Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

5.1: Reglas de Constante, Identidad y Poder

  • Page ID
    105827
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    La regla del poder es un fantástico “atajo” para encontrar las derivadas de polinomios básicos. Entre la regla de poder y la definición básica de la derivada de una constante, se puede identificar un gran número de derivadas polinómicas con poco esfuerzo, ¡muchas veces en tu cabeza!


    Derivadas constantes y la regla del poder

    En esta lección, desarrollaremos fórmulas y teoremas que calcularán derivados de formas más eficientes y rápidas. Busque estos teoremas en cajas a lo largo de la lección.

    La derivada de una constante

    Teorema

    Si\[f(x)=c \nonumber\] donde c es una constante, entonces\[f'(x)=0 \nonumber\]

    Prueba

    \[f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{c-c}{h}=0 \nonumber\]

    Teorema

    Si c es una constante y f es diferenciable en absoluto x, entonces

    Prueba

    \[ \frac{d}{dx}[cf(x)]=c \frac{d}{dx}[f(x)] \nonumber\]En notación más simple\[(cf)'=c(f)'=cf' \nonumber\]

    La regla del poder

    Teorema

    (La regla de poder) Si n es un entero positivo, entonces para todos los valores reales de x\[ \frac{d}{dx}[x^n]=nx^{n-1} \nonumber\]


    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Encuentra f′ (x) para f (x) =16.

    Si f (x) =16 para todos x, entonces f′ (x) =0 para todos x.

    También podemos escribir\[ \frac{d}{dx}16=0 \nonumber\]

    Ejemplo 2

    Encuentra la derivada de f (x) =4x 3.

    \[\frac{d}{dx} 4x^3 \nonumber\]... Reafirmar la función

    \[4 \frac{d}{dx} x^3 \nonumber\]... Aplicar la ley conmutativa

    \[4[3x^2] \nonumber\]... Aplicar la regla de poder

    \[12x^2 \nonumber\]... Simplificar

    Ejemplo 3

    Encuentra la derivada de\[f(x)= \frac{-2}{x^4} \nonumber\].

    \[ \frac{d}{dx}[\frac{-2}{x^4}] \nonumber\]... Reafirmar

    \[ \frac{d}{dx}[-2x^{-4}] \nonumber\]... Reglas de exponentes

    \[ -2 \frac{d}{dx}[x^{-4}] \nonumber\]... Por la ley conmutativa

    \[ -2 [-4x^{-4-1}] \nonumber\]... Aplicar la regla de poder

    \[ -2 [-4x^{-5}] \nonumber\]... Simplificar

    \[8x^{-5} \nonumber\]... Simplificar de nuevo

    \[ \frac{8}{x^5} \nonumber\]... Usar reglas de exponentes

    Ejemplo 4

    Encuentra la derivada de f (x) =x.

    Aplicación especial de la regla de poder:

    \[\frac{d}{dx}[x]=1x^{1−1}=x^0=1 \nonumber\]

    Ejemplo 5

    Encuentra la derivada de f (x) =x 0.5.

    Reafirmar la función:\[\frac{d}{dx}[x^{0.5}] \nonumber\]

    Usando reglas de exponentes (de álgebra):\[\frac{d}{dx}[x^{1/2}] \nonumber\]

    Aplicar la regla de poder:\[\frac{1}{2} x^{1/2−1} \nonumber\]

    Simplificar:\[\frac{1}{2} x^{-1/2} \nonumber\]

    Reglas de exponentes:\[\frac{1}{2x^{1/2}} \nonumber\]

    Ejemplo 6

    Encuentra la derivada de\[f(x)= \frac{1}{x^3} \nonumber\].

    Reafirmar la función:\[\frac{d}{dx}[\frac{1}{x^3}] \nonumber\]

    Reglas de exponentes:\[\frac{d}{dx} x^{-3}] \nonumber\]

    Regla de potencia:\[−3x^{-3−1} \nonumber\]

    Simplificar:\[−3x^{-4} \nonumber\]

    Reglas de exponentes:\[\frac{-3}{x^4} \nonumber\]


    Revisar

    1. Estado la regla del poder.

    Encuentra la derivada:

    2. \[y=5 x^{7}\]
    3. \[y=-3 x\]
    4. \[f(x)=\frac{1}{3} x+\frac{4}{3}\]
    5. \[y=x^{4}-2 x^{3}-5 \sqrt{x}+10\]
    6. \[y=\left(5 x^{2}-3\right)^{2}\]
    7. Dado\[y(x)=x^{-4 \pi^{2}}\] encontrar la derivada cuando\[x=1\]
    8. \[y(x)=5\]
    9. Dado $\[u(x)=x^{-5 \pi^{3}},\] lo que es\[u^{\prime}(2) ?\]
    10. \[y=\frac{1}{5}\]cuando\[x=4\]
    11. Dado\[d(x)=x^{-0.37}\] lo que es\[d^{\prime}(1) ?\]
    12. \[g(x)=x^{-3}\]
    13. \[u(x)=x^{0.096}\]
    \[k(x)=x-0.49\]
    \[y=x^{-5 \pi^{3}}\]


    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.9.


    El vocabulario

    Término Definición
    derivado La derivada de una función es la pendiente de la línea tangente a la función en un punto dado de la gráfica. Las notaciones para derivadas incluyen f′ (x), dydx, y′, dfdx y\ frac {df (x)} {dx}.
    prueba Una prueba es una serie de afirmaciones verdaderas que conducen a la aceptación de la verdad de una afirmación más compleja.
    teorema Un teorema es una afirmación que puede demostrarse verdadera usando postulados, definiciones y otros teoremas que ya han sido probados.

    Recursos adicionales

    PLIX: Juega, aprende, interactúa, explora - Calculadora derivada: reglas de potencia

    Video: Cálculo - Derivados

    Práctica: Reglas de Constante, Identidad y Poder

    Mundo real: Girar y gritar


    This page titled 5.1: Reglas de Constante, Identidad y Poder is shared under a CK-12 license and was authored, remixed, and/or curated by CK-12 Foundation via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.

    CK-12 Foundation
    LICENSED UNDER
    CK-12 Foundation is licensed under CK-12 Curriculum Materials License