10.3 Parámetros y Eliminación de Parámetros
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En una ecuación paramétrica, las variables\(x\) y no\(y\) son dependientes entre sí. En cambio, ambas variables dependen de una tercera variable,\(t\). Este es el parámetro o un número que afecta el comportamiento de la ecuación. Por lo general\(t\) se mantendrá por el tiempo. Un ejemplo del mundo real de la relación entre\(x, y\) y\(t\) es la altura, peso y edad de un bebé.
Tanto la altura como el peso de un bebé dependen del tiempo, pero también existe claramente una relación positiva entre solo la altura y el peso del bebé. Al enfocarse en la relación entre la altura y el peso y dejar que el tiempo se esconda en el fondo, se crea una relación paramétrica entre las tres variables.
¿Qué otros tipos de situaciones del mundo real se modelan con ecuaciones paramétricas?
Eliminando el parámetro
En tu calculadora gráfica hay un modo paramétrico. Una vez que ponga su calculadora en modo paramétrico, en la pantalla gráfica ya no verá\(y=\) ___, en su lugar, verá:
Observe cómo para la gráfica uno, la calculadora está pidiendo dos ecuaciones basadas en la variable\(T\):
\(x_{1 T}=f(t)\)
\(y_{1 T}=g(t)\)
Esto se llama forma paramétrica. La forma paramétrica se refiere a una relación que incluye\(x=f(t)\) y\(y=g(t)\). Para transformar una ecuación paramétrica en una normal, es necesario hacer un proceso llamado “eliminar el parámetro”. “Eliminar el parámetro” es una frase que significa convertir una ecuación paramétrica que tiene\(x=f(t)\) y\(y=g(t)\) en solo una relación entre\(y\) y\(x\). Estás eliminando\(t\). Para ello, se debe resolver la\(x=f(t)\) ecuación para\(t=f^{-1}(x)\) y sustituir este valor de\(t\) en la\(y\) ecuación. Esto producirá una función normal de\(y\) basada en\(x\).
Hay dos beneficios principales de graficar en forma paramétrica. Primero, es sencillo graficar una parte de una función regular usando la configuración\(T_{\min }, T_{\max }\) y\(T_{\text {step }}\) en la ventana. En segundo lugar, la forma paramétrica le permite graficar proyectiles en movimiento y ver los efectos del tiempo.
Una tortuga y una liebre comienzan a 202 pies de distancia y luego compiten hacia una bandera a medio camino entre ellas. La liebre decide tomar una siesta y darle a la tortuga una ventaja de 21 segundos. La liebre corre a 9.8 pies por segundo y la tortuga se mueve a 3.2 pies por segundo. Esta situación puede ser representada por ecuaciones paramétricas y podemos usar las ecuaciones para determinar quién gana esta épica carrera y por cuánto.
Primero dibuja una imagen y luego represente cada carácter con un conjunto de ecuaciones paramétricas.
La posición de la tortuga es (-101,0) en\(t=0\) y (-97.8,0) en\(t=1\). Se puede deducir que la ecuación que modela la posición de la tortuga es:
\(x_{1}=-101+3.2 \cdot t\)
\(y_{1}=0\)
La posición de la liebre es (101,0) en\(t=21\) y (91.2,0) en\(t=22\). Tenga en cuenta que no tiene sentido hacer ecuaciones modelando la posición de la liebre antes de que hayan transcurrido 21 segundos porque la Liebre está tomando la siesta y no se mueve. Se puede configurar una ecuación para resolver para la posición inicial teórica de la liebre si hubiera estado corriendo todo el tiempo.
\(x_{2}=b-9.8 t\)
\(101=b-9.8 \cdot 21\)
\(305.8=b\)
La ecuación de posición de la liebre después\(t=21\) puede ser modelada por:
\(x_{2}=305.8-9.8 \cdot t\)
\(y_{2}=0\)
La tortuga cruza\(x=0\) cuando\(t \approx 31.5\). La liebre cruza\(x=0\) cuando\(t \approx 31.2\). La liebre gana por cerca de 1.15 pies.
Ahora, usa tu calculadora para mostrar estas ecuaciones paramétricas. \(T\)
aquí hay muchos ajustes que debes conocer para ecuaciones paramétricas que dan vida a preguntas como esta. El TI-84 tiene características que permiten ver cómo sucede la carrera.
Primero, establezca el modo en gráficos simultáneos. Esto mostrará la posición tanto de la tortuga como de la liebre al mismo tiempo.
A continuación, cambie la ventana gráfica para que\(t\) varíe entre 0 y 32 segundos. El\(T_{\text {step }}\) determina con qué frecuencia calculará los puntos la calculadora. Cuanto más grande sea\(T_{\text {step }}\), más rápido y con menor precisión se trazará la gráfica. También cambia el\(x\) para variar entre -110 y 110 para que puedas ver las posiciones de ambos caracteres.
Ingrese las ecuaciones paramétricas. Alternar a la izquierda del\(x\) y cambiar el cursor de una línea a una línea con una burbuja al final. Esto muestra más claramente su posición.
Ahora cuando graficas deberías ver cómo se desarrolla la carrera mientras los dos gráficos de posición corren uno hacia el otro.
Ejemplos
Anteriormente, se le preguntó qué tipos de situaciones del mundo real se pueden modelar mediante ecuaciones paramétricas. Las ecuaciones paramétricas se utilizan a menudo cuando solo una porción de una gráfica es útil. Al limitar el dominio de\(t\), puede graficar el intervalo preciso de la función que desee. Las ecuaciones paramétricas también son útiles cuando dos variables diferentes dependen conjuntamente de una tercera variable y se desea observar la relación entre las dos variables dependientes. Esto es muy común en las estadísticas donde una variable subyacente puede ser realmente la causa de un problema y el observador sólo puede examinar la relación entre los resultados que ve. En el mundo físico, las ecuaciones paramétricas son excepcionales en la posición gráfica a lo largo del tiempo porque los vectores horizontales y verticales de los objetos en movimiento libre dependen cada uno del tiempo, pero independientes entre sí.
Elimine el parámetro en las siguientes ecuaciones.
\(x=6 t-2\)
\(y=5 t^{2}-6 t\)
\(x=6 t-2\)Entonces\(\frac{x+2}{6}=t .\) Ahora, sustituya este valor por\(t\) en la segunda ecuación:
\(y=5\left(\frac{x+2}{6}\right)^{2}-6\left(\frac{x+2}{6}\right)\)
Para la ecuación paramétrica dada, graficar sobre cada intervalo de\(t\).
\(x=t^{2}-4\)
\(y=2 t\)
1. \(-2 \leq t \leq 0\)
2. \(0 \leq t \leq 5\)
3. \(-3 \leq t \leq 2\)
a. Un buen lugar para comenzar es encontrar las coordenadas donde\(t\) indica que la gráfica comenzará y terminará. Para\(-2 \leq t \leq 0, t=-2\) e\(t=0\) indicar que los puntos (0, -4) y (-4,0) son los puntos finales de la gráfica.
b.\(0 \leq t \leq 5\)
c.\(-3 \leq t \leq 2\)
Elimine el parámetro y grafique la siguiente curva paramétrica.
\(x=3 \cdot \sin t\)
\(y=3 \cdot \cos t\)
Cuando las ecuaciones paramétricas involucran funciones trigonométricas se puede utilizar la Identidad Pitagórica,\(\sin ^{2} t+\cos ^{2} t=1 \cdot\) En este problema,\(\sin t=\frac{x}{3}\) (a partir de la primera ecuación) y\(\cos t=\frac{y}{3}\) (a partir de la segunda ecuación). Sustituye estos valores en la Identidad Pitagórica y tienes:
\(\left(\frac{x}{3}\right)^{2}+\left(\frac{y}{3}\right)^{2}=1\)
\(x^{2}+y^{2}=9\)
Este es un círculo centrado en el origen con radio\(3 .\)
Encuentre la parametrización para el segmento de línea que conecta los puntos (1,3) y\((4,8) .\)
Usa el hecho de que un punto más un vector rinde otro punto. Un vector entre estos puntos es\(<4-1,8-3>=<3,5>\)
Así el punto (1,3) más\(t\) veces el vector\(<3,5>\) producirá el punto (4,8) cuándo\(t=1\) y el punto (1,3) cuándo\(t=0\).
\((x, y)=(1,3)+t \cdot<3,5>,\)para\(0 \leq t \leq 1\)
Luego se divide esta ecuación vectorial en forma paramétrica.
\(x=1+3 t\)
\(y=3+5 t\)
\(0 \leq t \leq 1\)
Elimine el parámetro en los siguientes conjuntos de ecuaciones paramétricas.
1. \(x=3 t-1 ; y=4 t^{2}-2 t\)
2. \(x=3 t^{2}+6 t ; y=2 t-1\)
3. \(x=t+2 ; y=t^{2}+4 t+4\)
4. \(x=t-5 ; y=t^{3}+1\)
5. \(x=t+4 ; y=t^{2}-5\)
Para la\(x=t, y=t^{2}+1,\) gráfica de ecuaciones paramétricas sobre cada intervalo de\(t\).
6. \(-2 \leq t \leq-1\)
7. \(-1 \leq t \leq 0\)
8. \(-1 \leq t \leq 1\)
9. \(-2 \leq t \leq 2\)
10. \(-5 \leq t \leq 5\)
11. Elimine el parámetro y grafique la siguiente curva paramétrica:
\(x=\sin t, y=-4+3 \cos t\)
12. Elimine el parámetro y grafique la siguiente curva paramétrica:
\(x=1+2 \cos t, y=1+2 \sin t\)
13. Usando el problema anterior como modelo, encuentra una parametrización para el círculo con centro (2, 4) y radio\(3 .\)
14. Encuentre la parametrización para el segmento de línea que conecta los puntos (2,7) y\((1,4) .\)
15. Encuentra una parametrización para la elipse\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}=1\). Usa el hecho de que\(\cos ^{2} t+\sin ^{2} t=1\). Consulta tu respuesta con tu calculadora.
16. Encuentra una parametrización para la elipse\(\frac{(x-4)^{2}}{9}+\frac{(y+1)^{2}}{36}=1\). Consulta tu respuesta con tu calculadora.