2.13 Gráficas de Funciones Racionales a Mano
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Graficar funciones racionales
Si bien no existe un procedimiento estricto para graficar las funciones racionales a mano, hay un flujo de pistas a buscar en la función. En general, tendrá sentido identificar diferentes piezas de información en este orden y grabarlas en un boceto.
Pasos para Graficar Funciones Racionales a Mano
- Examinar el denominador de la función racional para determinar el dominio de la función. Distinguir entre agujeros que son factores que se pueden cancelar y asíntotas verticales que no pueden. Trazar las asíntotas verticales.
- Identificar el comportamiento final de la función comparando los grados del numerador y denominador y determinar si existe una asíntota horizontal u oblicua. Trazar las asíntotas horizontales u oblicuas.
- Identificar los agujeros de la función y trazarlos.
- Identificar los ceros e intercepciones de la función y trazarlos.
- Utilice la prueba de signos para determinar el comportamiento de la función cerca de las asíntotas verticales.
- Conecta todo lo mejor que puedas.
Ahora, aplique esos pasos para graficar la siguiente función:
\(f(x)=\frac{4 x^{3}-2 x^{2}+3 x-1}{8(x-1)^{2}(x+2)}\)
Después de intentar factorizar el numerador puede darse cuenta de que ambos\(x=1\) y\(x=-2\) son asíntotas verticales en lugar de agujeros. La asíntota horizontal es No\(y=\frac{1}{2} .\) hay agujeros. La\(y\) intercepción es:
\(f(0)=-\frac{1}{8 \cdot 2}=\frac{1}{16}\)
El numerador no es factorizable, pero hay un cero entre 0 y 1. Esto lo sabes porque no hay agujeros ni asíntotas entre 0 y 1 y la función cambia de negativo a positivo en esta región.
\(4(0)^{3}-2(0)^{2}+3(0)-1=-1\)
\(4(1)^{3}-2(1)^{2}+3(1)-1=4\)
Armando todo esto en un boceto:
Ejemplos
Anteriormente, se le preguntó por qué es importante bosquejar gráficas a mano. Las computadoras pueden graficar funciones racionales con mayor precisión que las personas. Sin embargo, es posible que las computadoras no puedan explicar por qué una función se comporta de ciertas maneras. Al ser detective y buscar pistas en la ecuación de una función, estás aplicando habilidades analíticas de alto nivel y poderes de deducción. Estas habilidades analíticas son mucho más importantes y transferibles que las técnicas específicas involucradas con las funciones racionales.
Trazar completamente la siguiente función racional.
\(f(x)=\frac{(x-3)^{2}(x-2)^{3}(x-1)(x+2)}{300(x+1)^{2}(x-2) x}\)
ya que esta función ya está factorizada, gran parte del trabajo ya está hecho. Hay un agujero en (2,0). Hay dos asíntotas verticales en\(x=-1,0\). No hay asíntotas horizontales u oblicuas porque el grado del numerador es mucho mayor que el grado del denominador. A medida que\(x\) se hace grande esta función crece sin ataduras. Como\(x\) llegar muy pequeño, esta función disminuye sin límite. La función no tiene\(y\) intercepción porque ahí es donde está una asíntota vertical. Además del agujero en (2, 0), hay ceros en (-2,0), (1,0) y\((3,0) .\) así es como termina pareciendo la gráfica.
Observe en la porción derecha de la gráfica que la curva parece permanecer en el\(x\) eje -axis. De hecho sí va ligeramente por encima y por debajo\(x\) del eje, cruzando a través de él en (1, 0), (2, 0) y (3, 0) antes de comenzar a aumentar.
Estimar una función que tendría las siguientes características gráficas:
Primero piensa en las asíntotas verticales y cómo afectan a la ecuación de la función. Entonces considera ceros y agujeros, y la forma en que la gráfica mira estos lugares. Por último, usa el\(y\) -intercept para refinar tu ecuación.
- La función tiene dos asíntotas verticales en\(x=-2,1\) lo que el denominador debe tener los factores\((x+2)(x-1)\)
- Hay un cero en\(x=-1,\) así que el numerador debe tener un factor de\((x+1)\)
- Hay dos agujeros que parecen anular ceros, lo que significa que el numerador y el denominador deben tener los factores\((x+3)\) y\((x-4)\)
- Debido a que la gráfica va desde arriba del\(x\) eje -hasta debajo del\(x\) eje en\(x=-3\), el grado del exponente del\((x+3)\) factor debe ser en última instancia impar.
- Porque la gráfica se mantiene por encima del\(x\) eje -antes y después\(x=4,\) del grado del\((x-4)\) factor debe ser en última instancia parejo.
Una buena estimación para la función es:
\(f(x)=\frac{(x+1)(x+3)^{4}(x-4)^{3}}{(x+2)(x-1)(x+3)(x-4)}\)
Esta función tiene todas las características básicas, sin embargo no se escala correctamente. Cuando\(x=0\) esta función tiene una\(y\) -intercepción de -216 cuando debería ser sobre\(-2 .\) Así debes dividir por 108 para que la\(y\) intercepción coincida. Aquí hay una mejor estimación para la función:
\(f(x)=\frac{(x+1)(x+3)^{4}(x-4)^{3}}{108(x+2)(x-1)(x+3)(x-4)}\)
Grafique la siguiente función racional:
\(f(x)=\frac{1}{x^{2}+3 x+2}\)
Aquí está la gráfica:
Grafique la siguiente función racional:
\(f(x)=\frac{-x^{4}}{10(x-1)^{2}(x-2)^{2}(x-4)^{2}}\)
Aquí está la gráfica:
Revisar
Utilice la función a continuación para 1-7.
\(f(x)=\frac{2(x+4)(x-3)(x+1)}{8(x-1)^{2}(x+2)}\)
1. Identificar las asíntotas verticales y los agujeros para la función.
2. ¿Con qué valores usarás la prueba de signos para hacer un boceto preciso alrededor de las asíntotas verticales? Completar la prueba de signos para estos valores.
3. Identificar cualquier asíntota horizontal u oblicua para la función.
4. Describir el comportamiento final de la función.
5. Encuentra los ceros de la función.
6. Encuentra la\(y\) -intercepción de la función.
7. Utilice la información de\(1-6\) para bosquejar la función.
Utilice la función a continuación para\(8-14\).
\(g(x)=\frac{\left(x^{2}-9\right)\left(x^{2}-4\right)}{5(x-2)^{2}(x+1)^{2}}\)
8. Identificar las asíntotas verticales y los agujeros para la función.
9. ¿Con qué valores usarás la prueba de signos para hacer un boceto preciso alrededor de las asíntotas verticales? Completar la prueba de signos para estos valores.
10. Identificar cualquier asíntota horizontal u oblicua para la función.
11. Describir el comportamiento final de la función.
12. Encuentra los ceros de la función.
13. Encuentra la\(y\) -intercepción de la función.
14. Utilice la información de 8-13 para bosquejar la función.
15. Grafica la función a continuación a mano.
\(h(x)=\frac{x^{3}+5 x^{2}+2 x-8}{x^{2}-3 x-10}\)