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2.2.4: Resolver triángulos rectos

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    107701
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Usando las funciones trigonométricas inversas para resolver la falta de información sobre los triángulos rectos.

    Ratios trigonométricos inversos

    En matemáticas, la palabra inversa significa “deshacer”. Por ejemplo, la suma y la resta son inversas entre sí porque una deshace a la otra. Cuando utilizamos las relaciones trigonométricas inversas, podemos encontrar medidas de ángulo agudo siempre y cuando se nos den dos lados.

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    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Tangente inversa: Etiquetado\(\tan ^{-1}\), el “-1” significa inverso.

    \(\tan ^{-1} \left(\dfrac{b}{a}\right)=m\angle B\)y\(\tan ^{-1} \left(\dfrac{a}{b}\right)=m\angle A.\)

    Seno Inversa: Etiquetado\(\sin ^{-1}\).

    \(\sin ^{-1} \left(\dfrac{b}{c}\right)=m\angle B\)y\(\sin ^{-1} \left(\dfrac{a}{c}\right)=m\angle A.\)

    Coseno inverso: Etiquetado\(\cos ^{-1}\).

    \(\cos ^{-1} \left(\dfrac{a}{c}\right)=m\angle B\)y\(\cos ^{-1} \left(\dfrac{b}{c}\right)=m\angle A.\)

    En la mayoría de los problemas, para encontrar la medida de los ángulos necesitarás usar tu calculadora. En la mayoría de las calculadoras científicas y gráficas, los botones se ven como\([\sin ^{-1}]\),\([\cos ^{-1}]\), y\([\(\tan ^{-1}]\). También es posible que tengas que presionar un botón de turno o segundo para acceder a estas funciones.

    Ahora que conoces tanto las relaciones trigonométricas como las relaciones trigonométricas inversas puedes resolver un triángulo rectángulo. Para resolver un triángulo rectángulo, necesitas encontrar todos los lados y ángulos en él. Usualmente usarás seno, coseno o tangente; seno inverso, coseno inverso o tangente inversa; o el teorema de Pitágoras.

    ¿Y si te dijeran que la tangente de\(\angle Z\) es 0.6494? ¿Cómo podrías encontrar la medida de\(\angle Z\)?

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Resuelve el triángulo rectángulo.

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    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Solución

    Los dos ángulos agudos son congruentes, haciéndolos ambos\(45^{\circ}\). Se trata de un triángulo 45-45-90. Se pueden utilizar las relaciones trigonométricas o las relaciones especiales de triángulo rectángulo.

    Relaciones trigonométricas

    \ (\ begin {array} {rlrl}
    \ tan 45^ {\ circ} & =\ dfrac {15} {B C} &\ sin 45^ {\ circ} & =\ dfrac {15} {A C}\\
    B C & =\ dfrac {15} {\ tan 45^ {\ circ}} =15 & A C & =\ dfrac {15} {\ sin 45^ {\ circ}}\ aprox 21.21
    \ fin {array}\)

    Relaciones de triángulo 45-45-90

    \(BC=AB=15 \text{, } AC=15\sqrt{2} \approx 21.21\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Usa los lados del triángulo y tu calculadora para encontrar el valor de\(\angle A\). Redondee su respuesta al décimo de grado más cercano.

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    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Solución

    En referencia a\(\angle A\), se nos da la pierna opuesta y la pierna adyacente. Esto significa que debemos usar la relación tangente.

    \(\tan A=\dfrac{20}{25}=\dfrac{4}{5}\). Entonces,\(\tan ^{-1} \dfrac{4}{5}=m\angle A\). Ahora, usa tu calculadora.

    Si estás usando un TI-83 o 84, las pulsaciones de teclas serían: [2nd] [TAN] (\(\dfrac{4}{5}\)) [ENTER] y la pantalla se ve así:

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    Figura\(\PageIndex{4}\)

    \(m\angle A \approx 38.7^{\circ}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    \(\angle A\)es un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Encontrar\(m\angle A\) al décimo de grado más cercano para\(\sin A=0.68\),\(\cos A=0.85\), y\(\tan A=0.34\).

    Solución

    \(\begin{aligned} m\angle A&=\sin ^{-1} 0.68\approx 42.8^{\circ} \\ m\angle A&=\cos ^{-1} 0.85\approx 31.8^{\circ} \\ m\angle A&=\tan ^{-1} 0.34\approx 18.8^{\circ} \end{aligned}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Resuelve el triángulo rectángulo.

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    Figura\(\PageIndex{5}\)

    Solución

    Para resolver este triángulo rectángulo, necesitamos encontrar\(AB\),\(m\angle C\) y\(m\angle B\). Usa solo los valores que te den.

    \(\underline{AB}: \text{ Use the Pythagorean Theorem.}\)

    \(\begin{aligned} 24^2+AB^2&=30^2 \\ 576+AB^2&=900 \\ AB^2&=324 \\ AB&=\sqrt{324}=18 \end{aligned}\)

    \(\underline{m\angle B} : \text{ Use the inverse sine ratio.}\)

    \(\begin{aligned} \sin B &=\dfrac{24}{30}=\dfrac{4}{5} \\ \sin ^{-1} (45) &\approx 53.1^{\circ} =m\angle B\end{aligned}\)

    \(\underline{m\angle C} : \text{ Use the inverse cosine ratio.}\)

    \(\cos C=\dfrac{24}{30}=\dfrac{4}{5} \rightarrow \cos ^{-1} (\dfrac{4}{5})\approx 36.9^{\circ} =m\angle C\)

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    ¿Cuándo usarías el pecado y cuándo usarías\(\sin ^{-1}\)?

    Solución

    Usarías pecado cuando te dan un ángulo y estás resolviendo por un lado faltante. Lo usarías\(\sin ^{-1} \) cuando te dan lados y estás resolviendo un ángulo faltante.

    Revisar

    Usa tu calculadora para encontrar\(m\angle A\) al décimo de grado más cercano.


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      Figura\(\PageIndex{6}\)
    2. f-d_e89522d26ceb94ff99beaee1fbc7d91e78de4ed0c5d1d4d5191ce9d2+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{7}\)
    3. f-d_46eb43f712c4d33cf22b63e2775b225213c06a9fef47759cd3616c27+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{8}\)
    4. f-d_ac0c893ee0d7247b34b58198cdb7c163398935f879cf4b6774ce1618+image_tiny+imagen_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{9}\)
    5. f-d_b3d55b6337854289b159ad84c39d0a8d0e7248188622406c050a3574+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{10}\)
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      Figura\(\PageIndex{11}\)

    Dejar\(\angle A\) ser un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Encuentra\(m\angle A\) al décimo de grado más cercano.

    1. \(\sin A=0.5684\)
    2. \(\cos A=0.1234\)
    3. \(\tan A=2.78\)
    4. \(\cos ^{-1} 0.9845\)
    5. \(\tan ^{-1} 15.93\)
    6. \(\sin ^{-1} 0.7851\)

    Resolviendo los siguientes triángulos rectos. Encuentra todos los lados y ángulos faltantes. Redondear cualquier respuesta decimal a la décima más cercana.


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      Figura\(\PageIndex{12}\)
    2. f-d_9e9aeb05eb841baff6fa1c40c595cfe3e78de302cc739d3b0b89c603+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{13}\)
    3. f-d_7bf2598a2d3180fcc25007665c2a4c38bbc6fa26f80aa1fcc2798de4+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{14}\)
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      Figura\(\PageIndex{15}\)
    5. F-D_1b925b029639463b8632ad127d7532bc18a47edb349eb4dddaaaa36d+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{16}\)
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      Figura\(\PageIndex{17}\)
    7. f-d_281ef9a02df0ab67a289f15bf8ba88100b65a1c6dd4b329d36ce46a9+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{18}\)
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      Figura\(\PageIndex{19}\)
    9. f-d_8ef1d3ac50623bae6e53dda33b41a204f847c3bece63fd8abd8a237f+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{20}\)

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.10.


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