2.3.9: Funciones Trigonométricas de Ángulos Mayores a 360 Grados

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Basado en ángulos coterminales y de referencia.

Mientras estás en el parque de diversiones local con amigos, das un paseo en los Go Karts. Pasas alrededor de una pista circular en los carros tres veces y media, y luego te detienes en una “parada en boxes” para descansar. Mientras esperas que tu Go Kart obtenga más combustible, estás platicando con tus amigos sobre el viaje. Sabes que una forma de medir hasta dónde ha ido algo alrededor de un círculo (o los valores trigonométricos asociados a él) es usar ángulos. Sin embargo, has recorrido más de un círculo completo alrededor de la pista.

¿Todavía es posible averiguar cuáles son los valores de seno y coseno para el cambio de ángulo que has hecho?

Ángulos mayores que 360°

Considera el ángulo\(390^{\circ}\). Como aprendiste anteriormente, puedes pensar en este ángulo como una rotación completa de 360 grados, más 30 grados adicionales. Por lo tanto\(390^{\circ}\) es coterminal con\(30^{\circ}\). Como viste arriba con ángulos negativos, esto significa que\(390^{\circ}\) tiene el mismo par ordenado que\(30^{\circ}\), y así tiene los mismos valores trigonométricos. Por ejemplo,

\(\cos 390^{\circ}=\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

F-d_f9c84652e3661fa4ed33d2d13150ee7aadf408553ed0ce0a280c2a8a+image_tiny+image_tiny.jpg — Figura\(\PageIndex{1}\)

En general, si un ángulo cuya medida es mayor que

\(360^{\circ}\)tiene un ángulo de referencia de\(30^{\circ}\)\(45^{\circ}\),\(60^{\circ}\), o, o si es un ángulo cuadrantal, podemos encontrar su par ordenado, y así podemos encontrar los valores de cualquiera de las funciones trigonométricas del ángulo. Nuevamente, determine primero el ángulo de referencia.

Veamos algunos problemas que involucran ángulos mayores que\(360^{\circ}\).

Encuentra el valor de las siguientes expresiones:

1. \(\sin 420^{\circ}\)

\(\sin 420^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(420^{\circ}\)es una rotación completa de 360 grados, más 60 grados adicionales. Por lo tanto el ángulo es coterminal con\(60^{\circ}\), y así comparte el mismo par ordenado,\(\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\). El valor de seno es la\(y\) coordenada −.

2. \(\tan 840^{\circ}\)

\(\tan 840^{\circ}=−\sqrt{3}\)

\(840^{\circ}\)es dos rotaciones completas, o 720 grados, más 120 grados adicionales:

\(840=360+360+120\)

Por lo tanto\(840^{\circ}\) es coterminal con\(120^{\circ}\), por lo que el par ordenado es\(\left(−\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\). El valor de la tangente se puede encontrar de la siguiente manera:

\(\tan 840^{\circ}=\tan 120^{\circ}=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{−\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times −\dfrac{2}{1}=−\sqrt{3}\)

3. \(\cos 540^{\circ}\)

\(\cos 540^{\circ}=−1\)

\(540^{\circ}\)es una rotación completa de 360 grados, más 180 grados adicionales. Por lo tanto el ángulo es coterminal con\(180^{\circ}\), y el par ordenado es\((-1, 0)\). Entonces el valor del coseno es -1.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Anteriormente, se le preguntó si aún es posible averiguar cuáles son los valores de seno y coseno para el cambio de ángulo.

Solución

Ya que has dado la vuelta a la pista 3.5 veces, el ángulo total que has recorrido es\(360^{\circ}\times 3.5=1260^{\circ}\). No obstante, como aprendiste en esta dependencia, esto equivale a\(180^{\circ}\). Para que puedas usar ese valor en tus cálculos:

\(\begin{aligned} \sin 1260^{\circ}&=\sin 180^{\circ}=0 \\ \cos 1260^{\circ}&=\cos 180^{\circ}=−1 \end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el valor de la expresión:\(\sin 570^{\circ}\)

Solución

Dado que\(570^{\circ}\) tiene el mismo lado terminal que\(210^{\circ}\),\(\sin 570^{\circ}=\sin 210^{\circ}=\dfrac{\dfrac{−1}{2}}{1}=\dfrac{−1}{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra el valor de la expresión:\(\cos 675^{\circ}\)

Solución

Dado que\(675^{\circ}\) tiene el mismo lado terminal que\(315^{\circ}\),\(\cos 675^{\circ}= \cos 315^{\circ}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el valor de la expresión:\(\sin 480^{\circ}\)

Solución

Dado que\(480^{\circ}\) tiene el mismo lado terminal que\(120^{\circ}\),\(\sin 480^{\circ}=\sin 120^{\circ}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Revisar

Encuentra el valor de cada expresión.

\(\sin 405^{\circ}\)
\(\cos 810^{\circ}\)
\(\tan 630^{\circ}\)
\(\cot 900^{\circ}\)
\(csc 495^{\circ}\)
\(\sec 510^{\circ}\)
\(\cos 585^{\circ}\)
\(\sin 600^{\circ}\)
\(\cot 495^{\circ}\)
\(\tan 405^{\circ}\)
\(\cos 630^{\circ}\)
\(\sec 810^{\circ}\)
\(\csc 900^{\circ}\)
\(\tan 600^{\circ}\)
\(\sin 585^{\circ}\)
\(\tan 510^{\circ}\)
Explicar cómo evaluar una función trigonométrica para un ángulo mayor que\(360^{\circ}\).