19.1: Método de Aristarco

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Alrededor del 270 a.C., Aristarco derivó la distancia de la Luna de la Tierra a partir de la duración de un eclipse lunar (Hiparco más tarde encontró un método independiente).

Era comúnmente aceptado en aquellos días que la Tierra era una esfera (aunque su tamaño fue calculado solo unos años después, por Eratóstenos — Ver el capítulo “La Tierra Redonda y Colón”). Los astrónomos también creían que la Tierra era el centro del universo, y que el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas orbitaban a su alrededor. Era natural, entonces, que Aristarco asumiera que la Luna se movía en un gran círculo alrededor de la Tierra.

\(R\)Sea el radio de ese círculo y\(T\) el tiempo que le toma a la Luna dar la vuelta una vez, aproximadamente un mes. En ese tiempo la Luna cubre una distancia de\(2\pi R\), donde\(\pi\approx 3.1415926\ldots\) (pronunciado “pi”) es una constante matemática, la relación de la circunferencia de cualquier círculo a su diámetro.

Un eclipse de la Luna ocurre cuando la Luna pasa por la sombra de la Tierra, en el lado opuesto al Sol (por lo tanto, debe ser una Luna Llena). Si\(r\) es el radio de la Tierra, el ancho de la sombra es cercano al diámetro de la Tierra, o\(2r\). \(t\)Sea el tiempo que tarda el punto medio de la Luna en cruzar el centro de la sombra, alrededor de 3 horas (en eclipses de mayor duración, cuando la Luna cruza el centro de la sombra).

Si la luna se mueve alrededor de la Tierra a una velocidad constante —y lleva tiempo\(T\) (de nuevo, alrededor de un mes) cubrirse\(2\pi R\approx 6.28R\), su velocidad puede expresarse como la relación entre la distancia recorrida y el tiempo que toma como\[V_m=\frac{2\pi R}{T}\] Ya que le toma a la luna unas 3 horas recorrer una distancia de\(2r\), podemos también expresan su velocidad como:\[V_m=\frac{2r}{t}\] Fijando estos iguales entre sí, encontramos:\[\frac{6.28R}{2r}=\frac{T}{t}\] De esto Aristarco obtenido\[\frac{R}{r}\approx 60\] Este resultado se ajusta a la distancia promedio de la Luna aceptada hoy en día, 60 radios terrestres.