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El Teorema de Pitágoras trabaja sobre triángulos rectos. Si considera que la$$x$$ coordenada de un punto a lo largo del círculo unitario es el coseno y la$$y$$ coordenada del punto es el seno y la distancia al origen es 1 entonces el Teorema de Pitágoras inmediatamente produce la identidad:

\ (
\ begin {array} {l}
y^ {2} +x^ {2} =1\\
\ sin ^ {2} x+\ cos ^ {2} x=1
\ end {array}
\)

Un estudiante observador puede adivinar que existen otras identidades pitagóricas con el resto de funciones trigonométricas. ¿Es$$\tan ^{2} x+\cot ^{2} x=1$$ una identidad legítima?

La prueba de la identidad pitagórica para seno y coseno es esencialmente dibujar un triángulo rectángulo en un círculo unitario, identificando el coseno como la$$x$$ coordenada, el seno como la$$y$$ coordenada y 1 como la hipotenusa.

$$\cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1$$

o

$$\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$$

Las otras dos identidades pitagóricas son:

• $$1+\cot ^{2} x=\csc ^{2} x$$
• $$\tan ^{2} x+1=\sec ^{2} x$$

Para derivar estas dos identidades pitagóricas, dividir la identidad pitagórica original por$$\sin ^{2} x$$ y$$\cos ^{2} x$$ respectivamente.

Para derivar la identidad pitagórica$$1+\cot ^{2} x=\csc ^{2} x$$ dividirla$$\sin ^{2} x$$ y simplificarla.

\begin{aligned} \frac{\sin ^{2} x}{\sin ^{2} x}+\frac{\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x} &=\frac{1}{\sin ^{2} x} \\ 1+\cot ^{2} x &=\csc ^{2} x \end{aligned}

De igual manera, para derivar la identidad pitagórica$$\tan ^{2} x+1=\sec ^{2} x$$, dividirla$$\cos ^{2} x$$ y simplificar.

\ frac {\ sin ^ {2} x} {\ cos ^ {2} x} +\ frac {\ cos ^ {2} x} {\ cos ^ {2} x} &=\ frac {1} {\ cos ^ {2} x}\
\ tan ^ {2} x+1 &=\ seg ^ {2} x

## Ejemplos

### Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó si$$\tan ^{2} x+\cot ^{2} x=1$$ es una identidad legítima. Las cofunciones no siempre están conectadas directamente a través de una identidad pitagórica.

$$\tan ^{2} x+\cot ^{2} x \neq 1$$

Visualmente, el triángulo rectángulo que conecta tangente y secante también se puede observar en el círculo unitario. La mayoría de la gente no sabe que tangente se denomina “tangente” porque se refiere a la distancia de la línea tangente desde el punto en el círculo unitario hasta el$$x$$ eje. Mira la imagen de abajo y piensa en por qué tiene sentido eso$$\tan x$$ y$$\sec x$$ están como marcadas. $$\tan x=\frac{o p p}{a d j} .$$ya que el lado adyacente es igual a 1 (el radio del círculo), tan$$x$$ simplemente equivale al lado opuesto. Una lógica similar puede explicar la ubicación de$$\sec x$$.

### Ejemplo 2

Simplifica la siguiente expresión:$$\frac{\sin x(\csc x-\sin x)}{1-\sin x}$$

\ (
\ frac {\ sin x (\ csc x-\ sin x)} {1-\ sin x} &=\ frac {\ sin x\ cdot\ cdot\ csc x-\ sin ^ {2} x} {1-\ sin x}\\ sin}\\
&=\ frac {1-\ sin ^ {2} x} {1-\ sin x}\\
&= frac {(1-\ sin x) (1+\ sin x)} {1-\ sin x}\\
&=1+\ sin x
\)

Tenga en cuenta que factorizar la identidad pitagórica es una de las aplicaciones más potentes y comunes.

### Ejemplo 3

Demostrar la siguiente identidad trigonométrica. $$\left(\sec ^{2} x+\csc ^{2} x\right)-\left(\tan ^{2} x+\cot ^{2} x\right)=2$$

Agrupar los términos y aplicar una forma diferente de las dos segundas identidades pitagóricas que son$$1+\cot ^{2} x=\csc ^{2} x$$ y$$\tan ^{2} x+1=\sec ^{2} x$$

\ (
\ izquierda (\ sec ^ {2} x+\ csc ^ {2} x\ derecha) -\ izquierda (\ tan ^ {2} x+\ cot ^ {2} x\ derecha) &=\ seg ^ {2} x-\ tan ^ {2} x+\ csc ^ {2} x-\ cot ^ {2} x\\
&=1+1\\
=2
\)

### Ejemplo 4

Simplifica la siguiente expresión. Nota:$$\sec ^{2} x=\frac{1}{\cos ^{2} x}$$

\ (
\ izquierda (\ sec ^ {2} x\ derecha)\ izquierda (1-\ sin ^ {2} x\ derecha) -&\ izquierda (\ frac {\ sin x} {\ csc x} +\ frac {\ cos x} {\ seg x}\ derecha)\\
(&\ izquierda. \ sec ^ {2} x\ derecha)\ izquierda (1-\ sin ^ {2} x\ derecha) -\ izquierda (\ frac {\ sin x} {\ csc x} +\ frac {\ cos x} {\ sec x}\ derecha)\\
&=\ seg ^ {2} x\ cdot\ cos ^ {2} x-\ izquierda (\ sin ^ {2} x+\ cos ^ {2} x\ derecha)\\
&=1-1\\
&=0
\)

### Ejemplo 5

Simplifica la siguiente expresión.

\ (
(\ cos t-\ sin t) ^ {2} + (\ cos t+\ sin t) ^ {2}
\)

Obsérvese que inicialmente, la expresión no es la misma que la identidad pitagórica.

\ (
\ begin {array} {l}
(\ cos t-\ sin t) ^ {2} + (\ cos t+\ sin t) ^ {2}\\
=\ cos ^ {2} t-2\ cos t\ sin t+\ sin ^ {2} t+\ cos ^ {2} t+2\ cos t\ sin t+\ sin ^ {2} t\
=1-2\ cos t\ sin t+1+2\ cos t\ sin t\\
=2
\ end {array}
\)

Revisar

Demostrar cada uno de los siguientes:

1. $$\left(1-\cos ^{2} x\right)\left(1+\cot ^{2} x\right)=1$$

2. $$\cos x\left(1-\sin ^{2} x\right)=\cos ^{3} x$$

3. $$\sin ^{2} x=(1-\cos x)(1+\cos x)$$

4. $$\sin x=\frac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{\csc x}$$

5. $$\sin ^{4} x-\cos ^{4} x=\sin ^{2} x-\cos ^{2} x$$

6. $$\sin ^{2} x \cos ^{3} x=\left(\sin ^{2} x-\sin ^{4} x\right)(\cos x)$$

Simplifica cada expresión tanto como sea posible.

7. $$\tan ^{3} x \csc ^{3} x$$

8. $$\frac{\csc ^{2} x-1}{\sec ^{2} x}$$

9. $$\frac{1-\sin ^{2} x}{1+\sin x}$$

10. $$\sqrt{1-\cos ^{2} x}$$

11. $$\frac{\sin ^{2} x-\sin ^{4} x}{\cos ^{2} x}$$

12. $$\left(1+\tan ^{2} x\right)\left(\sec ^{2} x\right)$$

13. $$\frac{\sin ^{2} x+\tan ^{2} x+\cos ^{2} x}{\sec x}$$

14. $$\frac{1+\tan ^{2} x}{\csc ^{2} x}$$

15. $$\frac{1-\sin ^{2} x}{\cos x}$$

...

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