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# 11.4 Teorema de De Moivre y enésima Raíces

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Ya sabes cómo multiplicar dos números complejos juntos y has visto las ventajas de usar la forma polar trigonométrica, especialmente al multiplicar más de dos números complejos al mismo tiempo. Debido a que elevar un número a una potencia de número entero es multiplicación repetida, también se sabe cómo elevar un número complejo a una potencia numérica entera. ¿Qué es una interpretación geométrica de la cuadratura de un número complejo?

## Teorema de De Moivre y enésima raíz

Recordemos que si$$z_{1}=r_{1} \cdot \operatorname{cis} \theta_{1}$$ y$$z_{2}=r_{2} \cdot \operatorname{cis} \theta_{2}$$ con$$r_{2} \neq 0$$, entonces$$z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot \operatorname{cis}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)$$

Si$$z_{1}=z_{2}=z=r \operatorname{cis} \theta$$ entonces puedes determinar$$z^{2}$$ y$$z^{3}$$:

$$z^{2}=r \cdot r \cdot \operatorname{cis}(\theta+\theta)=r^{2} \operatorname{cis}(2 \cdot \theta)$$

$$z^{3}=r^{3} \operatorname{cis}(3 \cdot \theta)$$

El teorema de De Moivre simplemente generaliza este patrón al poder de cualquier entero positivo.

$$z^{n}=r^{n} \cdot \operatorname{cis}(n \cdot \theta)$$

Además de elevar un número complejo a una potencia, también puedes tomar raíces cuadradas, raíces cubicas y$$n^{\text {th }}$$ raíces de números complejos. Supongamos que tienes un número complejo$$z=r$$ cis$$\theta$$ y quieres echar la$$n^{t h}$$ raíz de$$z$$. En otras palabras, se quiere encontrar un número$$v=s \cdot \operatorname{cis} \beta$$ tal que$$v^{n}=z$$. Hacer alguna sustitución y manipulación:

\begin{aligned} v^{n} &=z\\(s \cdot \operatorname{cis} \beta)^{n} &=r \cdot \operatorname{cis} \theta \\ s^{n} \cdot \operatorname{cis}(n \cdot \beta) &=r \cdot \operatorname{cis} \theta \end{aligned}

Se puede ver en este punto que para encontrar$$s$$ se necesita tomar la$$n^{\text {th }}$$ raíz de$$r$$. La parte más complicada es encontrar los ángulos, ya que$$n \cdot \beta$$ podría ser cualquier ángulo coterminal con$$\theta$$. Esto significa que existen$$n$$ diferentes$$n^{\text {th }}$$ raíces de$$z$$.

$$n \cdot \beta=\theta+2 \pi k$$

$$\beta=\frac{\theta+2 \pi k}{n}$$

El número$$k$$ puede ser todos los números de conteo incluyendo ceros hasta$$n-1$$. Entonces, si estás tomando la$$4^{\text {th }}$$ raíz, entonces$$k=0,1,2,3$$.

Así, la$$n^{t h}$$ raíz de un número complejo requiere$$n$$ diferentes cálculos, uno para cada raíz:

$$v=\sqrt[n]{r} \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{\theta+2 \pi k}{n}\right)$$para$$\{k \in I \mid 0 \leq k \leq n-1\}$$

Para aplicar esta fórmula, encuentra la raíz cubo del número 8. La mayoría de los estudiantes lo saben$$2^{3}=8$$ y así saben que 2 es la raíz cubo de 8. No obstante, no se dan cuenta de que hay otras dos raíces cubo que les faltan. Recuerda escribir$$k=0,1,2$$ y usar el círculo de unidades siempre que sea posible para ayudarte a encontrar las tres raíces cubo.

\begin{aligned} 8 &=8 \text { cis } 0=(s \cdot \operatorname{cis} \beta)^{3} \\ z_{1} &=2 \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{0+2 \pi \cdot 0}{3}\right)=2 \text { cis } 0=2(\cos 0+i \cdot \sin 0)=2(1+0)=2 \\ z_{2} &=2 \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{0+2 \pi \cdot 1}{3}\right)=2 \operatorname{cis}\left(\frac{2 \pi}{3}\right) \\ &=2\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \cdot \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)=2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)=-1+i \sqrt{3} \\ z_{3} &=2 \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{0+2 \pi \cdot 2}{3}\right)=2 \operatorname{cis}\left(\frac{4 \pi}{3}\right) \\ &=2\left(\cos \left(\frac{4 \pi}{3}\right)+i \cdot \sin \left(\frac{4 \pi}{3}\right)\right)=2\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)=-1-i \sqrt{3} \end{aligned}

Las raíces cubicas de 8 son$$2,-1+i \sqrt{3},-1-i \sqrt{3}$$.

Para comprobar, que son las raíces cubicas, las cubos todas simplifican.

$$z_{1}^{3}=2^{3}=8$$

$$z_{2}^{3}=(-1+i \sqrt{3})^{3}$$

$$\quad=(-1+i \sqrt{3}) \cdot(-1+i \sqrt{3}) \cdot(-1+i \sqrt{3})$$

$$\quad=(1-2 i \sqrt{3}-3) \cdot(-1+i \sqrt{3})$$

$$\quad=(-2-2 i \sqrt{3}) \cdot(-1+i \sqrt{3})$$

$$\quad=2-2 i \sqrt{3}+2 i \sqrt{3}+6$$

$$\quad=8$$

Tenga en cuenta cuántos pasos y oportunidades hay para cometer un error al multiplicar

múltiples términos en forma rectangular. Cuando$$z_{3},$$ verifiques usa forma polar trigonométrica.

\begin{aligned} z_{3}^{3} &=2^{3} \operatorname{cis}\left(3 \cdot \frac{4 \pi}{3}\right) \\ &=8(\cos 4 \pi+i \cdot \sin 4 \pi) \\ &=8(1+0) \\ &=8 \end{aligned}

## Ejemplos

##### Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó qué es una interpretación geométrica de cuadrar un número complejo. Al cuadrar un número complejo se produce un nuevo número complejo. El ángulo se duplica y la magnitud se cuadra, por lo que geométricamente se ve una rotación.

##### Ejemplo 2

Trazar gráficamente las raíces de 8 y discutir cualquier patrón que note.

Los tres puntos están igualmente espaciados alrededor de un círculo de radio 2. Sólo uno de los puntos,$$2+0 i$$, se compone únicamente de números reales. Los otros dos puntos tienen tanto un componente real como uno imaginario por lo que están fuera del$$x$$ eje.

A medida que se sienta más cómodo con las raíces, solo puede determinar el número de puntos que deben espaciarse uniformemente alrededor de un cierto círculo de radio y encontrar el primer punto. El resto es solo lógica.

##### Ejemplo 3

¿Cuáles son las cuartas raíces de 16 cis$$48^{\circ} ?$$

Habrá 4 puntos, cada uno$$90^{\circ}$$ aparte con el primer punto a 2 cis$$\left(12^{\circ}\right)$$.

$$2 \operatorname{cis}\left(12^{\circ}\right), 2 \operatorname{cis}\left(102^{\circ}\right), 2 \operatorname{cis}\left(192^{\circ}\right), 2 \operatorname{cis}\left(282^{\circ}\right)$$

##### Ejemplo 4

Resuelve$$z$$ encontrando la enésima raíz del número complejo.

$$z^{3}=64-64 \sqrt{3} i$$

Primero escribe el número complejo en forma cis. Recuerda identificar$$k=0,1,2$$. Esto significa que las raíces aparecerán cada una$$\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ}$$.

$$z^{3}=64-64 \sqrt{3} i=128 \cdot \operatorname{cis} 300^{\circ}$$

$$z_{1}=128^{\frac{1}{3}} \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{300}{3} \circ\right)=128^{\frac{1}{3}} \cdot \operatorname{cis}\left(100^{\circ}\right)$$

$$z_{2}=128^{\frac{1}{3}} \cdot \operatorname{cis}\left(220^{\circ}\right)$$

$$z_{3}=128^{\frac{1}{3}} \cdot \operatorname{cis}\left(340^{\circ}\right)$$

##### Ejemplo 5

Utilice el Teorema de De Moivre para evaluar el siguiente poder.

$$(\sqrt{2}-\sqrt{2} i)^{6}$$

Primero escribe el número en forma polar trigonométrica, luego aplica el Teorema de De Moivre y simplifica.

\begin{aligned}(\sqrt{2}-\sqrt{2} i)^{6} &=\left(2 \operatorname{cis} 315^{\circ}\right)^{6} \\ &=2^{6} \cdot \operatorname{cis}\left(6 \cdot 315^{\circ}\right) \\ &=64 \cdot \operatorname{cis}\left(1890^{\circ}\right) \\ &=64 \cdot \operatorname{cis}\left(1890^{\circ}\right) \\ &=64 \cdot \operatorname{cis}\left(90^{\circ}\right) \\ &=64\left(\cos 90^{\circ}+i \cdot \sin 90^{\circ}\right) \\ &=64(0+i) \\ &=64 i \end{aligned}

##### Revisar

Utilice el Teorema de De Moivre para evaluar cada expresión. Escribe tus respuestas en forma rectangular.

1. $$(1+i)^{5}$$

2. $$(1-\sqrt{3} i)^{3}$$

3. $$(1+2 i)^{6}$$

4. $$(\sqrt{3}-i)^{5}$$

5. $$\left(\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}\right)^{4}$$

6. Encuentra las raíces cubicas de$$3+4 i$$.

7. Encuentra las$$5^{\text {th }}$$ raíces de$$32 i$$.

8. Encuentra las$$5^{\text {th }}$$ raíces de$$1+\sqrt{5} i$$.

9. Encuentra las$$6^{\text {th }}$$ raíces de -64 y trazarlas en el plano complejo.

10. Usa tus respuestas$$\# 9$$ para ayudarte a resolver$$x^{6}+64=0$$.

Para cada ecuación: a) indicar el número de raíces, b) calcular las raíces y c) representar gráficamente las raíces.

11. $$x^{3}=1$$

12. $$x^{8}=1$$

13. $$x^{12}=1$$

14. $$x^{4}=16$$

15. $$x^{3}=27$$

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