6.4: Identidades Dobles, Mitad y Reductoras de Potencia

Estas identidades son significativamente más involucradas y menos intuitivas que las identidades anteriores. Al practicar y trabajar con estas identidades avanzadas, su caja de herramientas y la fluidez sustituyendo y demostrando por su cuenta aumentarán. Cada identidad en este concepto se nombra acertadamente. Los ángulos dobles trabajan en encontrar\(\sin 80^{\circ}\) si ya lo sabes\(\sin 40^{\circ}\). Los medios ángulos te permiten encontrar\(\sin 15^{\circ}\) si ya sabes\(\sin 30^{\circ}\). Las identidades reductoras de energía te permiten encontrar\(\sin ^{2} 15^{\circ}\) si conoces el seno y el coseno de\(30^{\circ}\)

¿Qué es\(\sin ^{2} 15^{\circ} ?\)

Identidades de ángulo doble, medio ángulo y reducción de potencia

Identidades de doble ángulo

Las identidades de doble ángulo se prueban aplicando las identidades de suma y diferencia. Se dejan como problemas de revisión. Estas son las identidades de doble ángulo.

• \(\sin 2 x=2 \sin x \cos x\)
• \(\cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\)
• \(\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}\)

Identidades de medio ángulo

Las identidades de medio ángulo son una versión reescrita de las identidades reductoras de potencia. Las pruebas se dejan como problemas de revisión.

• \(\sin \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}\)
• \(\cos \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}\)
• \(\tan \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)

Identidades reductoras de energía

Las identidades reductoras de potencia permiten escribir una función trigonométrica que se cuadra en términos de potencias más pequeñas. Las pruebas se dejan como ejemplos y problemas de revisión.

• \(\sin ^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{2}\)
• \(\cos ^{2} x=\frac{1+\cos 2 x}{2}\)
• \(\tan ^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{1+\cos 2 x}\)

Las identidades de reducción de potencia son más útiles cuando se le pide que reescriba expresiones\(\sin ^{4} x\) como una expresión sin potencias mayores que una. Si bien\(\sin x \cdot \sin x \cdot \sin x \cdot \sin x\) técnicamente simplifica esta expresión según sea necesario, se debe tratar de conseguir que los términos sumen juntos no se multipliquen juntos.

\(\begin{aligned} \sin ^{4} x &=\left(\sin ^{2} x\right)^{2} \\ &=\left(\frac{1-\cos 2 x}{2}\right)^{2} \\ &=\frac{1-2 \cos 2 x+\cos ^{2} 2 x}{4} \\ &=\frac{1}{4}\left(1-2 \cos 2 x+\frac{1+\cos 4 x}{2}\right) \end{aligned}\)

Ejemplos

Ejemplo 1

Antes, se le pidió que encontrara\(\sin ^{2} 15^{\circ}\). Para poder identificar completamente\(\sin ^{2} 15^{\circ}\) es necesario utilizar la fórmula reductora de potencia.

\ (
\ begin {alineado}
\ sin ^ {2} x &=\ frac {1-\ cos 2 x} {2}\
\ sin ^ {2} 15^ {\ circ} &=\ frac {1-\ cos 30^ {\ circ}} {2} =\ frac {1} {2} -\ frac {\ sqrt {3}} {4}\
=\ frac {2-\ sqrt {3}} {4}
\ final {alineado}
\)

Ejemplo 2

Escribe la siguiente expresión con solo\(\sin x\) y\(\cos x: \sin 2 x+\cos 3 x\).

\ (
\ comenzar {alineado}
\ sin 2 x+\ cos 3 x &=2\ sin x\ cos x+\ cos (2 x+x)\\
&=2\ sin x\ cos x+\ cos 2 x\ cos x-\ sin 2 x\ sin x\
&=2\ sin x\ cos x+\ izquierda (\ cos ^ {2} x-\ sin ^ {2} x\ sin ^ {2} x\ derecha)\ cos x- (2\ sin x\ cos x)\ sin x\\
&=2\ sin x\ cos x+\ cos ^ {3} x-\ sin ^ {2} x\ cos x-2\ sin ^ {2} x\ cos x\
&=2\ sin x\ cos x+\ cos ^ {3} x-3\ sin ^ {2} x\ cos x
\ fin {alineado}
\)

Ejemplo 3

Usa los medios ángulos para encontrar un valor exacto del bronceado\(22.5^{\circ}\) sin usar una calculadora.

\ (
\ begin {array} {l}
\ tan\ frac {x} {2} =\ pm\ sqrt {\ frac {1-\ cos x} {1+\ cos x}}\
\ qquad\ begin {alineado}
\ tan 22.5 ^ {\ circ} &=\ tan\ frac {45^ {\ circ}} {2} =\ pm\ sqrt {\ frac {1-\ cos 45^ {\ circ}} {1+\ cos 45^ {\ circ}}} =\ pm\ sqrt {\ frac {1-\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {1+\ frac {\ sqrt {2}} {2}} =\ pm\ sqrt {\ frac {\ frac {2} {2} -\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {\ frac {2} {2} +\ frac {\ sqrt {2}} {2}} =\ pm\ sqrt {\ frac {2} {2+\ sqrt {2}}}\\
&=\ pm\ sqrt {\ frac {(2-\ sqrt {2}) ^ {2}} {2}}
\ end {alineado}
\ end {array}
\)

Ejemplo 4

Demostrar la identidad reductora de potencia para seno.

\(\sin ^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{2}\)

Usando la identidad de ángulo doble para coseno:

\ (\ begin {array} {l}
\ cos 2 x=\ cos ^ {2} x-\ sin ^ {2} x\
\ cos 2 x=\ left (1-\ sin ^ {2} x\ right) -\ sin ^ {2} x\
\ cos 2 x=1-2\ sin ^ {2} x
\ end {array}
\)

Esta expresión es una expresión equivalente a la identidad de doble ángulo y a menudo se considera una forma alternativa.

Ejemplo 5

Simplifica la siguiente identidad. \(\sin ^{4} x-\cos ^{4} x\).

Aquí están los pasos:
\ (
\ begin {aligned}
\ sin ^ {4} x-\ cos ^ {4} x &=\ left (\ sin ^ {2} x-\ cos ^ {2} x\ derecha)\ left (\ sin ^ {2} x+\ cos ^ {2} x\ right)\\
&=-\ left (\ cos ^ {2} x-\ sin ^ {2} x\ derecha)\\
&=-\ cos 2 x
\ end {alineado}
\)

Revisar

Demostrar las siguientes identidades.

1. \(\sin 2 x=2 \sin x \cos x\)

2. \(\cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\)

3. \(\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}\)

4. \(\cos ^{2} x=\frac{1+\cos 2 x}{2}\)

5. \(\tan ^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{1+\cos 2 x}\)

6. \(\sin \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}\)

7. \(\cos \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}\)

8. \(\tan \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)

9. \(\csc 2 x=\frac{1}{2} \csc x \sec x\)

10. \(\cot 2 x=\frac{\cot ^{2} x-1}{2 \cot x}\)

Encuentra el valor de cada expresión usando identidades de medio ángulo.

11. \(\tan 15^{\circ}\)

12. \(\tan 22.5^{\circ}\)

13. \(\sec 22.5^{\circ}\)

14. Demostrar que\(\tan \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}\)

15. Utilizando tus conocimientos de la respuesta a la pregunta\(14,\) demuestra eso\(\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}\).