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# 1.5: El teorema de Pitágoras para Área y Perímetro

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Encuentra lados faltantes para calcular el área

### Aplicaciones del Teorema de Pitágoras

#### Encuentra la Altura de un Triángulo Isósceles

Una forma de utilizar El Teorema de Pitágoras es encontrar la altura de un triángulo isósceles (ver Ejemplo 1).

#### Demostrar la fórmula de distancia

Otra aplicación del Teorema de Pitágoras es la Fórmula a Distancia. Aquí lo demostraremos.

Empecemos con punto$$A(x_1, y_1)$$ y punto$$B(x_2, y_2)$$. Llamaremos a la distancia entre A y B, d.

Dibuja las longitudes vertical y horizontal para hacer un triángulo rectángulo.

Ahora que tenemos un triángulo rectángulo, podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la hipotenusa, d.

\begin{aligned} d^2&=\sqrt{(x_1−x_2)^2+(y_1−y_2)^2} \\ d&=(x_1−x_2)^2+(y_1−y_2)^2 \end{aligned}

Fórmula de distancia: La distancia entre$$A(x_1,y_1)$$ y$$B(x_2,y_2)$$ es

$$d=\sqrt{(x_1−x_2)^2+(y_1−y_2)^2}$$.

#### Clasificar un triángulo como agudo, derecho u obtuso

Podemos extender lo contrario del Teorema de Pitágoras para determinar si un triángulo es un triángulo obtuso o agudo.

Para$$b<c$$ y$$a<c$$, si$$a^2+b^2>c^2$$, entonces el triángulo es agudo.

Para$$b<c$$ y$$a<c$$, si$$a^2+b^2<c^2$$, entonces el triángulo es obtuso.

¿Y si te dieran un triángulo equilátero en el que todos los lados midieran 4 pulgadas? ¿Cómo podrías usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la altitud del triángulo?

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

¿Cuál es la altura del triángulo isósceles?

Solución

Dibuja la altitud desde el vértice entre los lados congruentes, que biseccionará la base.

\begin{aligned} 7^2+h^2 &=9^2 \\ 49+h^2&=81 \\ h^2&=32 \\ h&=\sqrt{32}=\sqrt{16 \cdot 2}=4\sqrt{2}\end{aligned}

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Encuentra la distancia entre$$(1, 5)$$ y$$(5, 2)$$.

Solución

Hacer$$A(1,5)$$ y$$B(5,2)$$. Enchufe en la fórmula de distancia.

\begin{aligned} d&=\sqrt{(1−5)^2+(5−2)^2} \\ &=\sqrt{(−4)^2+(3)^2}\\ &=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \end{aligned}

Al igual que las longitudes de los lados de un triángulo, las distancias son siempre positivas.

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Gráfica$$A(−4,1)$$,$$B(3,8)$$, y$$C(9,6)$$. Determinar si$$\Delta ABC$$ es agudo, obtuso o correcto.

Solución

Usa la fórmula de distancia para encontrar la longitud de cada lado.

\begin{aligned} AB&=\sqrt{(−4−3)^2+(1−8)^2}=\sqrt{49+49}=\sqrt{98} \\ BC&=\sqrt{(3−9)^2+(8−6)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40} \\ AC&=\sqrt{(−4−9)^2+(1−6)^2}=\sqrt{169+25}=\sqrt{194}\end{aligned}

Enchufe estas longitudes en el Teorema de Pitágoras.

\begin{aligned} (\sqrt{98})^2+(\sqrt{40})^2 &? (\sqrt{194})^2 \\ 98+40 &? 194\\ 138 &<194 \end{aligned}

$$\Delta ABC$$es un triángulo obtuso.

Para los Ejemplos 4 y 5, determinar si los triángulos son agudos, derechos u obtusos.

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Establecer el lado más largo a$$c$$.

Solución

\begin{aligned} 15^2+14^2 &? 21^2 \\ 225+196 &? 441 \\ 421 &<441\end{aligned}

El triángulo es obtuso.

##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Establecer el lado más largo a$$c$$.

Un triángulo con longitudes laterales 5, 12, 13.

Solución

$$5^2+12^2=13^2$$entonces este triángulo es correcto.

## Revisar

Encuentra la altura de cada triángulo isósceles a continuación. Simplifica todos los radicales.

Encuentra la longitud entre cada par de puntos.

1. (-1, 6) y (7, 2)
2. (10, -3) y (-12, -6)
3. (1, 3) y (-8, 16)
4. ¿Cuál es el largo y ancho de un HDTV de 42”? Redondea tu respuesta a la décima más cercana.
5. Los televisores de definición estándar tienen una relación de longitud y ancho de 4:3. ¿Cuál es el largo y ancho de un televisor de definición estándar de 42”? Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

Determinar si los siguientes triángulos son agudos, derechos u obtusos.

1. 7, 8, 9
2. 14, 48, 50
3. 5, 12, 15
4. 13, 84, 85
5. 20, 24
6. 35, 40, 51
7. 39, 80, 89
8. 20, 21, 38
9. 48, 55, 76

Grafica cada conjunto de puntos y determina si$$\Delta ABC$$ es agudo, derecho u obtuso, usando la fórmula de distancia.

1. $$A(3,−5), B(−5,−8), C(−2,7)$$
2. $$A(5,3),B(2,−7),C(−1,5)$$
3. $$A(1,6),B(5,2),C(−2,3)$$
4. $$A(−6,1),B(−4,−5),C(5,−2)$$

### Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.3.