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# 1.6: Fórmula de distancia y teorema de Pitágoras

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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Descubre longitudes de lados triangulares usando el Teorema de Pitágoras. Identificar la distancia como la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Determinar la distancia entre pares ordenados.

### Teorema de Pitágoras para determinar la distancia

Al caminar un día a la escuela, decides usar tus conocimientos del Teorema de Pitágoras para determinar qué tan lejos está entre tu casa y la escuela. Sabes que caminas 3 cuadras al este, y luego giras y caminas 7 cuadras hacia el norte para llegar a la escuela. ¿Es posible utilizar el Teorema de Pitágoras para ayudarte a determinar la distancia “en línea recta” entre tu casa y la escuela?

### Determinar la distancia usando el teorema de Pitágoras

Se puede utilizar el Teorema de Pitágoras es para encontrar la distancia entre dos puntos.

Considerar los puntos (-1, 6) y (5, -3). Si trazamos estos puntos en una rejilla y los conectamos, hacen una línea diagonal. Dibuja una línea vertical hacia abajo desde (-1, 6) y una línea horizontal a la izquierda de (5, -3) para formar un triángulo rectángulo.

Ahora podemos encontrar la distancia entre estos dos puntos utilizando las distancias vertical y horizontal que determinamos a partir de la gráfica.

\begin{aligned} 9^2+(−6)^2 &=d^2 \\ 81+36 &=d^2 \\ 117 &=d^2\\ \sqrt{117}&=d \\ 3\sqrt{13}&=d\end{aligned}

Observe que los valores x se restaron entre sí para encontrar la distancia horizontal y los valores y se restaron entre sí para encontrar la distancia vertical. Si este proceso se generaliza para dos puntos (x_1, y_1) y (x_2, y_2), se deriva la Fórmula de Distancia.

$$(x_1−x_2)^2+(y_1−y_2)^2=d^2$$

Este es el Teorema de Pitágoras con las diferencias verticales y horizontales entre (x_1, y_1) y (x_2, y_2). Tomando la raíz cuadrada de ambos lados resolverá el lado derecho para d, la distancia.

$$\sqrt{(x_1−x_2)^2+(y_1−y_2)^2}=d$$

Esta es la Fórmula de Distancia. Los siguientes problemas muestran cómo aplicar la fórmula de distancia.

#### Aplicación de la fórmula de distancia

1. Encuentra la distancia entre los dos puntos.

(4, 2) y (-9, 5)

Conecta cada par de puntos en la Fórmula de Distancia.

\begin{aligned} d&=\sqrt{(4−(−9))^2+(2−5)^2} \\ &=\sqrt{13^2+(−3)^2} \\ &=\sqrt{169+9} \\ &=\sqrt{178}\end{aligned}

2. Encuentra la distancia entre los dos puntos.

(-10, 3) y (0, -15)

Conecta cada par de puntos en la fórmula de distancia.

\begin{aligned} d&=\sqrt{(−10−0)^2+(3−(−15))^2}\\ &=\sqrt{(−10)^2+(18)^2}\\ &=\sqrt{100+324} \\ &=\sqrt{424} \\ &=2\sqrt{106}\end{aligned}

3. Encuentra la distancia entre los dos puntos.

(3, 1) y (2, -7)

Conecta cada par de puntos en la fórmula de distancia.

\begin{aligned} d&=\sqrt{(3−2)^2+(1−(−7))^2}\\ &=\sqrt{(1)^2+(8)^2}\\ &=\sqrt{1+64}\\ &=\sqrt{65}\end{aligned}

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Anteriormente, se le pidió que usara sus conocimientos del Teorema de Pitágoras para determinar qué tan lejos está entre su casa y la escuela.

Solución

Ya que sabes que el viaje a la escuela implica caminar 3 cuadras al este seguido de 7 cuadras al norte, puedes construir un triángulo en un sistema de coordenadas a partir de estas longitudes, así:

Desde que fuiste tres cuadras al este, la escuela tiene una coordenada “x” de 3. De igual manera, desde que fuiste 7 cuadras al norte, la escuela tiene una coordenada “y” de 7. Para encontrar la distancia en línea recta a la escuela, puedes usar la Fórmula de Distancia:

\begin{aligned} d&=(3−0)^2+(7−0)^2\\ &=\sqrt{(3)^2+(7)^2} \\ &=\sqrt{58}\end{aligned}

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Encuentra la distancia entre los dos puntos.

(3, 1) y (2, -7)

Solución

Conecta cada par de puntos en la fórmula de distancia.

\begin{aligned} d&=\sqrt{(3−2)^2+(1−(−7))^2}\\ &=\sqrt{(1)^2+(8)^2} \\ &=\sqrt{1+64}\\ &=\sqrt{65}\end{aligned}

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Encuentra la distancia entre los dos puntos.

(5, -8) y (0, 3)

Solución

Conecta cada par de puntos en la fórmula de distancia.

\begin{aligned} d&=\sqrt{(5−0)^2+(−8−(3))^2} \\ &=(5)^2+(−11)^2 \\ &=\sqrt{25+121}\\ &=\sqrt{146}\end{aligned}

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Encuentra la distancia entre los dos puntos.

(2, 6) y (2, 9)

Solución

Conecta cada par de puntos en la fórmula de distancia.

\begin{aligned} d&=\sqrt{(2−2)^2+(6−9)^2} \\ &=\sqrt{(0)^2+(−3)^2} \\ &=\sqrt{9}=3\end{aligned}

## Revisar

Encuentra la distancia entre cada par de puntos. Redondea cada respuesta a la décima más cercana.

1. (2, 4) y (5, 10)
2. (1, 5) y (8, 9)
3. (-2, 3) y (6, 4)
4. (5, 7) y (5, 10)
5. (8, 12) y (15, 12)
6. (1, -4) y (25, -2)
7. (5, -6) y (3, 7)
8. (12, -9) y (-1, 5)
9. (-3, 14) y (8, 10)
10. (-11, 3) y (-5, 1)
11. (5, 2) y (11, 13)
12. (8, 10) y (9, -6)

Encuentra el perímetro de cada triángulo. Redondea cada respuesta a la décima más cercana.

1. $$A(3,−5),B(−5,−8),C(−2,7)$$
2. $$A(5,3),B(2,−7),C(−1,5)$$
3. $$A(1,2),B(1,5),C(4,5)$$

## Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 1.4.

## vocabulario

Término Definición
Fórmula de distancia La distancia entre dos puntos$$(x_1,y_1)$$ y se$$(x_2,y_2)$$ puede definir como$$d=\sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}$$.