8.3.3: Regla del cociente y Derivados Superiores

Regla del cociente y derivados superiores

Tal vez recuerde haber escuchado sobre Becca y su competencia de atletismo en una lección previa. Su novio le había tomado una foto justo cuando empezó a alejarse de los demás en la pista. Aprendimos cómo podría aprender a identificar su velocidad instantánea a la fracción de segundo en que se tomó la foto usando cálculo para encontrar una derivada.

¿Y si, en lugar de solo encontrar su velocidad en esa fracción de segundo, quisiera encontrar su aceleración?

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Regla del cociente y derivados superiores

La regla del cociente

Teorema: (La regla del cociente) Si f y g son funciones diferenciables en x y g (x) ≠ 0, luego \(\ \frac{d}{d x}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{g(x) \frac{d}{d x}[f(x)]-f(x) \frac{d}{d x}[g(x)]}{[g(x)]^{2}}\) En notación más simple \(\ \left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}=\frac{g \cdot f^{\prime}-f \cdot g^{\prime}}{g^{2}}\) Tenga en cuenta que el orden de las operaciones es importante (debido al signo menos en el numerador) y \(\ \left(\frac{f}{g}\right)^{\prime} \neq \frac{f^{\prime}}{g^{\prime}}\).

Derivados superiores

Si la derivada f′ de la función f es diferenciable, entonces la derivada de f′, denotada por f″ se denomina la segunda derivada de f. Podemos continuar el proceso de diferenciación de derivadas y obtener derivadas tercera, cuarta, quinta y superior de f. Se denotan por f′, f″, f , f ⁽⁴⁾, f ⁽⁵⁾, . . . ,

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Ejemplos

Ejemplo 1

Antes, te preguntaron cómo Becca pudo encontrar su aceleración además de su velocidad.

Solución

Una vez que Becca haya calculado su velocidad instantánea en un punto dado de la pista al encontrar la derivada, podría entonces tomar la derivada de esa función para encontrar su aceleración instantánea en el mismo punto de la carrera.

Al encontrar su velocidad instantánea y aceleración en diferentes puntos de la carrera, puede aprender mucho sobre qué puntos marcaron la diferencia en su éxito general, y también en qué puntos necesita trabajar.

Ejemplo 2

Encuentra\(\ =\frac{d y}{d x}\) para\(\ y=\frac{x^{2}-5}{x^{3}+2}\).

Solución

\(\ \frac{d y}{d x}\)	\(\ =\frac{d}{d x}\left[\frac{x^{2}-5}{x^{3}+2}\right]\)
	\(\ =\frac{\left(x^{3}+2\right) \cdot\left(x^{2}-5\right)^{\prime}-\left(x^{2}-5\right) \cdot\left(x^{3}+2\right)^{\prime}}{\left(x^{3}+2\right)^{2}}\)
	\(\ =\frac{\left(x^{3}+2\right)(2 x)-\left(x^{2}-5\right)\left(3 x^{2}\right)}{\left(x^{3}+2\right)^{2}}\)
	\(\ =\frac{2 x^{4}+4 x-3 x^{4}+15 x^{2}}{\left(x^{3}+2\right)^{2}}\)
	\(\ =\frac{-x^{4}+15 x^{2}+4 x}{\left(x^{3}+2\right)^{2}}\)
	\(\ =\frac{x\left(-x^{3}+15 x+4\right)}{\left(x^{3}+2\right)^{2}}\)

Ejemplo 3

¿En qué punto (s) tiene la gráfica de\(\ y=\frac{x}{x^{2}+9}\) una línea tangente horizontal?

Solución

Dado que la pendiente de una línea horizontal es cero, y como la derivada de una función significa la pendiente de la línea tangente, entonces tomar la derivada e igualarla a cero nos permitirá encontrar los puntos en los que la pendiente de la línea tangente es igual a cero, es decir, las ubicaciones del tangentes horizontales. Observe que aquí necesitaremos usar la regla del cociente:

y	\(\ =\frac{x}{x^{2}+9}\)
y′	\(\ =\frac{\left(x^{2}+9\right) \cdot f^{\prime}(x)-x \cdot g^{\prime}\left(x^{2}+9\right)}{\left(x^{2}+9\right)^{2}}=0\)	\(\ =\frac{\left(x^{2}+9\right)(1)-x(2 x)}{\left(x^{2}+9\right)^{2}}=0\)

Multiplicar ambos lados por\(\ \left(x^{2}+9\right)^{2}\),

\(\ x^{2}+9-2 x^{2}\)	\(\ =0\)
\(\ x^{2}\)	\(\ =9\)
\(\ x\)	\(\ =\pm 3\)

Por lo tanto, en x=−3 y x=3, la línea tangente es horizontal.

Ejemplo 4

Encuentra la quinta derivada de\(\ f(x)=2 x^{4}-3 x^{3}+5 x^{2}-x-1\)

Solución

Para encontrar la quinta derivada, primero debemos encontrar la primera, segunda, tercera y cuarta derivada.

f′ (x)	\(\ =8 x^{3}-9 x^{2}+5 x-x\)
f″ (x)	\(\ =24 x^{2}-18 x+5\)
f (x)	\(\ =48 x-18\)
f ^(4) (x)	\(\ =48\)
f ^(5) (x)	\(\ =\)

Ejemplo 5

Supongamos y' (2) = 0 y (y/q) (2) = 0. Encuentra q (2), asumiendo y (2) = 0.

Solución

Comience con la regla del cociente:

\(\ \left(\frac{y}{q}\right)^{\prime}(2)=\left(\frac{y^{\prime}(2) q(2)-y(2) q^{\prime}(2)}{q(2)^{2}}\right)\)... Sustituto

\(\ (0)=\left(\frac{(0) q(2)-(0) q^{\prime}(2)}{q(2)^{2}}\right)\)... Sustituir de nuevo con valores dados

\(\ 0=\left(\frac{(0) q(2)}{q(2)^{2}}\right)\)... Simplifique con:\(\ (0) q^{\prime}(2)=0\)

\(\ 0=\frac{0}{q(2)}\)

\(\ q(2)=0\)

Ejemplo 6

Encuentra la derivada de\(\ k(x)=\frac{-2 x-4}{e^{x}}\).

Solución

Usa la regla del cociente: Nota:\(\ (-2 x-4)^{\prime}=-2\) y\(\ \left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\)

\(\ \left(\frac{-2 x-4}{e^{x}}\right)^{\prime}=\frac{(-2)\left(e^{x}\right)-(-2 x-4)\left(e^{x}\right)}{e^{2 x}}\)... Sustituto

\(\ \frac{2 x+2}{e^{x}}\)... Simplificar

Ejemplo 7

Dado\(\ f(x)=\left(-x^{4}-4 x^{3}-5 x^{2}+3\right)\). Encuentra\(\ f^{\prime \prime}(x)\) cuándo\(\ x=3\).

Solución

Recordemos que\(\ f^{\prime \prime}(x)\) significa “La derivada de la derivada de\(\ x^{\prime \prime}\)

\(\ f^{\prime}(x)=-4 x^{3}-12 x^{2}-10 x\)... Usa la regla de alimentación en\(\ f(x)\)

\(\ f^{\prime \prime}(x)=-12 x^{2}-24 x-10\)... Usa la regla de alimentación en\(\ f^{\prime}(x)\)

\(\ f^{\prime \prime}(3)=-12(3)^{2}-24(3)-10 \rightarrow-108-72-10=-190\)... Sustituto 3

\(\ \therefore f^{\prime \prime}(3)=-190\)

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Revisar

Usa la regla del cociente para resolver:

1. Supongamos\(\ u^{\prime}(0)=98\) y\(\ \left(\frac{u}{q}\right)^{\prime}(0)=7\). Encontrar\(\ q(0)\) asumiendo\(\ u(0)=0\).
2. Dado:\(\ b(x)=\frac{x^{2}-5 x+4}{-5 x+2}\), ¿qué es:\(\ b^{\prime}(2)\)?
3. Dado:\(\ m(x)=\frac{e^{x}}{3 x+4}\), ¿qué es\(\ \frac{d m}{d x}\)?
4. ¿Qué es\(\ \frac{d}{d x} \cdot \frac{\sin (x)}{x-4}\)?
5. Encuentra la derivada de\(\ q(x)=\frac{x}{\sin (x)}\).

Resuelve estos derivados de orden superior:

6. Dado:\(\ v(x)=-4 x^{3}+3 x^{2}+2 x+3\), ¿qué es\(\ v^{\prime \prime}(x)\)?
7. Dado:\(\ m(x)=x^{2}+5 x\), ¿qué es\(\ m^{\prime \prime}(x)\)?
8. Dado:\(\ d(x)=3 x^{4} e^{x}\), ¿qué es\(\ d^{\prime \prime}(x)\)?
9. Dado:\(\ t(x)=-2 x^{5} \sin (x)\), ¿qué es\(\ \frac{d^{2} t}{d x^{2}}\)?
10. ¿Qué es\(\ \frac{d^{2}}{d x^{2}} 3 x^{5} e^{x}\)?

Resolver:

11. Encuentra la derivada de\(\ y=\frac{3}{\sqrt{x}+3}\).
12. Encuentra la derivada de\(\ y=\frac{4 x+1}{x^{2}-9}\).
13. La Ley de Gravitación Universal de Newton establece que la fuerza gravitacional entre dos masas (digamos, la tierra y la luna), m y M es igual a dos su producto dividido por el cuadrado de la distancia r entre ellas. Matemáticamente,\(\ F=G \frac{m M}{r^{2}}\) donde G es la Constante Gravitacional Universal (1.602 × 10 ^-11 Nm ² /kg ²). Si la distancia r entre las dos masas está cambiando, encuentre una fórmula para la tasa instantánea de cambio de F con respecto a la distancia de separación r .
14. Encontrar\(\ \frac{d}{d \psi}\left[\frac{\psi \psi_{0}+\psi^{3}}{3-\psi_{0}}\right]\), donde\(\ \psi_{0}\) es una constante.
15. Encontrar\(\ \left.\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right|_{x=1}\), dónde\(\ y=\frac{2}{x^{3}}\).

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Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.11.

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El vocabulario

Término	Definición
diferenciable	Una función diferenciable es una función que tiene una derivada que se puede calcular.
Aceleración instantánea	La aceleración instantánea de un objeto es el cambio de velocidad del objeto calculado en un punto específico en el tiempo.
Velocidad instantánea	La velocidad instantánea de un objeto es la velocidad del objeto en un punto específico en el tiempo.
regla del cociente	En el cálculo, la regla del cociente establece que si\(\ f\) y\(\ g\) son funciones diferenciables en\(\ x\) y\(\ g(x) \neq 0\), entonces\(\ \frac{d}{d x}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{g(x) \frac{d}{d x}[f(x)]-f(x) \frac{d}{d x}[g(x)]}{[g(x)]^{2}}\).