{d}{d x}\left[x^{n}\right]=n x^{n-1}\).


    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Encuentra\(\ f^{\prime}(x)\) para\(\ f(x)=16\).

    Solución

    Si\(\ f(x)=16\) para todos x, entonces\(\ f^{\prime}(x)=0\) para todos x.

    También podemos escribir\(\ \frac{d}{d x} 16=0\).

    Ejemplo 2

    Encuentra la derivada de\(\ f(x)=4 x^{3}\).

    Solución

    \(\ \frac{d}{d x}\left[4 x^{3}\right]\)... Reafirmar la función

    \(\ 4 \frac{d}{d x}\left[x^{3}\right]\)... Aplicar la ley conmutativa

    \(\ 4\left[3 x^{2}\right]\)... Aplicar la regla de poder

    \(\ 12 x^{2}\)... Simplificar

    Ejemplo 3

    Encuentra la derivada de\(\ f(x)=\frac{-2}{x^{4}}\).

    Solución

    \(\ \frac{d}{d x}\left[\frac{-2}{x^{4}}\right]\)... Reafirmar

    \(\ \frac{d}{d x}\left[-2 x^{-4}\right]\)... Reglas de exponentes

    \(\ -2 \frac{d}{d x}\left[x^{-4}\right]\)... Por la ley conmutativa

    \(\ -2\left[-4 x^{-4-1}\right]\)... Aplicar la regla de poder

    \(\ -2\left[-4 x^{-5}\right]\)... Simplificar

    \(\ 8 x^{-5}\)... Simplificar de nuevo

    \(\ \frac{8}{x^{5}}\)... Usar reglas de exponentes

    Ejemplo 4

    Encuentra la derivada de\(\ f(x)=x\).

    Solución

    Aplicación especial de la regla de poder:

    \(\ \frac{d}{d x}[x]=1 x^{1-1}=x^{0}=1\)

    Ejemplo 5

    Encuentra la derivada de\(\ f(x)=\sqrt{x}\).

    Solución

    Reafirmar la función:\(\ \frac{d}{d x}[\sqrt{x}]\)

    Usando reglas de exponentes (de álgebra):\(\ \frac{d}{d x}\left[x^{1 / 2}\right]\)

    Aplicar la regla de poder:\(\ \frac{1}{2} x^{1 / 2-1}\)

    Simplificar:\(\ \frac{1}{2} x^{-1 / 2}\)

    Reglas de exponentes:\(\ \frac{1}{2 x^{1 / 2}}\)

    Simplificar:\(\ \frac{1}{2 \sqrt{x}}\)

    Ejemplo 6

    Encuentra la derivada de\(\ f(x)=\frac{1}{x^{3}}\).

    Solución

    Reafirmar la función:\(\ \frac{d}{d x}\left[\frac{1}{x^{3}}\right]\)

    Reglas de exponentes:\(\ \frac{d}{d x}\left[x^{-3}\right]\)

    Regla de potencia:\(\ -3 x^{-3-1}\)

    Simplificar:\(\ -3 x^{-4}\)

    Reglas de exponentes:\(\ \frac{-3}{x^{4}}\)


    Revisar

    1. Estado la regla del poder.

    Encuentra la derivada:

    1. \(\ y=5 x^{7}\)
    2. \(\ y=-3 x\)
    3. \(\ f(x)=\frac{1}{3} x+\frac{4}{3}\)
    4. \(\ y=x^{4}-2 x^{3}-5 \sqrt{x}+10\)
    5. \(\ y=\left(5 x^{2}-3\right)^{2}\)
    6. Dado\(\ y(x)=x^{-4 \pi^{2}}\), encuentra la derivada cuando\(\ x=1\).
    7. \(\ y(x)=5\)
    8. Dado\(\ u(x)=x^{-5 \pi^{3}}\), ¿qué es\(\ u^{\prime}(2)\)?
    9. \(\ y=\frac{1}{5}\)cuando\(\ x=4\)
    10. Dado\(\ d(x)=x^{-0.37}\), ¿qué es\(\ d^{\prime}(1)\)?
    11. \(\ g(x)=x^{-3}\)
    12. \(\ u(x)=x^{0.096}\)
    13. \(\ k(x)=x-0.49\)
    14. \(\ y=x^{-5 \pi^{3}}\)

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.9.


    El vocabulario

    Término Definición
    derivado La derivada de una función es la pendiente de la línea tangente a la función en un punto dado de la gráfica. Las notaciones para derivados incluyen\(\ f^{\prime}(x), \frac{d y}{dx}, y^{\prime}, \frac{df}{dx}\) y\(\ \frac{df(x)}{dx}\).
    prueba Una prueba es una serie de afirmaciones verdaderas que conducen a la aceptación de la verdad de una afirmación más compleja.
    teorema Un teorema es una afirmación que puede demostrarse verdadera usando postulados, definiciones y otros teoremas que ya han sido probados.

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