Saltar al contenido principal

# 11.3 Forma polar trigonométrica de números complejos

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Ya sabes cómo representar números complejos en el plano complejo usando coordenadas rectangulares y ya sabes cómo multiplicar y dividir números complejos. Representar estos puntos y realizar estas operaciones usando forma polar trigonométrica hará que sus cálculos sean más eficientes.

¿Cuáles son las dos formas de multiplicar los siguientes números complejos?

$$(1+\sqrt{3} i)(\sqrt{2}-\sqrt{2} i)$$

## Forma polar trigonométrica de números complejos

Cualquier punto representado en el plano complejo como se$$a+b i$$ puede representar en forma polar al igual que cualquier punto en el sistema de coordenadas rectangulares. La forma polar trigonométrica de un número complejo describe la ubicación de un punto en el plano complejo usando el ángulo y el radio del punto. Utilizarás la distancia desde el punto hasta el origen como$$r$$ y el ángulo que el punto hace como$$\theta$$.

Como puede ver, el punto también se$$a+b i$$ puede representar como$$r \cdot \cos \theta+i \cdot r \cdot \sin \theta$$. La forma polar trigonométrica se puede abreviar factorizando$$r$$ y anotando las primeras letras:

$$r(\cos \theta+i \cdot \sin \theta) \rightarrow r \cdot \operatorname{cis} \theta$$

La abreviatura$$r \cdot \operatorname{cis} \theta$$ se lee como "$$r$$beso theta”. Permite representar un punto como radio y ángulo.

Tome el siguiente número complejo en forma rectangular.

$$1-\sqrt{3} i$$

Para convertir el siguiente número complejo de forma rectangular a forma polar trigonométrica, busque el radio usando el valor absoluto del número.

$$r^{2}=1^{2}+(-\sqrt{3})^{2} \rightarrow r=2$$

El ángulo se puede encontrar con trigonometría básica y el conocimiento de que el lado opuesto es siempre el

$$\tan \theta=-\frac{\sqrt{3}}{1} \rightarrow \theta=60^{\circ}$$

Así, la forma trigonométrica es 2 cis$$60^{\circ}$$.

Un gran beneficio de la forma cis es que hace multiplicar y dividir números complejos

Dejar:$$z_{1}=r_{1} \cdot \operatorname{cis} \theta_{1}, z_{2}=r_{2} \cdot \operatorname{cis} \theta_{2}$$ con$$r_{2} \neq 0$$.

Entonces:

\begin{aligned} z_{1} \cdot z_{2} &=r_{1} \cdot r_{2} \cdot \operatorname{cis}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) \\ z_{1} \div z_{2} &=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot \operatorname{cis}\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right) \end{aligned}

Para problemas básicos, la cantidad de trabajo requerido para computar productos y cocientes para números complejos dados en cualquiera de las formas es aproximadamente equivalente. Para preguntas más desafiantes, la forma polar trigonométrica se vuelve significativamente ventajosa.

## Ejemplos

##### Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó cómo multiplicar los números complejos$$(1+\sqrt{3} i)(\sqrt{2}-\sqrt{2} i)$$.

$$(1+\sqrt{3} i)(\sqrt{2}-\sqrt{2} i)=\sqrt{2}-\sqrt{2} i+\sqrt{6} i+\sqrt{6}$$

En coordenadas polares trigonométricas,$$1+\sqrt{3} i=2 \operatorname{cis} 60^{\circ}$$ y$$\sqrt{2}-\sqrt{2} i=2$$ cis$$-45^{\circ}$$. Por lo tanto:

$$(1+\sqrt{3} i)(\sqrt{2}-\sqrt{2} i)=2 \operatorname{cis} 60^{\circ} \cdot 2 \mathrm{cis}-45^{\circ}=4$$cis$$105^{\circ}$$

##### Ejemplo 2

Convierta el siguiente número complejo de forma polar trigonométrica a forma rectangular.

$$4 \operatorname{cis}\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$$

$$4 \operatorname{cis}\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=4\left(\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)+i \cdot \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right)=4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i\right)=-2 \sqrt{2}+2 \sqrt{2} i$$

##### Ejemplo 3

Divide los siguientes números complejos.

$$\frac{4 \text { cis } 32^{\circ}}{2 \operatorname{cis} 2^{\circ}}$$

$$\frac{4 \operatorname{cis} 32^{\circ}}{2 \operatorname{cis} 2^{\circ}}=\frac{4}{2} \operatorname{cis}\left(32^{\circ}-2^{\circ}\right)=2 \operatorname{cis}\left(30^{\circ}\right)$$

##### Ejemplo 4

Traduzca el siguiente número complejo de forma rectangular a forma polar trigonométrica:

8

$$8=8 \operatorname{cis} 0^{\circ}$$

Tenga en cuenta que esta no tiene parte compleja y por lo tanto no tiene ángulo.

##### Ejemplo 5

Multiplique los siguientes números complejos en forma polar trigonométrica.

4 cis$$34^{\circ} \cdot 5$$ cis$$16^{\circ} \cdot \frac{1}{2}$$ cis$$100^{\circ}$$

4 cis$$34^{\circ} \cdot 5$$ cis$$16^{\circ} \cdot \frac{1}{2}$$ cis$$100^{\circ}$$

$$=4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot$$cis$$\left(34^{\circ}+16^{\circ}+100^{\circ}\right)=10$$ cis 150

Tenga en cuenta lo fácil que es hacer productos y cocientes en forma polar trigonométrica.

##### Revisar

Traduzca los siguientes números complejos de forma polar trigonométrica a forma rectangular.

1. 5 cis$$270^{\circ}$$

2. 2 cis$$30^{\circ}$$

3. -4 cis$$\frac{\pi}{4}$$

4. $$6 \operatorname{cis} \frac{\pi}{3}$$

5. 2 cis$$\frac{5 \pi}{2}$$

Traduzca los siguientes números complejos de forma rectangular a forma polar trigonométrica.

6. $$2-i$$

7. $$5+12 i$$

8. $$6 i+8$$

9. $$i$$

Complete los siguientes cálculos y simplifique.

10. 2 cis$$22^{\circ} \cdot \frac{1}{5} \operatorname{cis} 15^{\circ} \cdot 3 \operatorname{cis} 95^{\circ}$$

11. 9 cis$$98^{\circ} \div 3 \operatorname{cis} 12^{\circ}$$

12. $$15 \operatorname{cis} \frac{\pi}{4} \cdot 2$$cis$$\frac{\pi}{6}$$

13. $$-2 \operatorname{cis} \frac{2 \pi}{3} \div 15 \operatorname{cis} \frac{7 \pi}{6}$$

Dejar$$z_{1}=r_{1} \cdot \operatorname{cis} \theta_{1}$$ y$$z_{2}=r_{2} \cdot \operatorname{cis} \theta_{2}$$ con$$r_{2} \neq 0$$.

14. Utilice las identidades trigonométricas de suma y diferencia para demostrar que$$z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot \operatorname{cis}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)$$

15. Utilice las identidades trigonométricas de suma y diferencia para demostrar que$$z_{1} \div z_{2}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot \operatorname{cis}\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)$$

This page titled 11.3 Forma polar trigonométrica de números complejos is shared under a CK-12 license and was authored, remixed, and/or curated by CK-12 Foundation via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.