Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

10.1 Coordenadas polares y rectangulares

  • Page ID
    107446
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    En el sistema de coordenadas rectangulares, los puntos se identifican por sus distancias desde los\(y\) ejes\(x\) y. En el sistema de coordenadas polares, los puntos se identifican por su ángulo en el círculo unitario y su distancia desde el origen. Se puede utilizar la trigonometría básica del triángulo rectángulo para traducir de un lado a otro entre las dos representaciones del mismo punto. ¿Cómo se ven afectadas las líneas y otras funciones por este nuevo sistema de coordenadas?

    Coordenadas polares y rectangulares

    Las coordenadas rectangulares son las\((x, y)\) coordenadas ordinarias a las que estás acostumbrado.

    Las coordenadas polares representan el mismo punto, pero describen el punto por su distancia desde el origen\((r)\) y su ángulo en el círculo unitario\((\theta)\). Para traducir de ida y vuelta entre coordenadas polares y rectangulares se deben utilizar las relaciones trigonométricas básicas:

    \(\sin \theta=\frac{y}{r} \rightarrow r \cdot \sin \theta=y\)

    \(\cos \theta=\frac{x}{r} \rightarrow r \cdot \cos \theta=x\)

    \(\tan \theta=\frac{y}{x} \rightarrow \theta=\tan ^{-1} \frac{y}{x}\)

    También se puede expresar la relación entre\(x, y\) y\(r\) utilizando el Teorema de Pitágoras.

    \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)

    Tenga en cuenta que las coordenadas en forma polar no son únicas. Esto se debe a que hay un número infinito de ángulos coterminales que apuntan hacia cualquier\((x, y)\) coordenada dada.

    Por ejemplo, el punto (3,4) puede escribirse en coordenadas polares de al menos tres formas diferentes. Para encontrar\(\theta\), usa la tercera ecuación desde arriba y para encontrar\(r\) usa el teorema de pitágoras.

    \(\tan \theta=\frac{4}{3}\)

    \(\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1^{\circ}\)

    \(r^{2}=3^{2}+4^{2}\)

    \(r=5\)

    Tres coordenadas polares equivalentes para el punto (3,4) son:

    \(\left(5,53.1^{\circ}\right), \quad\left(5,413.1^{\circ}\right), \quad\left(-5,233.1^{\circ}\right)\)

    Observe cómo la tercera coordenada apunta en la dirección opuesta y tiene un radio aparentemente negativo. Esto significa ir en la dirección opuesta al ángulo.

    Una vez que puedas traducir de un lado a otro entre puntos, usa las mismas sustituciones para cambiar ecuaciones también. Se escribe una ecuación polar con el radio en función del ángulo. Esto significa que una ecuación en forma polar debe escribirse en la forma\(r=\) ___.

    Para escribir una ecuación en forma polar, utilice las ecuaciones de conversión para sustituir. Por ejemplo, para convertir\(y=-x+1\) a forma polar hacer sustituciones para\(y\) y\(x\). Entonces, resuelve para\(r\).

    \(\begin{aligned} r \cdot \sin \theta &=-r \cdot \cos \theta+1 \\ r \cdot \sin \theta+r \cdot \cos \theta &=1 \\ r(\sin \theta+\cos \theta) &=1 \\ r &=\frac{1}{\sin \theta+\cos \theta} \end{aligned}\)

    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, se le preguntó cómo se pueden representar las líneas en el sistema de coordenadas polares. La forma general de expresar una línea\(y=m x+b\) en forma polar es\(r=\frac{b}{\sin \theta-m \cdot \cos \theta}\).

    Ejemplo 2

    Expresar la siguiente ecuación usando coordenadas rectangulares:\(r=\frac{8}{1+2 \cos \theta}\).

    Usa el hecho de que\(r=\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}\) y\(r \cos \theta=x\).

    \(\begin{aligned} r+2 r \cdot \cos \theta &=8 \\ \pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}+2 x &=8 \\ \pm \sqrt{x^{2}+y^{2}} &=8-2 x \\ x^{2}+y^{2} &=64-32 x+4 x^{2}\\-3 x^{2}+32 x+y^{2}-64 &=0 \end{aligned}\)

    Esta es la ecuación de una hipérbola.

    Ejemplo 3

    Esboce la siguiente ecuación polar:\(r=3\).

    Como theta no está en la ecuación, puede variar libremente. Esta sencilla ecuación produce una perfecta

    círculo de radio 3 centrado en el origen.

    Puedes demostrar que esta ecuación es equivalente a\(x^{2}+y^{2}=9\)

    Ejemplo 4

    Esboce la siguiente ecuación polar:\(r=\theta\) con\(\theta: 0 \leq \theta \leq 2 \pi\).

    La ecuación\(r=\theta\) es un ejemplo de una ecuación polar que no se puede expresar fácilmente en forma rectangular. Para esbozar la gráfica, identifique algunos puntos clave:

    \((0,0),\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right),(\pi, \pi),\left(\frac{3 \pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right),(2 \pi, 2 \pi)\). Deberías ver que la forma es muy reconocible como una espiral.

    Ejemplo 5

    Traducir la siguiente expresión polar en coordenadas rectangulares y luego graficar.

    \(r=2 \cdot \sec \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\)

    Simplifique primero la ecuación polar antes de convertirla a coordenadas rectangulares.

    \(\begin{aligned} r &=2 \cdot \sec \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right) \\ r \cdot \cos \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right) &=2 \\ r \cdot \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) &=2 \\ r \cdot \sin \theta &=2 \\ y &=2 \end{aligned}\)

    Revisar

    Trazar las siguientes coordenadas polares.

    1. \(\left(3, \frac{5 \pi}{6}\right)\)

    2. \(\left(2, \frac{\pi}{2}\right)\)

    3. \(\left(4,-\frac{7 \pi}{6}\right)\)

    4. \(\left(-2, \frac{5 \pi}{3}\right)\)

    Dar dos conjuntos alternos de coordenadas para cada punto.

    5. \(\left(2,60^{\circ}\right)\)

    6. \(\left(5,330^{\circ}\right)\)

    7. \(\left(2,210^{\circ}\right)\)

    Grafica cada ecuación.

    8. \(r=4\)

    9. \(\theta=\frac{\pi}{4}\)

    10. \(r=2 \theta\)con\(\theta: 0 \leq \theta \leq 2 \pi\).

    Convierte cada punto a forma rectangular.

    11. \(\left(4, \frac{2 \pi}{3}\right)\)

    12. \(\left(3, \frac{\pi}{4}\right)\)

    13. \(\left(5, \frac{\pi}{3}\right)\)

    Convertir cada punto a forma polar usando radianes donde\(0 \leq \theta<2 \pi\).

    14. (1,3)

    15. (1, -4)

    16. (2,6)

    Convierte cada ecuación a forma polar.

    17. \(x=3\)

    18.\ (2 x+4 y=2\


    This page titled 10.1 Coordenadas polares y rectangulares is shared under a CK-12 license and was authored, remixed, and/or curated by CK-12 Foundation via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.

    CK-12 Foundation
    LICENSED UNDER
    CK-12 Foundation is licensed under CK-12 Curriculum Materials License