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2.4.1: Funciones trigonométricas inversas

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    Resolviendo para un ángulo dado una relación trigonométrica.

    Funciones de trigonometría inversa y resolución de triángulos rectos

    Un triángulo rectángulo tiene patas que miden 2 unidades y\(2 \sqrt{3}\) unidades. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos agudos del triángulo?

    Inversa de funciones trigonométricas

    Hemos utilizado las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente para encontrar la relación de lados particulares en un triángulo rectángulo dado un ángulo. En este concepto usaremos las inversas de estas funciones,\(\sin^{-1}\),\(\cos^{-1}\) y\(\tan^{-1}\), para encontrar la medida del ángulo cuando se conozca la relación de las longitudes laterales. Cuando escribimos\(\sin 30^{\circ}\) en nuestra calculadora, la calculadora va a una tabla y encuentra la relación trigonométrica asociada con\(30^{\circ}\), que es 12. Cuando usamos una función inversa le decimos a la calculadora que busque la relación y nos dé la medida del ángulo. Por ejemplo:\(\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)=30^{\circ}\). En tu calculadora presionarías\(2^{ND} SIN\) para obtener\(\sin^{-1}\) y luego escribir\(\dfrac{1}{2}\), cerrar el paréntesis y presionar ENTRAR. La pantalla de tu calculadora debe leerse\(\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)\) al presionar ENTRAR.

    Encontremos la medida de ángulo\(A\) asociada con las siguientes proporciones y respuestas redondeadas al grado más cercano.

    1. \(\sin A=0.8336\)
    2. \(\tan A=1.3527\)
    3. \(\cos A=0.2785\)

    Usando la calculadora obtenemos lo siguiente:

    1. \(\sin^{-1}(0.8336)\approx 56^{\circ}\)
    2. \(\tan^{-1} (1.3527)\approx 54^{\circ}\)
    3. \(\cos^{-1} (0.2785)\approx 74^{\circ}\)

    Ahora, encontremos las medidas de los ángulos desconocidos en el triángulo mostrado y las respuestas redondeadas al grado más cercano.

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    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Podemos resolver por cualquiera\(x\) o por\(y\) primera vez. Si optamos por resolver por\(x\) primera vez, el 23 es opuesto y 31 es adyacente por lo que usaremos la relación tangente.

    \(x=\tan^{-1} \left (\dfrac{23}{31}\right)\approx 37^{\circ}\).

    Recordemos que en un triángulo rectángulo, los ángulos agudos son siempre complementarios, entonces\(90^{\circ} −37^{\circ} =53^{\circ}\), así\(y=53^{\circ}\). También podemos usar las longitudes de los lados y una relación trig para resolver para y:

    \(y=\tan^{-1} \left(\dfrac{31}{23}\right)\approx 53^{\circ}\).

    Por último, resolvamos el triángulo rectángulo que se muestra a continuación y redondeemos todas las respuestas a la décima más cercana.

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    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Podemos resolver\(B\) primero el ángulo\(A\) o el ángulo. Si elegimos resolver\(B\) primero para el ángulo, entonces 8 es la hipotenusa y 5 es la longitud del lado opuesto por lo que usaremos la relación sinusoidal.

    \(\begin{aligned}\sin B&=\dfrac{5}{8} \\ m\angle B&=\sin^{-1} \left(\dfrac{5}{8}\right)\approx 38.7^{\circ}\end{aligned}\)

    Ahora podemos encontrar A de dos maneras distintas.

    Método 1: Podemos usar trigonometría y la relación coseno:

    \(\begin{aligned}\cos A&=\dfrac{5}{8} \\ m\angle A&=\cos^{-1} \left(\dfrac{5}{8}\right)\approx 51.3^{\circ}\end{aligned}\)

    Método 2: Podemos restar\(m\angle B\) de\(90^{\circ}\):\(90^{\circ} −38.7^{\circ} =51.3^{\circ}\) ya que los ángulos agudos en un triángulo rectángulo son siempre complementarios.

    Cualquiera de los dos métodos es válido, pero ten cuidado con el Método 2 porque un error de cálculo del ángulo B haría que la medida que obtienes para el ángulo sea\(A\) incorrecta también.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Anteriormente, se le pidió que encontrara las medidas de los ángulos agudos del triángulo.

    Solución

    Primero, encontremos la hipotenusa, luego podemos resolver para cualquiera de los dos ángulos.

    \(\begin{aligned} 2^2+(2\sqrt{3})^2 &=c^2 \\ 4+12&=c^2 \\ 16&=c^2 \\ c&=4\end{aligned}\)

    Uno de los ángulos agudos tendrá un seno de\(\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\).

    \(\begin{aligned} \sin A&=\dfrac{1}{2}\\ m\angle A&=\sin^{-1} \dfrac{1}{2}=30^{\circ}\end{aligned}\)

    Ahora podemos encontrar B restando\(m\angle A\) de\(90^{\circ}\):\(90^{\circ} −30^{\circ} =60^{\circ}\) ya que los ángulos agudos en un triángulo rectángulo son siempre complementarios.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra la medida del ángulo\(A\).

    Solución

    \(\begin{aligned} \sin A&=0.2894 \\ \sin^{-1}(0.2894) &\approx 17^{\circ} \end{aligned}\)

    \) Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Encuentra la medida del ángulo\(A\).

    Solución

    \(\begin{aligned} \tan A&=2.1432 \\ \tan^{-1} (2.1432)&\approx 65^{\circ} \end{aligned}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Encuentra la medida del ángulo\(A\).

    Solución

    \(\begin{aligned} \cos A&=0.8911 \\ \cos^{-1} (0.8911) &\approx 27^{\circ}\end{aligned}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Encuentra las medidas de los ángulos desconocidos en el triángulo mostrado. Respuestas redondas al grado más cercano.

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    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Solución

    \(x=\cos^{-1} \left(\dfrac{13}{20}\right)\approx 49^{\circ} ; \quad y=\sin^{-1}(\dfrac{13}{20})\approx 41^{\circ}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Resuelve el triángulo. Redondear longitudes laterales a la décima más cercana y ángulos al grado más cercano.

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    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Solución

    \(m\angle A=\cos^{-1} (\dfrac{17}{38})\approx 63^{\circ} ; m\angle B=\sin^{-1}(\dfrac{17}{38})\approx 27^{\circ} ; a=\sqrt{38^2−17^2} \approx 34.0\)

    Revisar

    Usa tu calculadora para encontrar la medida de\(\angle B\). Respuestas redondas al grado más cercano.

    1. \(\tan B=0.9523\)
    2. \(\sin B=0.8659\)
    3. \(\cos B=0.1568\)
    4. \(\sin B=0.2234\)
    5. \(\cos B=0.4855\)
    6. \(\tan B=0.3649\)

    Encuentra las medidas de los ángulos agudos desconocidos. Medidas redondas al grado más cercano.


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      Figura\(\PageIndex{5}\)

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      Figura\(\PageIndex{6}\)
    3. f-d_a09b7cc02740b89501d27369868370fbaca728e9a93d3326162d1532+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{7}\)
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      Figura\(\PageIndex{8}\)
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      Figura\(\PageIndex{9}\)
    6. F-D_935A482DC04902A868E8114F37B6543Bea43ED1069cfbf2a5c0c08cc+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{10}\)

    Resuelve los siguientes triángulos rectos. El ángulo redondo mide al grado más cercano y las longitudes laterales al décimo más cercano.


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      Figura\(\PageIndex{11}\)
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      Figura\(\PageIndex{12}\)
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      Figura\(\PageIndex{13}\)

    Respuestas para problemas de revisión

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 13.3.


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