22.1: La sombra de la Tierra

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En un eclipse lunar, si el ancho de la sombra de la Tierra es el doble del ancho de la Luna, entonces el ancho de la Tierra misma es (muy casi) tres veces el de la Luna —no dos veces, como quizás uno podría pensar. He aquí por qué:

El Sol no es un punto de luz sino una fuente extendida, con un disco que cubre un parche circular en el cielo, de aproximadamente 0.5 grados de ancho. Esto hace que la sombra de la Tierra no sea un cilindro, estirándose hasta el infinito sin estrecharse, sino un cono, con un ángulo de 0.5 grados a través de su ápice C (dibujo). AB es aquí el diámetro de la Tierra, y las direcciones AC y BC representan los rayos de bordes opuestos del disco del Sol, rayos cuyas direcciones difieren en 0.5 grados.

Si\(x\) es el diámetro de la Luna y\(R\) su distancia, entonces según Aristarco, el ancho ED de la sombra a distancia\(R\) es igual\(2x\) (en realidad,\(2.5x\) se acerca más a la marca). Añadimos al dibujo los puntos H y K para que HA = KD =\(x\).

El ancho de la Luna visto desde el punto H es KD =\(x\), y dado que el tamaño de la Luna en el cielo es aproximadamente el mismo que el del Sol, el ángulo KHD (sombreado) también debe ser igual a 0.5 grados. Ahora extendemos la línea AD = R una distancia más R al punto F. Entonces los dos triángulos sombreados HKD y KFD son congruentes (= iguales en tamaño y forma) y tienen el mismo ángulo de 0.5 que el ángulo en C. De hecho, se puede probar ahora que los triángulos GFC y AHD también son congruentes con los dos sombreados.

Se deduce entonces que AC =\(3R\), y de proporciones simples (ver dibujo)\(AB\,=\,3x\).