6.12: Acordes y arcos de ángulo central
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Acordes en Círculos
Teoremas de Acorde
Existen varios teoremas importantes sobre acordes que te ayudarán a analizar mejor los círculos.
1. Teorema de Acorde #1: En el mismo círculo o círculos congruentes, los arcos menores son congruentes si y sólo si sus acordes correspondientes son congruentes.
En ambas fotos,\(\overline{BE}\cong \overline{CD}\) y\(\widehat{BE}\cong \widehat{CD}\).
2. Teorema de Acorde #2: La bisectriz perpendicular de una cuerda también es un diámetro.
Si\(\overline{AD}\perp \overline{BC}\) y\(\overline{BD}\cong \overline{DC}\) entonces\(\overline{EF}\) es un diámetro.
3. Teorema de Acorde #3: Si un diámetro es perpendicular a una cuerda, entonces el diámetro biseca la cuerda y su arco correspondiente.
Si\(\overline{EF}\perp \overline{BC}\), entonces\(\overline{BD}\cong \overline{DC}\)
4. Teorema del acorde #4: En el mismo círculo o círculos congruentes, dos acordes son congruentes si y sólo si son equidistantes del centro.
La distancia más corta de cualquier punto a una línea es la línea perpendicular entre ellos. Si\(FE=EG\) y\(\overline{EF}\perp \overline{EG}\), entonces\(\overline{AB}\) y\(\overline{CD}\) son equidistantes al centro y\(\overline{AB}\cong \overline{CD}\).
¿Y si te dieran un círculo con dos acordes dibujados a través de él? ¿Cómo podrías determinar si estos dos acordes eran congruentes?
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Encuentra el valor de\(x\) y\(y\).
Solución
El diámetro es perpendicular a la cuerda, lo que significa que biseca la cuerda y el arco. Configure ecuaciones para\(x\) y\(y\).
\ (\ begin {array} {rlr}
(3 x-4) ^ {\ circ} & =( 5 x-18) ^ {\ circ} & y+4=2 y+1\\
14 & =2 x & 3=y\\
7 & =x
\ end {array}\)
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
\(BD=12\)y\(AC=3\) en\(\bigodot A\). Encuentra el radio.
Solución
Primero encuentra el radio. \(\overline{AB}\)es un radio, así podemos usar el triángulo rectángulo\ Delta ABC\) con hipotenusa\(\overline{AB}\). Del Teorema del Acorde #3,\(BC=6\).
\(\begin{aligned} 3^2+6^2&=AB^2 \\ 9+36&=AB^2 \\ AB&=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\end{aligned}\)
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
\(\bigodot A\)Utilízala para responder lo siguiente.
- Si\(m\widehat{BD}=125^{\circ}\), encuentra\(m\widehat{CD}\).
- Si\(m\widehat{BC}=80^{\circ}\), encuentra\(m\widehat{CD}\).
Solución
- \(BD=CD\), lo que significa que los arcos también son congruentes. \(m\widehat{CD}=125^{\circ}\).
- \(m\widehat{CD}\cong m\widehat{BD}\)porque\(BD=CD\).
\(\begin{aligned} m\widehat{BC}+m\widehat{CD}+m\widehat{BD}&=360^{\circ} \\ 80^{\circ}+2m\widehat{CD}&=360^{\circ} \\ 2m\widehat{CD}&=280^{\circ} \\ m\widehat{CD}=140^{\circ}\end{aligned}\)
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Encuentra los valores de\(x\) y\(y\).
Solución
El diámetro es perpendicular a la cuerda. Del Teorema de Acorde #3,\(x=6\) y\(y=75^{\circ}\).
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Encuentra el valor de\(x\).
Solución
Debido a que la distancia desde el centro a los acordes es igual, los acordes son congruentes.
\(\begin{aligned} 6x−7&=35 \\ 6x&=42 \\ x&=7 \end{aligned}\)
Revisar
Rellene los espacios en blanco.
- \(\text{_____}\cong \overline{DF}\)
- \(\widehat{AC} \cong \text{_____}\)
- \(\widehat{DJ}\cong \text{_____}\)
- \(\text{_____}\cong \overline{EJ}\)
- \(\angle AGH\cong \text{_____}\)
- \(\angle DGF\cong \text{_____}\)
- Enumere todos los radios congruentes en\(\bigodot G\).
Encuentra el valor del arco indicado en\(\bigodot A\).
- \(m\widehat{BC}\)
Figura\(\PageIndex{11}\) - \(m\widehat{BD}\)
Figura\(\PageIndex{12}\) - \(m\widehat{BC}\)
Figura\(\PageIndex{13}\) - \(m\widehat{BD}\)
Figura\(\PageIndex{14}\) - \(m\widehat{BD} \)
Figura\(\PageIndex{15}\) - \(m\widehat{BD}\)
Figura\(\PageIndex{16}\)
Encuentra el valor de\(x\) y/o\(y\).
-
Figura\(\PageIndex{17}\) -
Figura\(\PageIndex{18}\) -
Figura\(\PageIndex{19}\) - \(AB=32\)
Figura\(\PageIndex{20}\) -
Figura\(\PageIndex{21}\) -
Figura\(\PageIndex{22}\) -
Figura\(\PageIndex{23}\) -
Figura\(\PageIndex{24}\) - \(AB=20\)
Figura\(\PageIndex{25}\) - Encuentra\(m\widehat{AB}\) en la Pregunta 17. Redondea tu respuesta al décimo de grado más cercano.
- Encuentra\(m\widehat{AB}\) en la Pregunta 22. Redondea tu respuesta al décimo de grado más cercano.
En los problemas 25-27, ¿qué se puede concluir sobre el panorama? Afirma un teorema que justifique tu respuesta. Se puede suponer que A es el centro del círculo.
-
Figura\(\PageIndex{26}\) -
Figura\(\PageIndex{27}\) -
Figura\(\PageIndex{28}\)
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 9.4.
El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| acorde | Un segmento de línea cuyos extremos están en un círculo. |
| círculo | El conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto específico, llamado el centro. |
| diámetro | Un acorde que pasa por el centro del círculo. La longitud de un diámetro es dos veces la longitud de un radio. |
| radio | La distancia desde el centro hasta el borde exterior de un círculo. |
Recursos adicionales
Elemento Interactivo
Video: Acordes en Círculos Principios - Básico
Actividades: Acordes en Círculos Preguntas de Discusión
Ayudas de estudio: Círculos: segmentos y longitudes Guía de estudio
Práctica: Acordes y arcos de ángulo central