8.3.2: Derivadas de Sumas y Diferencias

Derivadas de Sumas y Diferencias

Juan ha estado fuera jugando con su cohete modelo toda la tarde. A mitad del día, comenzó a tomar videos de los vuelos usando su celular. Al ver el video, se da cuenta de que los cohetes en realidad parecen ser cada vez más rápidos después del lanzamiento en lugar de comenzar a toda velocidad y ralentizar debido a la gravedad.

Juan calcula que es razonable asumir que se necesita un poco para que los motores lleven el cohete a toda velocidad, pero la aceleración parece continuar pasado cuando calcula que eso continuaría.

Después de considerar por un tiempo, se pregunta si la disminución de la masa del cohete a medida que quema combustible podría ser la causa, asumiendo que conoce la fuerza generada por los motores y el peso inicial y final del cohete, ¿hay alguna manera de que pueda conjeturar si el aumento de la aceleración podría ser resultado de la disminución de la masa?

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Derivadas de Sumas y Diferencias

Teorema: Si f y g son dos funciones diferenciables en x entonces \(\ \frac{d}{d x}[f(x)+g(x)]=\frac{d}{d x}[f(x)]+\frac{d}{d x}[g(x)]\) y \(\ \frac{d}{d x}[f(x)-g(x)]=\frac{d}{d x}[f(x)]-\frac{d}{d x}[g(x)]\) En notación más simple \(\ (f \pm g)^{\prime}=f^{\prime} \pm g^{\prime}\)

La regla del producto

Teorema: (La regla del producto) Si f y g son diferenciables en x, entonces \(\ \frac{d}{d x}[f(x) \cdot g(x)]=f(x) \frac{d}{d x} g(x)+g(x) \frac{d}{d x} f(x)\) En una notación más simple \(\ (f \cdot g)^{\prime}=f \cdot g^{\prime}+g \cdot f^{\prime}\) En palabras, La derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por las derivadas de la derivada de la primera. Tenga en cuenta que\(\ (f \cdot g)^{\prime} \neq f^{\prime}+g^{\prime}\)

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Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó si Juan podía hacer una conjetura sobre si el aumento de la aceleración podría ser el resultado de una disminución de la masa.

Solución

Sí, él puede hacer la conjetura. Suponiendo que la fuerza es igual al cambio en la masa multiplicada por la velocidad (momentum) sobre el cambio en el tiempo, luego usando la regla de potencia y simplificando, puede descubrir que la aceleración del cohete es igual a la fuerza menos la velocidad multiplicada por el cambio de masa a lo largo del tiempo, todo dividido por masa, en matemáticas esto se ve así:

\(\ a=\left(\frac{F-v\left(\frac{\delta m}{\delta t}\right)}{m}\right)\)

Al observar la porción superior derecha de la ecuación, podemos ver que a medida que disminuye la masa, la fracción\(\ \frac{\delta m}{\delta t}\) va negativa. Ya que\(\ -v\) se multiplica por esa fracción, va positiva, y la función general aumenta, es decir, el cohete acelera.

Parece que Juan tenía razón.

Ejemplo 2

Encuentra la derivada:\(\ f(x)=3 x^{2}+2 x\)

Solución

Usa la regla de poder para ayudar a:

\(\ \frac{d}{d x}\left[3 x^{2}+2 x\right]\)	\(\ =\frac{d}{d x}\left[3 x^{2}\right]+\frac{d}{d x}[2 x]\)
	\(\ =3 \frac{d}{d x}\left[x^{2}\right]+2 \frac{d}{d x}[x]\)
	\(\ =3[2 x]+2[1]\)
	\(\ =6 x+2\)

Ejemplo 3

Encuentra la derivada:\(\ f(x)=x^{3}-5 x^{2}\).

Solución

Nuevamente, use la regla de poder para ayudar a:

\(\ \frac{d}{d x}\left[x^{3}-5 x^{2}\right]\)	\(\ =\frac{d}{d x}\left[x^{3}\right]-5 \frac{d}{d x}\left[x^{2}\right]\)
	\(\ =3 x^{2}-5[2 x]\)
	\(\ =3 x^{2}-10 x\)

Ejemplo 4

Encuentra\(\ \frac{d y}{d x}\) para\(\ y=\left(3 x^{4}+2\right)\left(7 x^{3}-1\right)\).

Solución

Hay dos métodos para resolver este problema. Una es multiplicar para encontrar el producto y luego usar la derivada de la regla de suma. El segundo es usar directamente la regla del producto. Cualquiera de las dos reglas producirá la misma respuesta. Comenzamos con la regla de la suma.

y	\(\ =\left(3 x^{4}+2\right)\left(7 x^{3}-1\right)\)
	\(\ =21 x^{7}-3 x^{4}+14 x^{3}-2\)

Tomando la derivada de la suma rinde

\(\ \frac{d y}{d x}\)	\(\ =147 x^{6}-12 x^{3}+42 x^{2}+0\)
	\(\ =147 x^{6}-12 x^{3}+42 x^{2}\)

Ahora usamos la regla del producto.

y′	\(\ =\left(3 x^{4}+2\right) \cdot\left(7 x^{3}-1\right)^{\prime}+\left(3 x^{4}+2\right)^{\prime} \cdot\left(7 x^{3}-1\right)\)
	\(\ =\left(3 x^{4}+2\right)\left(21 x^{2}\right)+\left(12 x^{3}\right)\left(7 x^{3}-1\right)\)
	\(\ =\left(63 x^{6}+42 x^{2}\right)+\left(84 x^{6}-12 x^{3}\right)\)
	\(\ =147 x^{6}-12 x^{3}+42 x^{2}\)

Que es la misma respuesta.

Ejemplo 5

Dado:\(\ t(x)=x-1\). ¿Qué es\(\ \frac{d t}{d x}\) cuándo\(\ x=0\)?

Solución

Por regla de diferencia:\(\ (x-1)^{\prime}=(x)^{\prime}-(1)^{\prime}=0\)

\(\ x^{\prime}=1\)... Por la regla del poder

\(\ 1^{\prime}=0\)... La derivada de una constante = 0

Entonces cuando evaluamos esto en x = 0, obtenemos 1, ya que 1 - 0 = 1

Ejemplo 6

¿De qué es el derivado\(\ g(x)=(-x-1)(x+1)\)?

Solución

Usaremos la regla de diferencia

Primero, ampliar\(\ (-x-1)(x+1) \rightarrow-x^{2}-2 x-1\).

Por regla de diferencia:\(\ \left(-x^{2}-2 x-1\right)^{\prime}=\left(-x^{2}\right)^{\prime}-(2 x)^{\prime}-(1)^{\prime}=-2 x-2\)

Ejemplo 7

Dado\(\ a(x)=-\pi x^{-0.54}+6 x^{4}\). ¿Qué es\(\ \frac{d y}{d x}\)?

Solución

Usaremos las reglas de diferencia y poder:

\(\ \frac{d}{d x}\left(-\pi x^{-0.54}+6 x^{4}\right)=\)

\(\ \frac{d}{d x}\left(-\pi x^{-0.54}\right)+\frac{d}{d x}\left(6 x^{4}\right)\)... Por la regla de diferencia

\(\ \rightarrow 0.54 \pi x^{-1.54}+24 x^{3}\)... Por la regla del poder

Ejemplo 8

¿Qué es\(\ \frac{d}{d x}[(-5 x) \cos (x)]\)?

Solución

Usaremos la regla del producto:

\(\ (p q)^{\prime}=p^{\prime} q+p q^{\prime}\).

\(\ p(x)=-5 x \rightarrow p^{\prime}(x)=-5\)... Por la regla del poder

\(\ q(x)=\cos (x) \rightarrow q^{\prime}(x)=-\sin (x)\)... Por la regla de poder y simplificación

Así conseguimos\(\ [(-5 x) \cos (x)]^{\prime}=(-5) \cos (x)+(-5 x)[-\sin (x)]\)

\(\ =-5 \cos (x)+(5 x) \sin (x)\)

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Revisar

Encuentra la derivada usando la regla de suma/diferencia.

1. \(\ y=\frac{1}{2}\left(x^{3}-2 x^{2}+1\right)\)
2. \(\ y=\sqrt{2} x^{3}-\frac{1}{\sqrt{2}} x^{2}+2 x+\sqrt{2}\)
3. \(\ y=a^{2}-b^{2}+x^{2}-a-b+x\)(donde a, b son constantes)
4. \(\ y=x^{-3}+\frac{1}{x^{7}}\)
5. \(\ y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)
6. \(\ f(x)=(-3 x+4)^{2}\)
7. \(\ f(x)=-0.93 x^{10}+\left(\pi^{3} x\right)^{\frac{-5}{12}}\)
8. ¿Qué es\(\ \frac{d}{d x}(2 x+1)^{2}\)?
9. Dado:\(\ a(x)=(-5 x+3)^{2}\), ¿qué es\(\ \frac{d y}{d x}\)?
10. Si\(\ v(x)=-3 x^{3}+5 x^{2}-2 x-3\), ¿qué es\(\ v^{\prime}(0)\)?

Encuentra la derivada usando la regla del producto.

11. \(\ y=\left(x^{3}-3 x^{2}+x\right) \cdot\left(2 x^{3}+7 x^{4}\right)\)
12. \(\ y=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)\left(3 x^{4}-7\right)\)
13. ¿De qué es el derivado\(\ \left[\left(-3 x^{2}+x+4\right)(-3 x-3)\right]\)?
14. \(\ v(x)=(3 x-3) \cdot \cos (x)\)
15. Dado:\(\ k(-2)=0, k^{\prime}(-2)=18\), encontrar\(\ r(-2)\) cuándo\(\ (k r)^{\prime}(-2)=54\).
16. Dado\(\ g(x)=\left(4 x^{2}-4 x-5\right)(3 x-3)\), encuentra\(\ g^{\prime}(2)\).
17. Encontrar\(\ \frac{d}{d x}[(-4 x+3) \cdot \sin (x)\).
18. Encuentra\(\ \frac{d}{d x}\left[\left(x^{2}-3\right)\left(-2 x^{2}+4 x-1\right)\right]\)
19. Dado\(\ t(1)=0, t^{\prime}(1)=17\), encuentra\(\ a(1)\) cuándo\(\ (t a)^{\prime}(1)=272\).
20. Dado\(\ d(x)=\left(2 x^{2}+3 x-1\right)(2 x+1)\), encuentra\(\ d^{\prime}(-1)\).

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Reseña (Respuestas)

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El vocabulario

Término	Definición
derivado	La derivada de una función es la pendiente de la línea tangente a la función en un punto dado de la gráfica. Las notaciones para derivados incluyen\(\ f^{\prime}(x), \frac{d y}{d x}, y^{\prime}, \frac{d f}{d x}\) y\(\ \frac{df(x)}{dx}\).
diferenciable	Una función diferenciable es una función que tiene una derivada que se puede calcular.
regla del producto	En cálculo, la regla del producto establece que la derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda función, sumada a la segunda función por la derivada de la primera función.
teorema	Un teorema es una afirmación que puede demostrarse verdadera usando postulados, definiciones y otros teoremas que ya han sido probados.