1.5: El teorema de Pitágoras para Área y Perímetro
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Aplicaciones del Teorema de Pitágoras
Encuentra la Altura de un Triángulo Isósceles
Una forma de utilizar El Teorema de Pitágoras es encontrar la altura de un triángulo isósceles (ver Ejemplo 1).
Demostrar la fórmula de distancia
Otra aplicación del Teorema de Pitágoras es la Fórmula a Distancia. Aquí lo demostraremos.
Empecemos con punto\(A(x_1, y_1)\) y punto\(B(x_2, y_2)\). Llamaremos a la distancia entre A y B, d.
Dibuja las longitudes vertical y horizontal para hacer un triángulo rectángulo.
Ahora que tenemos un triángulo rectángulo, podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la hipotenusa, d.
\(\begin{aligned} d^2&=\sqrt{(x_1−x_2)^2+(y_1−y_2)^2} \\ d&=(x_1−x_2)^2+(y_1−y_2)^2 \end{aligned}\)
Fórmula de distancia: La distancia entre\(A(x_1,y_1)\) y\(B(x_2,y_2)\) es
\(d=\sqrt{(x_1−x_2)^2+(y_1−y_2)^2}\).
Clasificar un triángulo como agudo, derecho u obtuso
Podemos extender lo contrario del Teorema de Pitágoras para determinar si un triángulo es un triángulo obtuso o agudo.
Triángulos Agudos: Si la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos en un triángulo rectángulo es mayor que el cuadrado del lado más largo, entonces el triángulo es agudo.
Para\(b<c\) y\(a<c\), si\(a^2+b^2>c^2\), entonces el triángulo es agudo.
Triángulos obtusos: Si la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos en un triángulo rectángulo es menor que el cuadrado del lado más largo, entonces el triángulo es obtuso.
Para\(b<c\) y\(a<c\), si\(a^2+b^2<c^2\), entonces el triángulo es obtuso.
¿Y si te dieran un triángulo equilátero en el que todos los lados midieran 4 pulgadas? ¿Cómo podrías usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la altitud del triángulo?
¿Cuál es la altura del triángulo isósceles?
Solución
Dibuja la altitud desde el vértice entre los lados congruentes, que biseccionará la base.
\(\begin{aligned} 7^2+h^2 &=9^2 \\ 49+h^2&=81 \\ h^2&=32 \\ h&=\sqrt{32}=\sqrt{16 \cdot 2}=4\sqrt{2}\end{aligned}\)
Encuentra la distancia entre\((1, 5)\) y\((5, 2)\).
Solución
Hacer\(A(1,5)\) y\(B(5,2)\). Enchufe en la fórmula de distancia.
\(\begin{aligned} d&=\sqrt{(1−5)^2+(5−2)^2} \\ &=\sqrt{(−4)^2+(3)^2}\\ &=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \end{aligned} \)
Al igual que las longitudes de los lados de un triángulo, las distancias son siempre positivas.
Gráfica\(A(−4,1)\),\(B(3,8)\), y\(C(9,6)\). Determinar si\(\Delta ABC\) es agudo, obtuso o correcto.
Solución
Usa la fórmula de distancia para encontrar la longitud de cada lado.
\(\begin{aligned} AB&=\sqrt{(−4−3)^2+(1−8)^2}=\sqrt{49+49}=\sqrt{98} \\ BC&=\sqrt{(3−9)^2+(8−6)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40} \\ AC&=\sqrt{(−4−9)^2+(1−6)^2}=\sqrt{169+25}=\sqrt{194}\end{aligned}\)
Enchufe estas longitudes en el Teorema de Pitágoras.
\(\begin{aligned} (\sqrt{98})^2+(\sqrt{40})^2 &? (\sqrt{194})^2 \\ 98+40 &? 194\\ 138 &<194 \end{aligned}\)
\(\Delta ABC\)es un triángulo obtuso.
Para los Ejemplos 4 y 5, determinar si los triángulos son agudos, derechos u obtusos.
Establecer el lado más largo a\(c\).
Solución
\(\begin{aligned} 15^2+14^2 &? 21^2 \\ 225+196 &? 441 \\ 421 &<441\end{aligned}\)
El triángulo es obtuso.
Establecer el lado más largo a\(c\).
Un triángulo con longitudes laterales 5, 12, 13.
Solución
\(5^2+12^2=13^2\)entonces este triángulo es correcto.
Revisar
Encuentra la altura de cada triángulo isósceles a continuación. Simplifica todos los radicales.
-
Figura\(\PageIndex{10}\) -
Figura\(\PageIndex{11}\) -
Figura\(\PageIndex{12}\)
Encuentra la longitud entre cada par de puntos.
- (-1, 6) y (7, 2)
- (10, -3) y (-12, -6)
- (1, 3) y (-8, 16)
- ¿Cuál es el largo y ancho de un HDTV de 42”? Redondea tu respuesta a la décima más cercana.
- Los televisores de definición estándar tienen una relación de longitud y ancho de 4:3. ¿Cuál es el largo y ancho de un televisor de definición estándar de 42”? Redondea tu respuesta a la décima más cercana.
Determinar si los siguientes triángulos son agudos, derechos u obtusos.
- 7, 8, 9
- 14, 48, 50
- 5, 12, 15
- 13, 84, 85
- 20, 24
- 35, 40, 51
- 39, 80, 89
- 20, 21, 38
- 48, 55, 76
Grafica cada conjunto de puntos y determina si\(\Delta ABC\) es agudo, derecho u obtuso, usando la fórmula de distancia.
- \(A(3,−5), B(−5,−8), C(−2,7)\)
- \(A(5,3),B(2,−7),C(−1,5)\)
- \(A(1,6),B(5,2),C(−2,3)\)
- \(A(−6,1),B(−4,−5),C(5,−2)\)
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.3.