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# 8.1 Sistemas de dos ecuaciones y dos incógnitas

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El costo de dos planes de telefonía celular se puede escribir como un sistema de ecuaciones basado en el número de minutos utilizados y la tarifa base mensual. Como consumidor, sería útil saber cuándo cuestan los dos planes lo mismo y cuándo es un plan más barato.

El Plan A cuesta $40 por mes más$0.10 por cada minuto de tiempo de conversación.

El plan B cuesta $25 mensuales más$0.50 por cada minuto de conversación.

El Plan B tiene un costo inicial menor, pero como cuesta más por minuto, puede que no sea el plan adecuado para alguien a quien le gusta pasar mucho tiempo al teléfono. ¿Cuándo cuestan los dos planes la misma cantidad?

Resolviendo sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Hay muchas maneras de resolver un sistema que has aprendido en el pasado, incluyendo la sustitución y la intersección gráfica. Aquí te enfocarás en resolver usando la eliminación porque los conocimientos y habilidades utilizadas se transferirán directamente al uso de matrices.

Al resolver un sistema, lo primero que hay que hacer es contar el número de variables que faltan y el número de ecuaciones. El número de variables tiene que ser igual o menor que el número de ecuaciones. Se pueden resolver dos ecuaciones y dos variables, pero una ecuación con dos variables no puede.

Aquí está el procedimiento para resolver un sistema usando el método de eliminación:

• Paso 1: Escribir ambas ecuaciones con dos variables en forma estándar,$$A x+B y=C$$. Esta forma ayuda a alinear las variables.
• Paso 2: Determine qué variable desea eliminar.
• Paso 3: Escala cada ecuación según sea necesario multiplicando por constantes.
• Paso 4: Suma las ecuaciones juntas. Esto debería reducir tanto el número de ecuaciones como el número de variables dejando una ecuación y una variable.
• Paso 5: Resolver y sustituir para determinar el valor de la segunda variable.

Aquí hay un sistema de dos ecuaciones y dos variables en forma estándar:$$5 x+12 y=72$$ y$$3 x-2 y=18$$. Observe que hay una$$x$$ columna y una$$y$$ columna en el lado izquierdo y una columna constante en el lado derecho cuando reescribe las ecuaciones como se muestra. También observe que si agrega el sistema como escrito no se eliminará ninguna variable.

Ecuación 1:$$5 x+12 y=72$$

Ecuación 2:$$3 x-2 y=18$$

Elije estratégicamente eliminar$$y$$ escalando la segunda ecuación por 6 para que el coeficiente de$$y$$ coincida en 12 y -12.

\begin{aligned} 5 x+12 y &=72 \\ 18 x-12 y &=108 \end{aligned}

Sumar las dos ecuaciones:

$$23 x=180$$

$$x=\frac{180}{23}$$

El valor para$$x$$ podría sustituirse en cualquiera de las ecuaciones originales y el resultado podría resolverse$$y$$; sin embargo, dado que el valor es una fracción será más fácil repetir el proceso de eliminación para resolverlo$$x$$. Esta vez tomarás las dos primeras ecuaciones y eliminarás$$x$$ haciendo que los coeficientes de$$x$$ sean 15 y$$-15 .$$ Escala la primera ecuación por un factor de 3 y escalarás la segunda ecuación por un factor de$$-5 .$$

Ecuación 1:$$15 x+36 y=216$$

Ecuación$$2:-15 x+10 y=-90$$

Sumando las dos ecuaciones:

$$0 x+46 y=126$$

$$y=\frac{126}{46}=\frac{63}{23}$$

El punto$$\left(\frac{180}{23}, \frac{63}{23}\right)$$ es donde se cruzan estas dos líneas.

## Ejemplos

##### Ejemplo 1

Antes, te preguntaron sobre dos planes telefónicos.

El Plan A cuesta $40 por mes más$0.10 por cada minuto de tiempo de conversación.

El plan B cuesta $25 mensuales más$0.50 por cada minuto de conversación.

Si quieres saber cuándo cuestan lo mismo los dos planes, puedes representar cada plan con una ecuación y resolver el sistema de ecuaciones. Dejar$$y$$ representar el costo y$$x$$ representar el número de minutos.

$$y=0.10 x+40$$

$$y=0.50 x+25$$

Primero pones estas ecuaciones en forma estándar.

$$x-10 y=-400$$

$$x-2 y=-50$$

Después escalas la segunda ecuación por -1 y sumas las ecuaciones juntas y resuelves para$$y$$.

\begin{aligned}-8 y &=-350 \\ y &=43.75 \end{aligned}

Para resolver$$x$$, puedes escalar la segunda ecuación$$-5,$$ sumando las ecuaciones y resolviendo para$$x$$.

\begin{aligned}-4 x &=-150 \\ x &=37.5 \end{aligned}

Los costos equivalentes de plan$$\mathrm{A}$$ y plan$$\mathrm{B}$$ ocurrirán a 37.5 minutos de tiempo de conversación con un costo de$$\ 43.75 .$$

##### Ejemplo 2

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{aligned} 6 x-7 y &=8 \\ 15 x-14 y &=21 \end{aligned}

Escalar la primera ecuación por -2 permitirá eliminar el$$y$$ término cuando se sumen las ecuaciones.

\begin{aligned}-12 x+14 y &=-16 \\ 15 x-14 y &=21 \end{aligned}

La suma es:

$$3 x=5$$

$$x=\frac{5}{3}$$

Se puede sustituir$$x$$ en la primera ecuación para resolver$$y$$.

\begin{aligned} 6 \cdot \frac{5}{3}-7 y &=8 \\ 10-7 y &=8 \\ -7 y &=-2 \\ y &=\frac{2}{7} \end{aligned}

El punto$$\left(\frac{5}{3}, \frac{2}{7}\right)$$ es donde se cruzan estas dos líneas.

##### Ejemplo 3

Resuelve el siguiente sistema usando eliminación:

$$5 x-y=22$$

$$-2 x+7 y=19$$

Comience escalando la primera ecuación por 7 y observe que el$$y$$ coeficiente se eliminará inmediatamente cuando se sumaran las ecuaciones.

$$35 x-7 y=154$$

$$-2 x+7 y=19$$

Comience escalando la primera ecuación por 7 y observe que el$$y$$ coeficiente se eliminará inmediatamente cuando se sumaran las ecuaciones.

$$35 x-7 y=154$$

$$-2 x+7 y=19$$

Agregar, resolver para$$x=\frac{173}{33}$$. En lugar de sustituir, practique eliminar$$x$$ escalando la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por 5.

$$10 x-2 y=44$$

$$-10 x+35 y=95$$

Agregar, resolver para$$y$$.

Respuesta Final:$$\left(\frac{173}{33}, \frac{139}{33}\right)$$

##### Ejemplo 4

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{aligned} 5 \cdot \frac{1}{x}+2 \cdot \frac{1}{y} &=11 \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y} &=4 \end{aligned}

Sigue aplicándose la estrategia de eliminación. Se puede eliminar el$$\frac{1}{y}$$ término si la segunda ecuación se escala por un factor de -2

$$5 \cdot \frac{1}{x}+2 \cdot \frac{1}{y}=11$$

$$-2 \cdot \frac{1}{x}-2 \cdot \frac{1}{y}=-8$$

Sumar las ecuaciones juntas y resolver para$$x$$.

\begin{aligned}-3 \cdot \frac{1}{x}+0 \cdot \frac{1}{y} &=3 \\ -3 \cdot \frac{1}{x} &=3 \\ \frac{1}{x} &=-1 \\ x &=-1 \end{aligned}

Sustituir en la segunda ecuación y resolver para$$y$$.

\begin{aligned} \frac{1}{-1}+\frac{1}{y} &=4 \\ -1+\frac{1}{y} &=4 \\ \frac{1}{y} &=5 \\ y &=\frac{1}{5} \end{aligned}

El punto$$\left(-1, \frac{1}{5}\right)$$ es el punto de intersección entre estas dos curvas.

##### Ejemplo 5

Resuelve el siguiente sistema usando eliminación:

\begin{aligned} 11 \cdot \frac{1}{x}-5 \cdot \frac{1}{y} &=-38 \\ 9 \cdot \frac{1}{x}+2 \cdot \frac{1}{y} &=-25 \end{aligned}

Para eliminar la$$\frac{1}{y},$$ escala de la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por$$5 .$$

Para eliminar la$$\frac{1}{x},$$ escala la primera ecuación por -9 y la segunda ecuación por 11

Respuesta Final:$$\left(-\frac{1}{3}, 1\right)$$

##### Revisar

Resolver cada sistema de ecuaciones utilizando el método de eliminación.

1. $$x+y=-4 ;-x+2 y=13$$

2. $$\frac{3}{2} x-\frac{1}{2} y=\frac{1}{2} ;-4 x+2 y=4$$

3. $$6 x+15 y=1 ; 2 x-y=19$$

4. $$x-\frac{2 y}{3}=\frac{-2}{3} ; 5 x-2 y=10$$

5. $$-9 x-24 y=-243 ; \frac{1}{2} x+y=\frac{21}{2}$$

6. $$5 x+\frac{28}{3} y=\frac{176}{3} ; y+x=10$$

7. $$2 x-3 y=50 ; 7 x+8 y=-10$$

8. $$2 x+3 y=1 ; 2 y=-3 x+14$$

9. $$2 x+\frac{3}{5} y=3 ; \frac{3}{2} x-y=-5$$

10. $$5 x=9-2 y ; 3 y=2 x-3$$

11. ¿Cómo saber si un sistema de ecuaciones no tiene solución?

12. Si un sistema de ecuaciones no tiene solución, ¿qué implica esto sobre la relación de las curvas en la gráfica?

13. Dé un ejemplo de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas con un número infinito de soluciones. Explica cómo sabes que el sistema tiene un número infinito de soluciones.

14. Resolver

\begin{aligned} 12 \cdot \frac{1}{x}-18 \cdot \frac{1}{y} &=4 \\ 8 \cdot \frac{1}{x}+9 \cdot \frac{1}{y} &=5 \end{aligned}

15. Resolver

\begin{aligned} 14 \cdot \frac{1}{x}-5 \cdot \frac{1}{y} &=-3 \\ 7 \cdot \frac{1}{x}+2 \cdot \frac{1}{y} &=3 \end{aligned}

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