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LibreTexts Español

4.3: Aproximación de Línea Tangente

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    Supongamos que absolutamente necesitabas conocer el valor de la raíz cuadrada de 19 pero todo lo que tenías era lápiz y papel, sin calculadora. ¿Podrías calcularlo? Con tu comprensión actual de la derivada como la pendiente de una línea tangente, deberías ser capaz de hacerlo. Prueba a computar 19 0.5 sin calculadora; luego compara tu resultado con este método de linealización de conceptos y una calculadora.


    Linealización

    Linealización de una función significa usar la línea tangente de una función en un punto como aproximación a la función en las proximidades del punto. Esta relación entre una tangente y una gráfica en el punto de tangencia a menudo se denomina linealización local.

    Dada la función f (x) y la derivada f′ (x), la línea tangente en un punto x0 se puede escribir en forma de punto-pendiente como:

    y−f (x 0) =f′ (x 0) (x−x 0) o y=f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).

    Si consideramos que esta línea tangente es una buena aproximación a f (x) en las proximidades de x 0, podemos escribir

    f (x) ≈y=f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0). Esta es la linealización de f (x) sobre x 0.

    La línea tangente como linealización local de f (x) a menudo se designa L (x), de modo que

    f (x) ≈L (x) =f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).

    Toma la función f (x) =x 2 −2x−3 y encuentra la linealización en los puntos x 0 =1.5 y x 0 =−0.5.

    La linealización de f (x) viene dada por: f (x) ≈f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).

    Contamos con:

    f (1.5) =−3.75 y f (−0.5) =−1.75

    f′ (x) =2x−2, de modo que f′ (1.5) =1 y f′ (−0.5) =−3.

    La linealización se convierte en:

    Captura de pantalla 2020-09-30 a las 12.56.00 PM.png

    Captura de pantalla 2020-09-30 en 1.05.50 PM.png

    Como ilustra la figura y la tabla muestra, a medida que nos alejamos de x0, perdemos precisión.

    Error cerca de x0=−0.5 Error cerca de x0=1.5
    x f (x) −3x−3.25 |Verdadero-Aprox| x f (x) x−5.25 |Verdadero-Aprox|
    -1 0 -0.25 0.25 1.0 -4 -4.25 0.25
    -0.5 -1.75 -1.75 0.00 1.5 -3.75 -3.75 0.00
    0 -3 -3.25 0.25 2.0 -3.25 -3.00 0.25

    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, se le pidió que primero intentara computar 19 0.5 sin una calculadora y luego comparar su resultado con este concepto método de linealización y una calculadora.

    Enhorabuena si pudiste linealizar x 0.5 a x=16 (o x=25).

    La linealización es y= 1/8 (x−16) +4, lo que significa y=4.375 cuando x=19. Una calculadora daría 4.359.

    Ejemplo 2

    Encuentra la linealización de f (x) = (x+3) 0.5 en el punto x=−1.

    La linealización de f (x) viene dada por: f (x) ≈f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).

    Contamos con:

    f (1) =2, y

    f′ (x) = 1/2 (x+3) − 1/2, de manera que f′ (1) = 1/4.

    La linealización se convierte en:

    Captura de pantalla 2020-10-05 a las 8.33.43 AM.png

    Esto nos dice que cerca del punto x=1, la función f (x) = (x+3) 0.5 se aproxima a la línea y =( x/4) + 7/4. Como ilustra la figura y la tabla muestra, a medida que nos alejamos de x=1, perdemos precisión.

    Captura de pantalla 2020-10-05 a las 8.35.14 AM.png

    CC BY-NC-SA

    x f (x) ≈14x+74

    |Verdadero-Aprox|

    1

    2

    2

    0

    1.5

    2.121

    2.125

    0.004

    2

    2.236

    2.25

    0.014

    3

    2.449

    2.5

    0.41

    Ejemplo 3

    Encuentra la linealización de y=sinx en x= π/3.

    La linealización de f (x) viene dada por: f (x) ≈f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).

    Tenemos

    Captura de pantalla 2020-10-05 a las 8.36.15 AM.png

    La linealización se convierte en:

    Captura de pantalla 2020-10-05 a las 8.36.44 AM.png

    Captura de pantalla 2020-10-05 a las 8.37.11 AM.png

    CC BY-NC-SA

    Ejemplo 4

    Sea f una función tal que f (5) =6 y cuya derivada sea f′ (x) = (x 3 +44) 0.5. Aproximado f (5.3).

    La linealización de f (x) viene dada por: f (x) ≈f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).

    Ya que tenemos f (5) =6, let x 0 =5.

    Entonces f′ (x0) = (x 0 3 +44) 0.5 =169 0.5 =13

    La linealización se convierte en:

    Captura de pantalla 2020-10-05 a las 8.54.11 AM.png


    Revisar

    1. Encuentra la linealización de f (x) =x 2 +1/ x, x 0 =1, f (1.7)
    2. Encuentra la linealización de f (x) =tanx en a=π.
    3. Usa el método de linealización para mostrar que cuando x1 (mucho menos que1), entonces (1+x) n ≈1+nx.
    4. Usa el resultado del problema #3, (1+x) n≈1+nx, para encontrar la aproximación para lo siguiente:

    Captura de pantalla 2020-10-05 a las 8.55.35 AM.png

    Para #5 - 13, encuentra la linealización de la función dada en el punto dado x 0 y usa esta aproximación para calcular la cantidad dada. Comparar el resultado con el valor obtenido por la calculadora; computar el error.

    Captura de pantalla 2020-10-05 a las 8.56.04 AM.png

    Para #13 - 14, estime los siguientes números y determine el error:

    Captura de pantalla 2020-10-05 a las 8.56.53 AM.png


    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 4.10.


    El vocabulario

    Término Definición
    linealización La linealización local de una función significa aproximar la función en un punto por la línea tangente en el punto.

    Recursos adicionales

    PLIX: Juega, aprende, interactúa, explora - Estimando raíces cuadradas

    Video: Cálculo - Aproximación lineal

    Práctica: Aproximación de líneas tangentes

    Mundo real: En piloto automático


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